1862543786

3 Matematyka Obliczeniowa i Komputerowa | OZIVs7-AN2 | ANALIZA NUMERYCZNA II |

Cele przedmiotu: Rozwinięcie wiadomości wstępnych przekazanych w trakcie wykładu Wstęp do analizy numerycznej w zakresie wszystkich zagadnień poruszonych w wykładzie wstępnym. Szerszy wgląd w problemy matematyki obliczeniowej i obliczeń numerycznych. Problemy stabilności i kosztu algorytmów. Elementy złożoności obliczeniowej. Zapewnienie podstaw do dalszego studiowania bardziej złożonych kwestii matematyki obliczeniowej.

Zawartość programowa:

1.    Podstawowe pojęcia analizy błędów zaokrągleń (3 godziny). Równość w sensie 1, numeryczna stabilność i poprawność algorytmów.

2.    Interpolacja (6 godzin). Interpolacja wielomianowa Lagrange’a i Hermite’a - algorytm różnic dzielonych, błąd interpolacji, przejście od postaci Newtona wielomianu do postaci naturalnej, zbieżność procesu interpolacji. Wielomiany Czebyszewa. Interpolacja funkcjami sklejanymi - przedstawienie funkcji sklejanych, funkcje sklejane naturalne i okresowe, algorytmy dla kubicznych funkcji sklejanych, wyrażenie na błąd. Interpolacja trygonometryczna - postać zespolona i sinusowo-cosinusowa wielomianu trygonometrycznego, przypadek węzłów równoodległych, algorytm FFT.

3.    Aproksymacja (5 godzin). Abstrakcyjne zadanie aproksymacji. Aproksymacja średniokwadratowa, układ równań normalnych Gaussa. Wielomiany ortogonalne i ich własności. Aproksymacja jednostajna - podprzestrze-nie Haara, twierdzenie o alternansie. Algorytm Remeza, twierdzenie o zbieżności.

4.    Kwadratury (4 godziny). Kwadratury Gaussa i Newtona-Cotesa - wyprowadzenie wyrażeń na błąd. Kwar dratury złożone. Ekstrapolacja Richardsona, formuła Eulera-Maclaurina. Metoda Romberga. Informacja o obliczaniu całek niewłaściwych i z osobliwościami.

5.    Numeryczne rozwiązywanie układów równań liniowych (5 godzin). Algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego - analiza w arytmetyce zmiennoprzecinkowej fi. Algorytm eliminacji Gaussa dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych. Przekształcenia Householdera i ich wykorzystanie do rozwiązywania układów równań liniowych i obliczania wyznacznika. Elementy analizy w fl. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta z poprawianiem. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów. Iteracyjne poprawianie rozwiązania. Metody iteracyjne dla wielkich układów równań liniowych - oparte na metodzie kolejnych przybliżeń (SOR), metoda Czebyszewa, wielomiany jądrowe, metody gradientowe (metoda cg).

6.    Rozwiązywanie równań nieliniowych (2 godziny). Wykładnik zbieżności, efektywność metod iteracyjnych. Twierdzenie o odwzorowaniach zwężających (przypomnienie), twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach (bez dowodów). Metoda Newtona dla układów równań nieliniowych i twierdzenie o jej zbieżności (bez dowodu).

7.    Algebraiczny problem własny (5 godzin). Twierdzenie Gerschgorina. Twierdzenie Jordana (przypomnienie). Wrażliwość wartości i wektorów własnych. Metody wyznacznikowe - analiza w fl metody bisekcji. Sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci Hessenberga przez podobieństwa ortogonalne, metoda Hymana obliczania wyznacznika macierzy w postaci Hessenberga. Metoda bisekcji z ciągu Sturma dla macierzy symetrycznych trójdiagonalnych. Metoda QR i jej zbieżność.

Literatura:

1.    J.M. Jankowscy, M. Dryja, Przegląd metod numerycznych, cz. 1,2, WNT, 1981.

2.    J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do metod numerycznych, cz. 1,2, PWN, 1980.

3.    D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2006.

4.    G. Daląuist, A. Bjorck Metody numeryczne, PWN, 1983.

5.    A. Kiełbasiński, H. Schwetlick, Numeryczna algebra liniowa, WNT, 1992.

Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń.

Forma zaliczenia: Ćwiczenia : zaliczenie. Wykład: egzamin ustny lub pisemny.

OIVs7-MNRZ | METODY NUMERYCZNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH |