2500335330

Rysunek 2.1: Rozwiązywanie równania    Rysunek 2.2: Rozwiązywanie równania

(2.1) metodą charakterystyk na zbiorze B.    (2.1) metodą charakterystyk na zbiorze A.

Twierdzenie 2.4.1. Rozwiązania układu (2.5) są postaci?

( n(t,«)    =    n(0, a — t)e“Jo Hs.a+s-t)ds    _du    (_(a)_£B

| nil. a)    —    pil fu I j/i a)/: fa W    (n-i)h a+s,s)ds _di_(/    (t. a) € A_n,    n = 1,2,...

(2.10)

Dowód. ★

Równanie (2.1) jest równaniem liniowym. Najpierw znajdziemy rozwiązania dla x € B, czyli w obszarze zaznaczonym na rysunku 2.1 ukośnymi kreskami.

Założyliśmy, że n(t, a) jest rozwiązaniem równania (2.1) dla —h < t < 0, 0 < o, a więc w szczególności na osi a.

Metodą charakterystyk sprowadzamy równanie (2.1) do następującego układu równań różniczkowych zwyczajnych:

( t'(s) = 1    t(0) = 0

l a'(s) = 1    a(0) = a    (2.11)

z'(s) = —X(t(s),a(s))z(s) z(0) = n(0,a)

w którym z(s) będzie równe n(t(s), a(s)), o ile dane są niecharakterystyczne. Zauważmy jednak, że (1,1) Jf (0,1), więc dane są niecharakterystyczne i możemy stosować metodę charakterystyk.

Dla ustalonego a € [0,oo), rozwiązaniami pierwszych dwóch równań są t(s) = s i a(s) = s + a (s > 0). Wyznaczymy więc rozwiązania nad charakterystykami zaczynającymi się na osi a, czyli dla (t, a) € B.

Ostatnie równanie (2.11) jest wobec tego równoważne

(2.12)

z'(s) = -A(s, s + a)z(s) z(0) = n(0,a)

³W artykule [1] wypisano rozwiązania na zbiorach A = A\ i B oraz podano metodę, jaką można do nich dojść.

15