1862543796

2 Matematyka w Ekonomii, Finansach i Ubezpieczeniach

TFIVs7-PST I PROCESY STOCHASTYCZNE

Cele przedmiotu: Poznanie wybranych pojęć z procesów stochastycznych ważnych z punktu widzenia zastosowań w matematyce finansowej (martyngały, proces Wienera, całka stochastyczna, wzór Ito). Wyrobienie intuicji dotyczących własności martyngałowej procesów stochastycznych.

Zawartość programowa:

1.    Warunkowa wartość oczekiwana (4 godziny). Przypomnienie definicji gdy warunkiem jest zdarzenie, zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym, partycja, sigma-ciało, dowolna zmienna losowa. Warunkowa wartość oczekiwana w L^{1 2 3} jako projekcja. Własności warunkowej wartości oczekiwanej. Przypomnienie o rodzajach zbieżności zmiennych losowych i ich związkach. Twierdzenia o zbieżności dla warunkowych wartości oczekiwanych. Nierówność Jensena.

2.    Martyngały w czasie dyskretnym (6 godzin). Definicja procesu stochastycznego w czasie dyskretnym, trajektorie, rozkłady, filtracja generowana przez proces. Proces adaptowany, przewidywalny. Definicja martyngału, submartyngalu, supermartyngału. Przykłady. Zastosowania w grach losowych. Momenty zatrzymania, proces zastopowany. Twierdzenie o opcjonalnym stopowaniu. Błądzenie przypadkowe, własności momentu pierwszego przejścia przez barierę. Maksymalna nierówność Dooba w L^p. Własność liczby przekroczeń. Twierdzenie Dooba o zbieżności supermartyngału. Jednostajnie całkowalne martyngały, zbieżność. Twierdzenie 0-1 Kołmogorowa.

3.    Łańcuchy Markowa (2 godziny). Definicja i przykłady. Klasyfikacja stanów. Twierdzenie graniczne.

4.    Procesy w czasie ciągłym (4 godziny). Definicja, trajektorie, filtracja, procesy adaptowane. Regularność procesów. Twierdzenie Kołmogorowa o trajektoriach ciągłych. Martyngały w czasie ciągłym, nierówności Dooba. Proces Poissona.

5.    Proces Wienera (4 godziny). Skalowane błądzenie przypadkowe. Definicja procesu Wienera. Konstrukcje procesu Wienera przez twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych oraz z użyciem falek. Własności trajektorii. Wariacja procesu Wienera.

6.    Całka stochastyczna Ito (10 godzin). Definicja dla funkcji schodkowych w klasie L³. Aproksymacja procesów schodkowymi. Własności całki: liniowość, izometria. Definicja całki w L³. Twierdzenie Meyera o niemożności definicji całki stochastycznej po ścieżkach. Rozszerzenie definicji przez lokalizację. Całka jako proces stochastyczny. Persystencja indentyczności. Ciągłość trajektorii całki. Wzór Ito, dowód, przykłady zastosowań. Literatura:

1. Z. Brzeźniak, T. Zastawniak, Basic Stochastic Processes, Springer 2000.

2.1. Karatsaz, S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer 1991.

3. J.M. Steele, Stochastic calculus and Financial Applications, Springer 2001.

Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń.

Forma zaliczenia: forma zaliczenia ćwiczeń: dwa kolokwia, forma zaliczenia wykładu: egzamin ustny.

| FIVs7-DMRF | DYSKRETNE MODELE RYNKÓW FINANSOWYCH |

5

1

Cele przedmiotu: Wyrobienie intuicji związanych z prostym modelowaniem ryzykownych aktywów oraz wyceną złożonych instrumentów finansowych. Dokładne poznanie modelu dwumianowego i jego zastosowań. Ilustracja metod stosowanych w modelach ciągłych.

Zawartość programowa:

2

   Jeden krok (4 godziny). Model dwumianowy w jednym kroku, pojęcie portfela, braku arbitrażu, wycena przez replikację, istnienie jedynej miary martyngałowej i jej zastosowanie do wyceny instrumentów pochodnych. Model trójmianowy jako najprostszy przykład rynku niezupełnego, przedział cen wyznaczony przez rodzinę miar martyngałowych, strategie super- i sub-osłony. Uzupełnienie modelu przez dodanie aktywa. Warunek zupełności w języku macierzy cen. Przedział cen instrumentów pochodnych związany z uzupełnieniem rynku.

3

   Wiele kroków (5 godzin). Pojęcie strategii jako przewidywalnego procesu, wartość strategii. Strategie sar mofinansujące się, warunek konieczny i wystarczający. Ceny i strategie zdyskontowane. Strategie dopuszczalne, zasada braku arbitrażu. Model dwumianowy, wycena opcji europejskich. Zastosowanie pojęcia martyngału w