1673068240

FUNKCJE ANALITYCZNE

Powyższy rezultat można udowodnić w sposób elementarny przy pomocy lematu d’Alemberta (oryginalny dowód z 1746 r. zawierał lukę).

Lemat 1.2. Załóżmy, że P jest niestałym wielomianem zespolonym oraz, że dla pewnego zq € C mamy P(zq) ± 0. Wtedy dla każdego otoczenia U punktu Zq znajdziemy z £ U takie, że \P{z)\ < |P(2o)|.

Dowód. (Argand, 1806) Niech

P(z) = ao + a\z +----h a_nzⁿ.

Wtedy

P(*o + h) = flo H- o-i{^zo + h) + • • • + n_n(^ZQ 4- H)ⁿ = P(2o) ■+■ A\h + • • • + A_nhⁿ,

gdzie współczynniki Aj zależą tylko od P i zo- Któryś z nich na pewno nie znika, gdyż w przeciwnym wypadku wielomian P byłby stały. Niech j będzie najmniejszym indeksem, dla którego Aj 0. Mamy zatem

P(zq + h) = P{zq) + Ajb? + R(h),

gdzie

\R(h)\ < \Ajh^j\,

gdy |h| jest odp. małe, /i / 0. Możemy znaleźć h o dowolnie małym \h\, dla którego Aj hi ma argument przeciwny do argumentu P(zq). Wtedy

\P(z₀ + h)\ < \P{zq) + Ajh?\ + \R(h)\ = \P(z₀)\ -\AjV\ + |fl(fr)| < \P(z₀)\.    □

Dowód Twierdzenia 1.1. Oznaczając P jak w dowodzie Lematu 1.2 i zakładając, że a_n 7^ 0, mamy

\P(z)\ > |a»| \z\ⁿ ~ |flo + aiz H-----1- a_n-\zⁿ~^l\

> KI ki" - l«ol - kil kl-----K-il ki”^-1-

Możemy w szczególności znaleźć R > 0 takie, że \P(z)\ > |P(0)|, gdy \z\ = R. Funkcja |P| jest ciągła na C (bo oczywiste jest, że mnożenie jest odwzorowaniem ciągłym), znajdziemy zatem zq £ K(0,R) takie, że

|P(2₀)|=_min |P|.

K(0,R)

Jeżeli P(zq) ± 0, to dzięki Lematowi 1.2 znajdziemy z £ K(0, R) takie, że \P(z)\ < |P(2o)| - sprzeczność. □

Dla 2 G C* definiujemy

log 2 := {w £ C : e^w = z}

(dla 2 = 0 ten zbiór jest oczywiście pusty). Jeżeli zapiszemy w = r/ + i£, z = re¹*, to otrzymamy równanie eⁿe¹^ — re^l(p. Zatem r] = logr = log 121, natomiast £ = y? + 2/c7r, k € Z. Ostatecznie