2659242011

przez

Pmt(Pi,I*2) ■= sup

Jest ona dobrze umotywowana biologicznie, zaś rozwiązania są w niej ciągłe i stabilne. Generyczne przypadki destabilizacji układu prowadzą natomiast do nieciągłości w tej metryce.

4.2.4    Diagramy

Język diagramatyczny powstał z potrzeby czytelnego zapisywania dowodów związanych z liniowym modelem mieszanym. Ułatwia on rozumienie dowodów, gdyż opiera się na jasnej interpretacji stochastycznej (częściowo motywowanej ideami pochodzącymi z fizyki a także pracami G. Crippy i S. Ma-niglii ([5, 10])) wykorzystywanych całek. Całkom nadajemy postać całek po trajektoriach komórek w przestrzeni stanów. Następnie przekładamy tę interpretację bezpośrednio na obraz. Otrzymujemy narzędzie pozwalające przejrzyście i szybko wykonywać potrzebne szacowania.

4.2.5    Nieliniowość

Nieliniowość jest związana z tym, że w rozpatrywanych modelach funkcje p(t,x),g(t,x) oraz funkcje opisujące warunki przejścia mają de facto postać typu p(v(t),x), g(v(t),x)] v(t) := f[_XNydp(t) opisuje tu ilość komórek dojrzałych, przy czym xn jest ostatnim stanem dyskretnym. Owa nieliniowość powoduje komplikacje techniczne, do rozwiązania których wprowadzamy specjalne metody analityczne. Nieliniowy model mieszany wprowadzony w [2] wygląda następująco:

d_tp{t) + d_x{gi(v(t))l_Xjt_Xi(x)ii(t))

p(0)

p(v(t),x)p{t),

Cł(w(t)) J } dp(t), i = 1,... ,n Mo,

przy czym g(v(t),x) = gi(v(t))l_x^_Xi. 1 _X7t_Xi jest funkcją równą 0 dla x 6 {xo, • • •, xjv} oraz 1 w pozostałych punktach (por. rysunek 1). Ta postać funkcji g jest najprostszą postacią dobrze motywowaną biologicznie.

4.2.6 Zanurzony model dyskretny

Zanurzenie modelu dyskretnego wymaga przezwyciężenia jednej podstawowej trudności. Równanie transportu, będąc równaniem hiperbolicznym, dopuszcza skończoną prędkość propagacji. W modelu dyskretnym natomiast, kolejne stany komunikują się ze sobą bez opóźnień. Żeby zanurzyć model dyskretny do równania transportu, trzeba wymusić natychmiastową komunikację między stanem X{ a Xi+1. Uzyskujemy ją (por. [3]) kładąc dla x G (xi,£j+i) (czyli stanów typu „shadow”) prędkość g będącą miarą liczącą względem czasu. Takie podejście prowadzi do nietypowych zagadnień natury analitycznej i wymaga sprecyzowania pojęcia rozwiązania. Interesujące jest również zagadnienie biologicznej interpretacji stanów typu „shadow”.

9