2749772306

3. Algebra 2b [ALG2b-03]

Specjalność    F+I+T    Poziom    4    Status    O

L. godz. tyg.    2 W + 2 Ćw    L. pkt.    6    Socr. Codę    11.1

Półgrupy:

półgrupy, przykłady i elementarne własności półgrup, homomorfizmy i izomorfizmy pólgrup, półgrupy wolne, półgrupy abelowe wolne.

Elementy teorii grup:

zbiory generatorów grup, podgrupy normalne, grupy ilorazowe, twierdzenie o homomorfizmach, grupy przekształceń i twierdzenie Cayley’a, automorfizmy grup, centrum i komuntant grupy, działanie grupy na zbiorze, równanie klas, grupy permutacji: przechodnie, regularne i wielokrotnie przechodnie, lemat Burnside’a, grupy izometrii wybranych figur geometrycznych.

Elementy teorii pierścieni przemiennych:

podpierścienie generowane przez zbiór, ideały w pierścieniach, pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmach pierścieni, ideały pierwsze i maksymalne, pierścień ułamków względem podzbioru multypli-katywnego, pierścień lokalny, pierścień szeregów potęgowych.

Wielomiany wielu zmiennych:

wielomiany symetryczne, zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych, wzory Viete’a. Rozszerzenia ciał:

rozszerzenia ciał, baza i stopień rozszerzenia, twierdzenie o stopniach rozszerzeń, elementy algebraiczne i przestępne, struktura rozszerzenia prostego o element algebraiczny, rozszerzenia algebraiczne, ciało rozkładu wielomianu, ciała algebraiczne domknięte.

Ciała skończone:

ciała skończone, struktura multyplikatywnej gupy ciała skończonego, reprezentacje elementów ciała skończonego, automorfizmy ciał skończonych, rozkłady wielomianów nad ciałami skończonymi, twierdzenie Weddeburna.

Obliczeniowe aspekty teorii liczb:

struktura grupy U{Z_n), pierwiastki pierwotne, reszty stopnia n modulo m, reszty kwadratowe, symbol Legendre’a, liczby pseudopierwsze, testy pierwszości, metody rozkładu na czynniki.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura: zob. algebra 1.

4. Algebra 3    [ALG3-03]

Specjalność    N+Z    Poziom    5    Status    O

L. godz. tyg.    2 W + 2    Ćw L. pkt.    6    Socr. Codę    11.1

Grupy skończone:

działanie grupy na zbiorze, równanie klas, przechodnie grupy permutacji, lemat Burnside’a, p-grupy, twierdzenie Sylowa, rozkład skończonej grupy abelowej na sumę prostą grup cyklicznych.

Wielomiany wielu zmiennych:

wielomiany symetryczne, zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych, wzory Viete’a. Wybrane klasy pierścieni:

pierścienie noetherowskie, twierdzenie Hilberta o bazie, elementy całkowite, dziedziny całkowicie domknięte, liczby algebraiczne całkowite, pierścienie Dedekinda.

Elementy teorii Galois:

rozszerzenia rozdzielcze, twierdzenie Abela o elemencie pierwotnym, rozszerzenia normalne, automorfizmy ciał, grupa Galois rozszerzenia, rozszerzenia typu Galois, zasadnicze twierdzenia teorii Galois, grupa Galois wielomianu.

Zastosowania teorii Galois:

rozwiązywalność równań wielomianowych przez pierwiastniki, równania stopnia < 4, ciało liczb konstru-owalnych, konstrukcje geometryczne, Zasadnicze Twierdzenie Algebry.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

zob. algebra 1.