ÿþK o m b i n a c j e o b c i |e D w g P N - E N 1 9 9 0 ( E u r o k o d E C 0 ) .
W p r o w a d z e n i e
L e s z e k C h o d o r l e s z e k @ c h o d o r . c o
[ 2 0 1 3 - 0 4 - 2 7 , 2 0 1 3 - 0 5 - 1 6 1 0 : 5 2 , 2 0 1 3 - 0 5 - 2 4 1 9 : 5 6 , 2 0 1 3 - 0 5 - 3 0 2 2 : 5 3 ] ; 2 0 1 3 - 0 6 - 1 7 2 0 : 5 9
1 W p r o w a d z e n i e
1 . 1 F o r m u By k o m b i n a c y j n e
D o s p r a w d z a n i a s t a n u g r a n i c z n e g o n o [n o [c i ( s y m b o l S T R ) n a l e |y p r z y j m o w a
k o m b i n a c j e o d d z i a By w a D j a k o n a j m n i e j k o r z y s t n e s p o [r ó d w y z n a c z o n y c h z z a l e |n o -
[c i ( 6 . 1 0 a ) i ( 6 . 1 0 b ) E C 0 ( E u r o k o d u 0 , t j . P N - E N 1 9 9 0 ) .
g d z i e :
G k , j j - t e c h a r a k t e r y s t y c z n e ( i n d e k s k ) o b c i |e n i e s t a Be ( s y m b o l G )
Q k , 1 1 - s z e ( z w a n e w i o d c y m ) c h a r a k t e r y s t y c z n e o b c i |e n i a z m i e n n e ( s y m b o l Q )
Q k , i i - t e ( z w a n e t o w a r z y s z c y m ) c h a r a k t e r y s t y c z n e o b c i |e n i a z m i e n n e
g G , j , g Q , 1 , g Q , i w s p ó Bc z y n n i k o b c i |e n i a : o b c i |e n i a s t a Be g o j - t e g o , z m i e n n e g o
w i o d c e g o i z m i e n n y c h t o w a r z y s z c y c h o d p o w i e d n i o
x j w s p ó Bc z y n n i k r e d u k c y j n y o b c i |e n i a s t a Be g o j - t e g o
y 0 , 1 , y 0 , i w s p ó Bc z y n n i k d l a w a r t o [c i k o m b i n a c y j n e j o b c i |e n i e z m i e n n e g o , o d -
p o w i e d n i o w i o d c e g o i t o w a r z y s z c e g o
U w a g a : s t o s u j e s i j e s z c z e w s p ó Bc z y n n i k i : y 1 i y 2 w s p ó Bc z y n n i k d l a w a r t o [c i c z -
s t e j i w s p ó Bc z y n n i k d l a w a r t o [c i p r a w i e s t a Be j o b c i |e n i e z m i e n n e g o . T a k i m i s y t u a -
c j a m i n i e b d z i e m y s i z a j m o w a w n i n i e j s z y m o p r a c o w a n i u .
F o r m u By ( 6 . 1 0 a i 6 . 1 0 b ) m o |n a s Bo w n i e w y r a z i n a s t p u j c o :
F o r m u Ba ( 6 . 1 0 a ) : o b c i |e n i e s t a Be n i e p o d l e g a r e d u k c j i ( x j = 1 ) , a l e j e d n o c z e [n i e r e -
d u k c j i p o d l e g a j w s z y s t k i e o b c i |e n i a z m i e n n e ( w i o d c e o r a z t o w a r z y s z c e )
F o r m u Ba ( 6 . 1 0 b ) : o b c i |e n i e s t a Be p o d l e g a r e d u k c j i ( x j = 0 , 8 5 ) , a l e o b c i |e n i e z m i e n -
n e w i o d c e Q 1 n i e p o d l e g a r e d u k c j i , c h o r e d u k o w a n e s o b c i |e n i a z m i e n n e t o w a -
r z y s z c e Q i .
O b c i |e n i e z m i e n n e t o w a r z y s z c e m u s z b y m o |l i w e f i z y c z n i e . W j e d n e j k o m b i n a -
c j i n i e m o |e u w z g l d n i a j e d n o c z e [n i e w y k l u c z a j c y c h s i o b c i |e D. N a p r z y k Ba d
j e [l i u w z g l d n i a m y w i a t r z j e d n e g o k i e r u n k u , t o n i e b i e r z e m y p o d u w a g w i a t r u z
d r u g i e g o k i e r u n k u .
1 . 2 C z [c i o w e w s p ó Bc z y n n i k i b e z p i e c z e Ds t w a
W a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w w y s t p u j c y c h w f o r m u Ba c h k o m b i n a c y j n y c h s n a s t p u -
j c e :
1 . 2 . 1 W s p ó Bc z y n n i k i o b c i |e D
o b c i |e n i a s t a Be g o g G , = 1 , 3 5
o b c i |e n i a z m i e n n e g o g Q , = 1 , 5
U w a g a : W a r t o [c i o b l i c z e n i o w e o d d z i a By w a n i a F d ( i n d e k s d - d e s i g n )
F d = g * F r e p ( F = G l u b Q )
s i l o c z y n e m w a r t o [c i r e p r e z e n t a t y w n e j F r e p i w s p ó Bc z y n n i k a o b c i |e D g
W a r t o [c i r e p r e z e n t a t y w n o d d z i a By w a n i a F r e p m o |e b y w a r t o [ c h a r a k t e r y s t y c z -
n a F k l u b w a r t o [ t o w a r z y s z c a y F k .
W a r t o [ c h a r a k t e r y s t y c z n a o d d z i a By w a n i a F k j e s t p o d s t a w o w r e p r e z e n t a t y w n w a r -
t o [c i o d d z i a By w a n i a . M o |n a j u s t a l i n a p o d s t a w i e d a n y c h s t a t y c z n y c h ; d o b i e r a
s i j e w t a k i s p o s ó b |a b y o d p o w i a d a Ba o n a z a d a n e m u p r a w d o p o d o b i e Ds t w u n i e -
p r z e k r o c z e n i a w n i e k o r z y s t n s t r o n w t r a k c i e : o k r e s u o d n i e s i e n i a . U w z g l d n i a
s i , p r z y t y m p r z e w i d y w a n y o k r e s u |y t k o w a n i a k o n s t r u k c j i i c z a s t r w a n i a s y t u a c j i o b -
l i c z e n i o w e j .
W a r t o [ c h a r a k t e r y s t y c z n n a z y w a s i z w y k l e w a r t o [c i n o m i n a l n l u b m i a r o d a j n .
W o g ó l n o [c i n i e j e s t t o w a r t o [ [r e d n i a , t y l k o k w a n t y l z m i e n n e j l o s o w e j , t o z n a c z y
w a r t o [ o c z e k i w a n a p o w i k s z o n a ( l u b p o m n i e j s z o n a ) o i l o c z y n w s p ó Bc z y n n i k a n i e -
z a w o d n o [c i b i o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w y c h n a z a d a n y m p o z i o m i e u f n o [c i . Z w y k l e w
b u d o w n i c t w i e i a r c h i t e k t u r z e p r z y j m u j e s i b = 3 , 8 , o r a z o k r e s o d n i e s i e n i a 5 0 l a t .
N a l e |y z w r ó c i u w a g , |e d o o b l i c z e D n a l e |y p r z y j m o w a w a r t o [c i o b l i c z e n i o w e z
u w z g l d n i e n i e m w s p ó Bc z y n n i k ó w k o m b i n a c y j n y c h , t o j e s t s u m o b c i |e D z
u w z g l d n i e n i e m r e d u k c j i o b c i |e D w s y t u a c j a c h k o m b i n a c y j n y c h .
U w a g a
P o d a n e w y |e j w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w o b c i |e D d o t y c z s y t u a c j i , g d y o b c i |e n i e
d z i a Ba n i e k o r z y s t n i e ( p r z y k Ba d e m j e s t s y t u a c j a , w k t ó r e j o b c i |e n i e s t a Be w z m a g a
e f e k t w i a t r u , b o w i a t r n a p i e r a n a p o Ba z g ó r y w ó w c z a s o b a o b c i |e n i a s n i e k o -
r z y s t n e ) .
N a t o m i a s t w p r z y p a d k u d z i a Ba n i a k o r z y s t n e g o n a l e |y p r z y j m o w a
g G , = 1 , 0 0
g Q , = 0 , 0 0
W p r z y p a d k u d z i a Ba n i a k o r z y s t n e g o o b c i |e n i a s t a Be g o n i e n a l e |y g o r e d u k o w a
( x = 0 , 8 5 ) , a j e d n o c z e [n i e w [r ó d o b c i |e D z m i e n n y c h w y b i e r a m y o b c i |e n i e w i o d c e
b e z r e d u k c j i , a p o z o s t a Be ( t o w a r z y s z c e ) o b c i |e n i a z m i e n n e r e d u k u j e m y .
P r z y k Ba d : S y t u a c j a , w k t ó r e j w i a t r d z i a Ba s s c o n a p o Ba . W ó w c z a s n a l e |y s p r a w d z i
k o m b i n a c j , w k t ó r e j g G , = 1 , 0 0 , d l a w i a t r u g Q = 1 , 5 , a d l a i n n y c h ( t o w a r z y s z c y c h )
o b c i |e D z m i e n n y c h n i e k o r z y s t n y c h ( w z m a g a j c y c h d z i a Ba n i e w i a t r u d a j e m y
g Q = 1 , 5 i r e d u k u j e m y j e , a d l a p o z o s t a By c h o b c i |e D z m i e n n y c h k o r z y s t n y c h ( z m n i e j -
s z a j c y c h d z i a Ba n i e w i a t r u ) s t o s u j e m y g Q = 0 , 0 .
1 . 2 . 2 W s p ó Bc z y n n i k i r e d u k c y j n e
W s p ó Bc z y n n i k r e d u k c y j n y ( o b c i |e n i e s t a Be g o ) x j = 0 , 8 5
W s p ó Bc z y n n i k i d l a w a r t o [c i k o m b i n a c y j n y c h ( r e d u k c y j n e o b c i |e D z m i e n n y c h ) y 0 =
0 , 7 d l a o b c i |e D z m i e n n y c h w b u d y n k a c h d l a p o w i e r z c h n i k a t e g o r i i : A - m i e s z k a l n e ,
b i u r o w e , C - m i e j s c a z e b r a D, D - p o w i e r z c h n i e h a n d l o w e , F i G - p o w i e r z c h n i e r u c h u
p o j a z d ó w
1 , 0 d l a o b c i |e D z m i e n n y c h w b u d y n k a c h d l a p o w i e r z c h n i k a t e g o r i i : E
m a g a z y n o w e
0 , 0 d l a o b c i |e D z m i e n n y c h w b u d y n k a c h d l a p o w i e r z c h n i k a t e g o r i i : H d a c h y b e z
s t a Be g o d o s t p u
0 , 5 d l a o b c i |e n i a b u d y n k u [n i e g i e m w P o l s c e m i e j s c o w o [c i n a w y s o k o [c i
H < = 1 0 0 0 m n a d p o z i o m e m m o r z a
0 , 7 d l a o b c i |e n i a b u d y n k u [n i e g i e m w P o l s c e m i e j s c o w o [c i n a w y s o k o [c i
H > 1 0 0 0 m n a d p o z i o m e m m o r z a
0 , 6 d l a o b c i |e n i a w i a t r e m
0 , 6 d l a o b c i |e n i a t e m p e r a t u r ( n i e p o |a r o w )
U w a g i :
1 . Z a l e c a s i a b y e f e k t y o d d z i a By w a D, k t ó r e z e w z g l d ó w f i z y c z n y c h b d z z u w a g i n a
p r z e w i d y w a n e u |y t k o w a n i e n i e m o g w y s t p i r ó w n o c z e [n i e , n i e b y By u w z g l d n i a n e
Bc z n i e w j e d n e j k o m b i n a c j i
( p r z y k Ba d w i a t r z l e w e j i w i a t r z p r a w e j j e d n o c z e [n i e n i e k o m b i n u j e m y )
2 . W a r t o [c i c h a r a k t e r y s t y c z n e w s z y s t k i c h o d d z i a By w a D s t a By c h , p o c h o d z c y c h z j e d n e -
g o zr ó d Ba m n o |y s i p r z e z g G , = 1 , 3 5 , j e |e l i c a By w y n i k a j c y s t a d e f e k t j e s t n i e -
k o r z y s t n y , a p r z e z g G , = 1 , 0 0 j e [l i j e s t k o r z y s t n y . N p . w s z y s t k i e o d d z i a By w a n i a
p o c h o d z c e o d c i |a r u w Ba s n e g o k o n s t r u k c j i m o |n a u w a |a z a p o c h o d z c e
z j e d n e g o zr ó d Ba ; d o t y c z y t o r ó w n i e | p r z y p a d k u , k i e d y m a t e r i a By s r ó |n e .
1 . 3 U w a g i o s t a n a c h g r a n i c z n y c h k o n s t r u k c j i
J a k o m i a r o d a j n e n a l e |y s p r a w d z i n a s t p u j c e s t a n y g r a n i c z n e :
a ) E Q U : U t r a t a r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j k o n s t r u k c j i l u b j a k i e j k o l w i e k j e j c z [c i ,
u w a |a n e j z a c i a Bo s z t y w n e , k i e d y :
- m a Be z m i a n y w a r t o [c i l u b r o z k Ba d u w p r z e s t r z e n i o d d z i a By w a D, w y w o Ba n y c h
p r z e z j e d n p r z y c z y n m o g b y z n a c z c e
- w y t r z y m a Bo [ m a t e r i a Bó w k o n s t r u k c j i l u b p o d Bo |a n a o g ó B j e s t b e z z n a c z e n i a
b ) S T R : Z n i s z c z e n i e w e w n t r z n e l u b n a d m i e r n e o d k s z t a Bc e n i a k o n s t r u k c j i l u b
e l e m e n t ó w k o n s t r u k c j i , Bc z n i e z e s t o p a m i f u n d a m e n t o w y m i , p a l a m i , [c i a n a m i c z -
[c i p o d z i e m n e , i t p . , n p . w p r z y p a d k u k t ó r y c h d e c y d u j c e z n a c z e n i m a w y t r z y m a Bo [
m a t e r i a Bó w k o n s t r u k c j i
c ) G E O : Z n i s z c z e n i e l u b n a d m i e r n e o d k s z t a Bc e n i e p o d Bo |a , k i e d y i s t o t n e z n a -
c z e n i e d l a n o [n o [c i k o n s t r u k c j i m a w y t r z y m a Bo [ p o d Bo |a l u b s k a By
d ) F A T : Z n i s z c z e n i e z m c z e n i o w e k o n s t r u k c j i l u b e l e m e n t u k o n s t r u k c j i
W s t a n i e g r a n i c z n y m r ó w n o w a g i ( E Q U ) , n p . w y p ó r o b i e k t u p r z e z w o d g r u n t o w d o
w y z n a c z e n i a w a r t o [c i o b l i c z e n i o w y c h s t o s u j e s i w s p ó Bc z y n n i k i z g o d n i e z t a b l
A 1 . 2 ( 1 ) E C 0
W s t a n i e g r a n i c z n y m g e o t e c h n i c z n y m G E O , n p . n o [n o [ f u n d a m e n t ó w d o w y z n a -
c z a n i a w a r t o [c i o b l i c z e n i o w y c h n a l e |y s t o s o w a z a l e c e n i a z a w a r t e w t a b . A . 1 . 2 ( B )
o r a z A . 1 . 2 ( C )
W y j t k o w e i s e j s m i c z n e k o m b i n a c j e o d d z i a By w a D n a l e |y p r z y j m o w a z g o d n i e z p k t
A 1 . 3 . 2 E C 0 o r a z t a b l . A 1 . 3 E C 0
D l a s t a n ó w g r a n i c z n y c h u |y t k o w a l n o [c i n a l e |y s t o s o w a z a s a d y p o d a n e w p k t A 1 . 4
E C 0 . S p r a w d z e n i u p o d l e g a j w s z c z e g ó l n o [c i o d k s z t a Bc e n i a i p r z e m i e s z c z e n i a
p o z i o m e , u g i c i a p i o n o w e , d r g a n i a o r a z z a r y s o w a n i a ( n p . w k o n s t r u k c j a c h
|e l b e t o w y c h )
S t a n a m i g r a n i c z n y m i E Q U , G E O , F A T o r a z u |y t k o w a l n o [c i n i e b d z i e m y z a j m o w a s i
w n i n i e j s z y m o p r a c o w a n i u
1 . 4 P r o s t e p r z y k Ba d y w y z n a c z e n i a w a r t o [c i k o m b i n a c y j n y c h
1 . 4 . 1 P r z y k Ba d 1 [ o b c i |e n i e o b i e k t u ]
W y z n a c z y o b c i |e n i a k o m b i n a c y j n e d z i a Ba j c e n a p o Ba d a c h o w b u d y n k u , p r z y
w y z n a c z o n y c h o b c i |e n i a c h p r o s t y c h :
a ) O d d z i a By w a n i a s t a Be :
# 1 C i |a r w Ba s n y k o n s t r u k c j i 0 , 4 k N / m 2
# 2 C i |a r p o k r y c i a d a c h o w e g o 0 , 3 5 k N / m 2
b ) O d d z i a By w a n i a z m i e n n e
# 3 O b c i |e n i a p o d w i e s z o n e 0 , 5 k N / m 2
( p r z y j t e j a k o z m i e n n e e l e m e n t y i n s t a l a c j i o r a z a r c h i t e k t u r y )
# 4 O b c i |e n i e u |y t k o w e d a c h u o d o b s Bu g i d l a d a c h u k a t . H 0 , 4 k N / m 2
# 5 Zn i e g 0 , 7 2 k N / m 2
# 6 W i a t r s s a n i e n a p o Ba 0 , 4 k N / m 2
# 7 W i a t r p a r c i e n a p o Ba ( o t w a r t e b r a m y ) 0 , 2 k N / m 2
R o z w i z a n i e
P r z y j t o n a s t p u j c k o m b i n a c j e :
( 6 . 1 0 a ) :
K 1 = 1 , 3 5 * ( # 1 + # 2 ) + 1 , 5 * ( 0 , 7 # 3 + 0 , 0 # 4 + 0 , 5 # 5 + 0 , 6 # 7 )
= 1 , 3 5 ( 0 , 4 + 0 , 3 5 ) + 1 , 5 * ( 0 , 7 * 0 , 5 + 0 * 0 , 4 + 0 , 5 * 0 , 7 2 + 0 , 6 * 0 , 2 )
= 2 , 2 6 k N / m 2
( 6 . 1 0 b ) :
K 2 = 1 , 3 5 * 0 , 8 5 ( # 1 + # 2 ) + 1 , 5 * # 4 + 1 , 5 * ( 0 , 7 # 3 + 0 , 5 # 5 + 0 , 6 # 7 )
= 1 , 1 5 * ( 0 , 4 + 0 , 3 5 ) + 1 , 5 * ( 0 , 4 + 0 , 7 * 0 , 5 + 0 , 5 * 0 , 7 2 + 0 , 6 * 0 , 2 ) = = 2 , 7 1 k N / m 2
K 3 = 1 , 3 5 * 0 , 8 5 ( # 1 + # 2 ) + 1 , 5 # 5 + 1 , 5 * ( 0 , 7 # 3 + 0 , 0 # 4 + 0 , 6 # 7 )
= 1 , 1 5 * ( 0 , 4 + 0 , 3 5 ) + 1 , 5 * ( 0 , 7 2 + 0 , 0 * 0 , 4 + 0 , 7 * 0 , 5 + 0 , 6 * 0 , 2 ) = 2 , 6 5 k N / m 2
( 6 . 1 0 ) d l a d z i a Ba n i a k o r z y s t n e g o o b c i |e n i a s t a Be g o d l a s y t u a c j i o b l i c z e n i o w e j
m a k s y m a l n e g o o d r y w a n i a d a c h u s s a n i a w i a t r u
K 4 = 1 , 0 * ( # 1 + # 2 ) + 1 , 5 # 6 + 0 , 0 * ( 0 , 7 # 3 + + 0 , 0 # 4 + 0 , 5 # 5 ) = 1 , 0 * ( 0 , 4 + 0 , 3 5 ) + 1 , 5 * ( - 0 , 4 ) = 0 , 1 5
k N / m 2
W y n i k i :
1 ) d o o b l i c z e D p r z y j t o o b c i |e n i e 2 , 7 1 k N / m 2 2 )
2 ) n i e w y s t p i o d r y w a n i e d a c h u p r z e z w i a t r - w k o m b i n a c j i K 4 w y n i k o w e
o b c i |e n i e d a c h u d z i a Ba w d ó B.
1 . 4 . 2 P r z y k Ba d 2 [ o b c i |e n i a e l e m e n t u ]
W y z n a c z y o b l i c z e n i o w ( k o m b i n a c y j n ) r e a k c j p o d c i g u s t r o p u w b u d y n k u b i u r o -
w y m . P o d c i g m a s c h e m a t s t a t y c z n y b e l k i w o l n o p o d p a r t e j o d Bu g o [c i o b l i c z e n i o w e j
L = 7 , 5 m j e s t o b c i |o n y n a s t p u j c o :
1 ) w [r o d k u r o z p i t o [c i [c i a n z w y |s z y c h k o n d y g n a c j i , k t ó r e j r e a k c j a o d d z i a Bu j e
s i B s k u p i o n o w a r t o [c i
# 1 o d c i |a r u s t a Be g o w y |s z e j k o n d y g n a c j i 1 0 0 k N ; r e a k c j a 1 0 0 / 2 = 5 0 k N
# 2 o d [n i e g u 1 1 0 k N ; r e a k c j a 1 1 0 / 2 = 5 5 k N
2 ) n a c a Be j d Bu g o [c i o b c i |e n i e m r ó w n o m i e r n i e r o z Bo |o n y m o d s t r o p u m i d z y k o n -
d y g n a c y j n e g o
# 3 c i |a r w Ba s n y s t r o p u i p o d c i g u 1 4 k N / m ; r e a k c j a 1 4 * 7 , 5 / 2 = 5 2 , 5 k N
# 4 o b c i |e n i e u |y t k o w e 1 8 k N / m ; r e a k c j a 1 8 * 7 , 5 / 2 = 6 7 , 5 k N
R o z w i z a n i e
R e a k c j a o b l i c z e n i o w a b e l k i w y n o s i :
( 6 . 1 0 a ) :
K 1 = 1 , 3 5 ( # 1 + # 3 ) + 1 , 5 * [ 0 , 5 # 2 + 0 , 7 # 3 )
= 1 , 3 5 * ( 5 0 + 5 2 , 5 ) + 1 , 5 * ( 0 , 5 * 5 5 + 0 , 7 * 6 7 , 5 ) = 2 5 0 , 5
( 6 . 1 0 b ) :
K 2 = 1 , 3 5 * 0 , 8 5 ( # 1 + # 3 ) + 1 , 5 * ( # 2 + 0 , 7 # 4 )
= 1 , 1 5 ( 5 0 + 5 2 , 5 ) + 1 , 5 * ( 5 5 + 0 , 7 * 6 7 , 5 ) = 2 7 1 , 3 k N
K 3 = 1 , 3 5 * 0 , 8 5 ( # 1 + # 3 ) + 1 , 5 * ( # 4 + 0 , 5 # 2 ) = 1 , 1 5 * ( 5 0 + 5 2 , 5 ) + 1 , 5 * ( 6 7 , 5 + 0 , 5 * 5 5 ) = 2 6 0 , 4
k N
D o d a l s z y c h o b l i c z e D p r z y j t o 2 7 1 , 3 k N
2 O s z a c o w a n i a o b l i c z e n i o w y c h s i B p r z e k r o j o w y c h
2 . 1 W y z n a c z a n i e s i B p r z e k r o j o w y c h l u b r e a k c j i p o d p ó r
S p o s o b y o b l i c z a n i a r e a k c j i p o d p ó r l u b s i B p r z e k r o j o w y c h w p r o s t y c h s c h e m a t a c h
k o n s t r u k c j i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n y c h p o d a n o w p o d r c z n i k u :
J a n i k G . , K o n s t r u k c j e b u d o w l a n e . S t a t y k a b u d o w l i . P o d r c z n i k d l a t e c h n i k u m ,
W S i P , W a r s z a w a 2 0 0 4
2 . 2 T e c h n i k a o b l i c z e n i o w a
P o d s t a w o w z a s a d w y k o r z y s t a n w p r z e d s t a w i o n e j m e t o d z i e o b l i c z e n i o w e j j e s t
z a s a d a s u p e r p o z y c j i s k u t k ó w s Bu s z n a w z a k r e s i e s p r |y s t o - l i n i o w e j p r a c y
k o n s t r u k c j i .
Z a s a d a s u p e r p o z y c j i s k u t k ó w :
G d y d z i a Ba k i l k a p r z y c z y n , s k u t e k j e s t r ó w n y s u m i e s k u t k ó w o d p o j e d y n c z y c h
p r z y c z y n .
W c e l u w y z n a c z e n i a s i By p r z e k r o j o w e j l u b r e a k c j i o d k i l k u o b c i |e D p r o s t y c h
w y k o n a m y n a s t p u j c e k r o k i :
K r o k 1 :
O b c i |e n i a p r o s t e t e j s a m e j n a t u r y ( o t y c h s a m y c h w s p ó Bc z y n n i k a c h o b l i c z e n i o w y c h
o r a z r e d u k c y j n y c h ) o z n a c z a m y k o l e j n y m i n u m e r a m i , n p . :
# 1 o b c i |e n i e s t a Be
# 2 o b c i |e n i e [n i e g i e m
# 3 . 1 o b c i |e n i e w i a t r e m - s c h e m a t 1
# 3 . 2 . o b c i |e n i e w i a t r e m - s c h e m a t 2
# 4 o b c i |e n i e u |y t k o w e - k a t H
# 5 o b c i |e n i e u |y t k o w e - k a t B
# n &
K r o k 2 :
W y z n a c z a m y p o s z u k i w a n s i B p r z e k r o j o w l u b r e a k c j X k d l a p o s z c z e g ó l n y c h
s c h e m a t ó w o b c i |e D c h a r a k t e r y s t y c z n y c h w y z n a c z o n y c h w k r o k u 1 . I n d e k s ( k )
o z n a c z a r e k c j w y w o Ba n o b c i |e n i e m p r o s t y m c h a r a k t e r y s t y c z n y m . W y z n a c z a m y
k o l e j n o
X # 1 k , & , X # n k
S p o s o b y w y z n a c z a n i a X s s t a n d a r d o w e ( p o z . 5 . 1 . )
K r o k 3 :
W a r t o [c i o b l i c z e n i o w e X d s i By l u b r e a k c j i X , w y z n a c z a m y z f o r m u B k o m b i n a c y j n y c h ,
p o d s t a w i a j c w m i e j s c e G l u b Q o d p o w i e d n i e s i By w y z n a c z o n e w k r o k u 2 . S i By t e
s t o w a r z y s z o n e s z e w s p ó Bc z y n n i k a m i o b c i |e n i a i w s p ó Bc z y n n i k a m i r e d u k c y j n y m i
s t o s o w n i e d o s w e j n a t u r y i r o z p a t r y w a n e j s y t u a c j i o b l i c z e n i o w e j .
W n i o s k i :
P o d s u m o w u j c , z a l e c a s i n a j p i e r w w y z n a c z e n i e s i By p r z e k r o j o w e j l u b r e a k c j i o d
o b c i |e D p r o s t y c h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h , a w a r t o [c i k o m b i n a c y j n e ( z r e d u k o w a n e
o b l i c z e n i o w e ) w y z n a c z a m y , s t o s u j c w s p ó Bc z y n n i k i o b c i |e D i w s p ó Bc z y n n i k i
r e d u k c y j n e d l a w y z n a c z o n y c h r e a k c j i p r o s t y c h .
3 P r z y k Ba d y
3 . 1 P r z y k Ba d : B e l k a L 0 2 ( 2 0 1 3 - 0 5 - 0 8 )
W y z n a c z y m y m a k s y m a l n y i m i n i m a l n y o b l i c z e n i o w y m o m e n t z g i n a j c y w p r z e k r o j u
a - a b e l k i p o k a z a n e j n a r y s u n k u L 0 2 b e l k a ( 2 0 1 3 - 0 5 - 0 8 )
V
K r o k 1 :
B e l k a o b c i |o n a j e s t o b c i |e n i a m i p r o s t y m i o r ó |n e j n a t u r z e , k t ó r e o z n a c z y m y
n a s t p u j c o :
# 1 o b c i |e n i e s t a Be G ( r o z Bo |o n e 5 k N / m n a o d c i n k u 4 m ) -
U w a g a : W o g ó l n o [c i G m o |e d z i a Ba n a r ó |n e m i e j s c a k o n s t r u k c j i i z a w s z e m o |e
b y o z n a c z o n e j e d n y m s y m b o l e m , b o w i e m m a t a k i e s a m e w s p ó Bc z y n n i k i o b c i |e D
o r a z w s p ó Bc z y n n i k i r e d u k c y j n e
# 2 o b c i |e n i e z m i e n n e Q ( k a t E ) ( r o z Bo |o n e 6 k N / m n a o d c i n k u 4 m )
# 3 o b c i |e n i e z m i e n n e Q ( k a t H ) ( s k u p i o n e 3 0 0 k N n a k o Dc u w s p o r n i k a )
# 4 [n i e g S ( r o z Bo |o n e 3 k N / m n a o d c i n k u 3 m )
# 5 w i a t r 1 W + ( r o z Bo |o n e + 2 k N / m n a o d c i n k u 3 m )
# 6 w i a t r 2 W - ( r o z Bo |o n e - 2 k N / m n a o d c i n k u 3 m )
U w a g a :
1 ) o b c i |e n i a # 2 i # 3 r o z r ó |n i a m y , p o n i e w a | m a j i n n e w s p ó Bc z y n n i k i r e d u k c y j n e ,
2 ) o b c i |e n i a # 5 i # 6 r o z r ó |n i a m y , p o n i e w a | m o g m i e i n n e w s p ó Bc z y n n i k i
o b c i |e D ( d z i a Ba n i e k o r z y s t n e - n i e k o r z y s t n e )
K r o k 2 : S i Ba p r z e k r o j o w a o d p r o s t y c h o b c i |e D:
# 1 ( s t a Be )
# 1
1
V = Å"5 Å" 4 Å" 2
8
( = + 5 k N )
# 1
M ± - ± # 1 = V Å" 4 ( = 5 * 4 = + 2 0 k N m )
# 2 ( k a t . E )
# 2
1
V = Å" 6 Å" 4 Å" 2
8
( = + 6 k N )
# 2
M ± - ± # 2 = V Å" 4 ( = 6 * 4 = + 2 4 k N m )
# 3 ( k a t . H )
# 3
1
V = Å" 3 0 0 Å"1 1 ( = + 4 1 2 , 5 k N )
8
# 3
M ± - ± # 3 = V Å" 4 - 3 0 0 Å" 7 ( = - 4 5 0 k N m )
# 4 ( [n i e g )
# 4
1
V = Å" 3 Å"3 Å" ( 1 , 5 + 8 ) ( = + 1 0 , 7 k N )
8
# 4
M ± - ± # 4 = V Å" 4 - 3 Å" 3 Å" ( 1 , 5 + 4 ) ( = - 6 , 7 5 k N m )
# 5 ( W i a t r 1 )
# 5
1
V = Å" 2 Å"3 Å" ( 1 , 5 + 8 ) ( = + 7 , 1 3 k N )
8
# 5
M ± - ± # 5 = V Å" 4 - 2 Å"3 Å" ( 1 , 5 + 4 ) ( = - 4 , 5 k N m )
# 6 ( W i a t r 2 )
# 6
1
V = Å" ( - 2 ) Å" 3 Å" ( 1 , 5 + 8 ) ( = - 7 , 1 3 k N )
8
# 6
M ± - ± # 6 = V Å" 4 - ( - 2 ) Å"3 Å" ( 1 , 5 + 4 ) ( = + 4 , 5 k N m )
K r o k 3 : S y t u a c j e k o m b i n a c y j n e
K 1 : m a k s y m a l n a s i Ba M ± - ± b e z r e d u k c j i G o r a z b e z S i + W ( u j e m n e m o m e n t y ) . a l e z
- W
K 1 # # # #
M ± - ±1 , 3 5 Å" M ±1 + 1 , 5 Å" ( 1 , 0 Å" M ±2 ± + 0 Å" M ±3 + 0 , 6 Å" M ±6 ± ) ( = - 6 1 , 5 k N m )
- ± - - ± -
l u b
K 2 : m a k s y m a l n a s i Ba M ± - ± z r e d u k c j G , w i o d c e Q ( k a t . H )
K 2 # # # #
M ± - ± 0 , 8 5 Å"1 , 3 5 Å" M ±1 + 1 , 5 Å" M ±3 + 1 , 5 ( 1 , 0 Å" M ±2 ± + 0 , 6 Å" M ±6 ± )
- ± - ± - -
l u b &
K 3 : m i n i m a l n a s i Ba M ± - ± k o r z y s t n e d z i a Ba n i e G , Q ( k a t . E ) , + W , w i o d c e
Q ( k a t . H )
K 3 # # # # # #
M ± - ±1 , 0 Å" M ±1 + 1 , 5 Å" M ±3 + 0 , 0 Å" ( 1 , 0 Å" M ±2 ± + 0 , 5 Å" M ±4 ± ) + 1 , 5 Å" ( 0 , 5 Å" M ±4 ± + 0 , 6 Å" M ±5 )
- ± - ± - - - - ±
3 . 2 P r z y k Ba d : R a m a L 0 2 ( 2 0 1 3 - 0 5 - 0 8 )
W y z n a c z y m y m a k s y m a l n i m i n i m a l n o b l i c z e n i o w r e a k c j V r a m y p o k a z a n e j n a
r y s u n k u L 0 2 r a m a ( 2 0 1 3 - 0 5 - 0 8 )
K r o k 1 :
R a m a o b c i |o n a j e s t o b c i |e n i a m i p r o s t y m i o r ó |n e j n a t u r z e , k t ó r e o z n a c z y m y
n a s t p u j c o :
# 1 o b c i |e n i e s t a Be G ( 2 0 0 k N w n a r o |u p r a w y m ) -
# 2 o b c i |e n i e z m i e n n e Q ( k a t H ) ( 3 0 0 k N w n a r o |u p r a w y m )
# 3 [n i e g S ( 1 , 5 k N / m 2 * 2 m = 3 k N / m n a r y g l u )
# 4 r y g i e l W + ( + 0 , 8 k N / m 2 * 2 m = 1 , 6 k N / m )
# 5 r y g i e l W - ( - 0 , 8 k N / m 2 * 2 m = - 1 , 6 k N / m )
# 6 s Bu p W + ( + 0 , 2 k N / m 2 * 2 m = 0 , 4 k N / m )
# 7 s Bu p W - ( - 0 , 2 k N / m 2 * 2 m = - 0 , 4 k N / m )
U w a g a :
W i a t r m o |e j e d n o c z e [n i e d z i a Ba t a k , |e : 1 ) p a r c i e n a s Bu p # 6 + p a r c i e n a r y g i e l # 4
l u b s s a n i e n a r y g i e l # 5 , l u b 2 ) s s a n i e n a s Bu p # 7 + p a r c i e n a r y g i e l # 4 l u b s s a n i e n a
r y g i e l # 5 , c z y l i m o |l i w e s w s z y s t k i e k o m b i n a c j e d z i a Ba n i a w i a t r u s Bu p - r y g i e l .
K r o k 2 : S i Ba p r z e k r o j o w a o d p r o s t y c h o b c i |e D:
# 1 ( s t a Be )
# 1
V = 2 0 0 ( = + 2 0 0 k N )
# 2 ( k a t . H )
# 2
V = 3 0 0 ( = + 3 0 0 k N )
# 3 ( [n i e g )
# 3
1
V = Å" 3 Å" 5 Å" 2 , 5 ( = + 7 , 5 k N )
5
# 4 W i a t r 1 r y g i e l
# 4
1
V = Å"5 Å" 2 , 5 ( = + 4 , 0 k N )
5 1 , 6
# 5 W i a t r 2 r y g i e l
# 4
1
V = ( - 1 , 6 ) Å"5 Å" 2 , 5 ( = - 4 , 0 k N )
5
# 6 W i a t r 1 s Bu p
# 6
1
V = Å" 0 , 4 Å" 7 Å"3 , 5 ( = + 1 , 9 6 k N )
5
# 6 W i a t r 2 s Bu p
# 6
1
V = Å" ( - 0 , 4 ) Å" 7 Å" 3 , 5 ( = - 1 , 9 6 k N )
5
K r o k 3 : S y t u a c j e k o m b i n a c y j n e
z g o d n i e z e z n a n y m i r e g u Ba m i &
3 . 3 P r z y k Ba d L 0 1 , r z d 1 ( 2 0 1 3 - 0 5 - 2 3 )
W y z n a c z m y m a k s y m a l n i m i n i m a l n a o b l i c z e n i o w ( i n d e k s ( d ) ) r e a k c j p o d p o r o w
w u t w i e r d z e n i u p k t ( A ) b e l k i p o k a z a n e j n a r y s u n k u .
B e l k a o b c i |o n a j e s t :
" w p r z e g u b i e ( B ) s i B s k u p i o n o w a r t o [c i 1 0 0 k N o d o d d z i a By w a D s t a By c h i o
w a r t o [c i 5 0 k N o d o d d z i a By w a D u |y t k o w y c h p o m i e s z c z e D k a t e g o r i i C 2 .
" w p r z [l e ( C - D ) o b c i |e n i e m r o z Bo |o n y m 3 k N / m o d o b c i |e n i a [n i e g i e m
o r a z 2 k N / m o d o d d z i a By w a D s t a By c h
" w w zl e ( D ) m o m e n t e m s k u p i o n y m o d w i a t r u o w a r t o [c i + 1 0 k N m l u b - 1 0
k N m w z a l e |n o [c i o d k i e r u n k u w i a t r u .
U w a g a : N a r y s u n k u z d e f i n i o w a n o p o d p o r o w r e a k c j ( s y m b o l m o m e n t u n a n i e s i o n y
l i n i p r z e r y w a n ) j a k o m o m e n t p r a w o s k r t n y .
P o s z u k i w a b d z i e m y m a k s y m a l n e g o i m i n i m a l n e g o m o m e n t u o z w r o c i e
z d e f i n i o w a n y m n a r y s u n k u ( n a j w i k s z e g o i n a j m n i e j s z e g o z u w z g l d n i e n i e m
z n a k u ) .
3 . 3 . 1 D e f i n i c j a o b c i |e D p r o s t y c h
N a b e l k d z i a Ba j o b c i |e n i a p r o s t e , k t ó r e n u m e r u j m y z a l e |n i e o d i c h n a t u r y :
# 1 o b c i |e n i a s t a Be
# 2 o b c i |e n i e [n i e g i e m
# 3 o b c i |e n i e u |y t k o w e ( k a t C 2 )
# 4 o b c i |e n i e w i a t r e m + ( p l u s ) 1 0 k N m
# 5 o b c i |e n i e w i a t r e m ( m i n u s ) 1 0 k N m
U w a g a : O b c i |e n i a t e j s a m e j n a t u r y m a j t a k i e s a m e w s p ó Bc z y n n i k i o b c i |e D o r a z
w s p ó Bc z y n n i k i r e d u k c y j n e ( k o m b i n a c y j n e )
3 . 3 . 2 S i By o d o b c i |e D p r o s t y c h ( t e j s a m e j n a t u r y )
N a j p i e r w z n a j d z i e m y m o m e n t p o d p o r o w y M A k o l e j n o o d o b c i |e D p r o s t y c h .
R o z w i z u j e m y b e l k o b c i |o n T Y L K O j e d n y m o b c i |e n i e m p r o s t y m . I n n e
o b c i |e n i a p o m i j a m y .
# 1 o b c i |e n i e s t a Be
R o z w i |e m y b e l k :
U w a g a :
1 ) P o d p o r y z a s t p i l i [m y s i Ba m i r e a k c j i .
2 ) N a l e w y k o n i e c b e l k i d z i a Ba m o m e n t M A p r z e c i w n i e s k i e r o w a n y d o r e a k c j i
( m o m e n t l i n i p r z e r y w a n n a r y s u n k u z a d a n i a i m o m e n t l i n i c i g B
w y t |a j c a [r u b y ) .
W c e l u l e p s z e g o z r o z u m i e n i a z a d a n i a p r z y j l i [m y , |e b e l k a j e s t
p r z y t w i e r d z o n a d o p o d p o r y z a p o m o c d w ó c h [r u b : [r u b a g ó r n a ( g ) o r a z
[r u b a d o l n a ( d ) .
P o s z u k u j e m y s i B w y t |a j c y c h t e [r u b y . J e [l i M A j e s t d o d a t n i ( z g o d n i e z
d e f i n i c j d o d a t n i e g o z w r o t u p r z y j t n a w s t p i e ) , t o r o z c i g a n e s [r u b y ) ( d ) .
J e [l i M A j e s t u j e m n y , t o r o z c i g a n e s [r u b y ( g )
3 ) P o d p o r a p r z e s u w n a u s t a w i o n a p o d k t e m a d o p r t a p o w o d u j e , |e k i e r u n e k
r e a k c j i R j e s t u s t a l o n y i s k Ba d o w e p o z i o m a R x o r a z p i o n o w a R y s z w i z a n e
[c i s By m i z a l e |n o [c i a m i , p o k a z a n y m i n a r y s u n k u . W y s t a r c z y w y z n a c z y
d o w o l n s k Ba d o w ( R l u b R x l u b R y ) . Z a u w a |m y p o n a d t o , |e s k Ba d o w a R x n i e
d a j e m o m e n t u w z g l d e m o s i b e l k i . S k Ba d o w n i e t r y w i a l n j e s t R y i t
b d z i e m y w y z n a c z a . W r o z w a |a n y m z a d a n i u p o c h y l e n i e p o d p o r y m o |e m y
z i g n o r o w a .
D o w y z n a c z e n i a M A p o t r z e b u j e m y z n a j o m o [c i r e a k c j i R
R e a k c j a R
R ó w n a n i a r ó w n o w a g i b e l k i d a j z a p i s u j e m y w p o s t a c i u k Ba d u r ó w n a D:
"X = 0 ( 1 )
"Y = 0 ( 2 )
"M O = 0 ( 3 )
g d z i e ( O ) j e s t d o w o l n y m p u n k t e m n a p Ba s z c z y zn i e .
"M C [ p r a w a l u b l e w a ] = 0 ( 4 )
W r o z w a |a n y m p r z y p a d k u m a m y :
( 1 ) ’! R A , x + R C , x = 0 , g d z i e R A x p o z i o m a r e a k c j a w u t w i e r d z e n i u
Z a u w a |a m y , |e r ó w n a n i e ( 1 ) n i e j e s t p r z y d a t n e d o w y z n a c z e n i a R C , x i d a l e j j e
p o m i j a m y .
( 2 ) ’! R A , y + R C , y = 0
Z a u w a |a m y , |e r ó w n i e | r ó w n a n i e ( 2 ) n i e j e s t p r z y d a t n e d o w y z n a c z e n i a R C , y i d a l e j
j e p o m i j a m y .
( 3 ) ( A ) ’!M + 1 0 0 Å" 4 - R C , y Å"8 + 2 Å" 5 Å" ( 8 + 2 , 5 ) = 0
A
Z a u w a |a m y , |e w r ó w n a n i u ( 3 ) m a m y d w i e p o s z u k i w a n e n i e w i a d o m e , w i c r ó w n i e |
n i e j e s t u |y t e c z n e .
P o w i n n i [m y o d r a z u z a u w a |y , |e r ó w n a n i e m w Ba [c i w y m d o w y z n a c z e n i a R C , y j e s t
( 4 ) , t o z n a c z y w a r u n e k , |e w p r z e g u b i e m o m e n t , l i c z o n y j a k s i Ba p r z e k r o j o w a ( s u m a
m o m e n t ó w p r a w e j l u b l e w e j s t r o n y p r z e g u b u ) m u s i b y z e r o w y
1
( 4 ) ’! R C , y Å" 4 - 2 Å" 5 Å" ( 4 + 2 , 5 ) = 0 ’! R C , y = Å" 2 Å" 5 Å" 6 , 5 ( = 1 6 , 2 5 k N )
4
S t d m o g l i b y [m y w y z n a c z y R C = R C , y / s i n a o r a z R C , X = R c o s a , l e c z j e s t t o
z b y t e c z n e .
M o m e n t M A
T e r a z , z n a j c w s z y s t k i e s i By z l e w e j s t r o n y p o d p o r y o b l i c z y m y m o m e n t p o d p o r o w y
j a k o s i B p r z e k r o j o w , l i c z c l e w o s t r o n n i e :
+ M + 1 0 0 Å" 4 - 1 6 , 2 5 Å"8 + 2 Å" 5 Å" ( 8 + 2 , 5 ) = 0 ’! M = - 3 7 5 k N m
A A
# 2 o b c i |e n i e [n i e g i e m
R o z w i |e m y b e l k :
R e a k c j a R C
1
( 4 ) ’! R C , y Å" 4 - 3 Å" 5 Å" ( 4 + 2 , 5 ) = 0 ’! R C , y = Å" 3 Å"5 Å" 6 , 5 ( = 2 4 , 3 7 5 k N )
4
M o m e n t M A
M - 2 4 , 3 7 5 Å"8 - 3 Å"5 Å" ( 4 + 2 , 5 ) = 0 ’! M = + 3 7 , 5 k N m
A A
# 3 o b c i |e n i e u |y t k o w e ( k a t C 2 )
R o z w i |e m y b e l k :
R e a k c j a R C
( 4 ) ’! R C , y Å" 4 = 0 ’! R C , y = 0
( = 0 k N )
M o m e n t M A
M + 5 0 Å" 4 = 0 ’! M = - 2 0 0 k N m
A A
# 4 o b c i |e n i e w i a t r e m + 1 0 k N m
R o z w i |e m y b e l k :
R e a k c j a R C
1
( 4 ) ’! R C , y Å" 4 - 1 0 = 0 ’! R C , y = Å"1 0 =
4
( = 2 , 5 k N )
M o m e n t M A
M - 2 , 5 Å"8 - 1 0 = 0 ’! M = + 1 0 k N m
A A
# 5 o b c i |e n i e w i a t r e m - 1 0 k N m
R o z w i |e m y b e l k :
R e a k c j a R C
1
( 4 ) ’! R C , y Å" 4 + 1 0 = 0 ’! R C , y = Å" ( - 1 0 ) = ( = - 2 , 5 k N )
4
M o m e n t M A
M + 2 , 5 Å"8 + 1 0 = 0 ’! M = - 1 0 k N m
A A
Z e s t a w i e n i e m o m e n t ó w p o d p o r o w y c h d l a p r o s t y c h o b c i |e D
# 1 ( s t a Be ) - 3 7 5 k N m
# 2 ( [n i e g ) + 3 7 , 5 k N m
# 3 ( u |y t k o w e k a t C 2 ) - 2 0 0 k N m
# 4 ( w i a t r + 1 0 ) + 1 0 k N m
# 2 ( w i a t r - 1 0 ) - 1 0 k N m
3 . 4 K o m b i n a c j e o b c i |e D
3 . 4 . 1 S y t u a c j e k o m b i n a c y j n e d l a m a x M A
( m a x M A o d p o w i a d a r o z c i g a n i u d o l n y c h Bc z n i k ó w p o d p o r o w y c h [r u b a ( d ) )
K 1 : # 1 k o r z y s t n e
K 1
M = 1 , 0 Å" ( - 3 7 5 ) + 1 , 5 Å" 3 7 , 5 + 1 , 5 Å"1 0 Å" 0 , 6 + 0 , 0 Å" ( - 2 0 0 Å" 0 , 7 ) = - 3 0 9 , 7 5 k N m
A , d
K o m e n t a r z :
1 ) O b c i |e n i e w i a t r e m # 4 m a d z i a Ba n i e n i e k o r z y s t n e i w z i t o j e j a k o w i o d c e
o b c i |e n i e z m i e n n e . W i a t r # 5 n i e w y s t p i w k o m b i n a c j i , b o n i e m o |e d z i a Ba
r ó w n o c z e [n i e z # 4 .
2 ) w r o z p a t r y w a n e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j o b c i |e n i e s t a Be # 1 m a t y l k o d z i a Ba n i e
k o r z y s t n e , w i c n i e r o z p a t r u j e m y i n n y c h k o m b i n a c j i
3 ) W n i o s e k : [r u b y d o l n e ( d ) n i g d y n i e b d r o z c i g a n e .
3 . 4 . 2 S y t u a c j e k o m b i n a c y j n e d l a m i n M A
K 2 : # 1 b e z r e d u k c j i
K 2
M = 1 , 3 5 Å" ( - 3 7 5 ) + 1 , 5 Å"[ ) ( - 1 0 ) Å" 0 , 6 + ( - 2 0 0 ) Å" 0 , 7 ] + 0 , 0 Å" 3 7 , 5 = - 7 2 5 , 2 5 k N m
A , d
K 3 : # 1 z r e d u k c j , w i o d c e # 3
M = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 ( - 3 7 5 ) + 1 , 5 Å" ( - 2 0 0 ) + 1 , 5 Å"[ ( - 1 0 ) Å" 0 , 6 ] + 0 , 0 Å"3 7 , 5 = - 7 3 9 , 3 1 k N m
K 3
A , d
3 . 4 . 3 R o z w i z a n i e z a d a n i a
m a x M = - 3 0 9 , 7 5 k N m
A , d
m i n M = - 7 3 9 , 3 1 k N m
A , d
3 . 5 P r z y k Ba d L 0 1 , r z d 2 ( 2 0 1 3 - - 0 5 - 2 3 ) .
Z a m i e s z c z o n o w p l i k u P r z y k Ba d L 0 1 r z . 2 ( 2 3 - 0 5 - 2 0 1 3 ) . p d f
3 . 6 P r z y k Ba d L 0 1 , r z d 3 ( 2 0 1 3 - 0 5 - 2 3 ) .
Z a m i e s z c z o n o w p l i k u P r z y k Ba d L 0 1 r z . 3 ( 2 3 - 0 5 - 2 0 1 3 ) . p d f
3 . 7 P r z y k Ba d L 0 4 , r z d 1 ( 2 0 1 3 - 0 5 - 2 9 )
W y z n a c z y m a k s y m a l n i m i n i m a l n , o b l i c z e n i o w r e a k c j p o z i o m p o d p o r y A
k o n s t r u k c j i p o k a z a n e j n a r y s u n k u :
P o s z u k i w a n r e a k c j o z n a c z o n o j a k o H d , a j e j d o d a t n i z w r o t p r z y j t o w p r a w o . T a k
d e f i n i c j o z n a c z o n o l i n i p r z e r y w a n n a r y s u n k u . R e a k c j a m a k s y m a l n a j e s t w i c
n a j w i k s z d o d a t n i r e a k c j o z n a c z o n n a r y s u n k u . T a k a r e a k c j a p o w o d u j e
d o c i s k a n i e k o n s t r u k c j i d o p o d p o r y . J e [l i n a j m n i e j s z a w a r t o [ t e j r e a k c j i b d z i e
u j e m n a , t o b d z i e o n a o d r y w a k o n s t r u k c j o d p o d p o r y .
3 . 7 . 1 A n a l i z a s c h e m a t u k o n s t r u k c j i
S p r a w d z a m y s t a t y c z n w y z n a c z a l n o [ k o n s t r u k c j i !
M o |l i w e r ó w n a n i a d o o k r e [l e n i a n i e w i a d o m y c h r e a k c j i :
"X = 0 , "Y = 0 , "M = 0 ( r = 3 r ó w n a n i a r ó w n o w a g i k o n s t r u k c j i j a k o c a Bo [c i )
"M p r z e g u b = 0 ( p r ó w n a D, g d z i e p - l i c z b a p r z e g u b ó w )
W t y m p r z y p a d k u n i e m o |e m y z e s t a w i r ó w n a n i a "M p r z e g u b = 0 ,
p = 0
L i c z b a n i e w i a d o m y c h ( r e a k c j i H A , V A , H D , V D ) w y n o s i
n = 4
S t o p i e D s t a t y c z n e j n i e w y z n a c z a l n o [c i s :
s = n - r - p = 4 - 3 - 0 = 1
Z a n a l i z y k o n s t r u k c j i w y n i k a , z e j e s t o n a j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
F a k t t e n z g Ba s z a m y p r o j e k t a n t o w i i p o o b u s t r o n n y m u z g o d n i e n i u z w a l n i a m y j e d e n
s t o p n i e D s w o b o d y , w t y m p r z y p a d k u p r z e s u w p i o n o w y w p o d p o r z e w p k t . E , c o
o z n a c z o n o k o l o r e m c z e r w o n y m n a r y s u n k u .
3 . 7 . 2 D e f i n i c j a o b c i |e D p r o s t y c h ( t e j s a m e j n a t u r y )
Z a n a l i z y n a t u r y o b c i |e D, d z i a Ba j c y c h n a k o n s t r u k c j , w y n i k a , |e m o |e m y p r z y j
n a s t p u j c e o b c i |e n i a p r o s t e :
# 1 o b c i |e n i a s t a Be ( 6 k N / m + 3 0 k N )
# 2 u |y t k o w e , k a t H ( 5 k N )
# 3 [n i e g ( 8 k N / m )
# 4 w i a t r 1 ( + 6 0 k N )
# 5 w i a t r 2 ( - 6 0 k N )
3 . 7 . 3 R e a k c j a H A o d o b c i |e D p r o s t y c h
A n a l i z u j e m y u k Ba d d l a k o l e j n y c h o b c i |e D p r o s t y c h . W s c h e m a c i e p r o s t y m p o m i j a m y
o b c i |e n i a p r z y n a l e |n e d o i n n y c h s c h e m a t ó w . K o n f i g u r a c j a g e o m e t r y c z n a ( w t y m
p o d p o r y ) u k Ba d u k o n s t r u k c y j n e g o p o z o s t a j e n i e z m i e n n a d l a k a |d e g o s c h e m a t u
o b c i |e D.
£X = 0 : H - H E = 0
A
£Y = 0 : V A - 6 Å" 4 - 3 0 = 0 ’! V A = 5 4 k N
# 1
4
£M = 0 : V A Å" 4 - H Å" 6 - 6 Å" 4 Å" = 0 ’! H = 2 8 k N
E A A
2
£X = 0 : H - H E = 0
A
£Y = 0 : V A - 5 = 0 ’! V A = 5 k N
# 2
£M = 0 : V A Å" 4 - H Å" 6 = 0 ’! H = 3 , 3 3 k N
E A A
£X = 0 : H - H E = 0
A
£Y = 0 : V A - 8 Å" 4 = 0 ’! V A = 3 2 k N
# 3
4
£M = 0 : V A Å" 4 - H Å" 6 - 8 Å" 4 Å" = 0 ’! H = 1 0 , 6 7 k N
E A A
2
£Y = 0 : ’! V A = 0 k N
£M = 0 : H E Å" 6 - 6 0 Å" 4 ’! H E = 1 0 k N
A
# 4
£X = 0 : H - H E = 0 ’! H = 1 0 k N
A A
£Y = 0 : ’! V A = 0 k N
£M = 0 : H E Å" 6 + 6 0 Å" 4 ’! H E = - 1 0 k N
A
# 5
£X = 0 : H - H E = 0 ’! H = - 1 0 k N
A A
Z e s t a w i e n i e r e a k c j i o d p r o s t y c h o b c i |e D
# 1 ( s t a Be ) 2 8 k N
# 2 ( u |y t k o w e H ) 3 , 3 3 k N
# 3 ( [n i e g ) 1 0 , 6 7 k N
# 4 ( w i a t r 1 1 0 , 0 0 k N
# 5 ( w i a t r 2 ) - 1 0 , 0 0 k N
3 . 7 . 4 K o m b i n a c j e o b c i |e D
3 . 7 . 4 . 1 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m a x H A
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o H A
o s i g n i e w a r t o [ m a k s y m a l n .
S t a l e o b c i |e n i e d z i a Ba w k a |d e j k o m b i n a c j i , a d l a m a k s i m u m H A t r z e b a w z i
j e s z c z e u |y t k o w e , [n i e g o r a z w i a t r 1 ( w i a t r 2 p o m i j a m y b o d z i a Ba k o r z y s t n i e w t e j
s y t u a c j i p o m n i e j s z a H A ) . D l a t y c h s k Ba d o w y c h p r z e l i c z a m y p o s z c z e g ó l n e f o r m u By
k o m b i n a c y j n e :
K 1 ( s t a Be n i e k o r z y s t n e , b e z r e d u k c j i )
K 1
H = 1 , 3 5 Å" 2 8 + 1 , 5 Å" ( 0 , 0 Å" 3 , 3 3 + 0 , 5 Å"1 0 , 6 7 + 0 , 6 Å"1 0 )
A
( = 5 4 , 8 0 k N )
K 2 ( s t a Be n i e k o r z y s t n e , z r e d u k c j , w i o d c y u |y t k o w e )
K 2
H = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 Å" 2 8 + 1 , 5 Å" 3 , 3 3 + 1 , 5 ( 0 , 5 Å"1 0 , 6 7 + 0 , 6 Å"1 0 )
A
( = 5 7 , 1 3 k N ) ( = 5 4 , 1 2 k N )
K 3 ( s t a Be n i e k o r z y s t n e , z r e d u k c j , w i o d c y [n i e g ) ( = 5 4 , 8 0 k N )
K 3
H = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 Å" 2 8 + 1 , 5 Å"1 0 , 6 7 + 1 , 5 ( 0 , 0 Å" 3 , 3 3 + 0 , 6 Å"1 0 )
A
( = 5 5 , 1 3 k N ) ( = 5 7 , 1 3 k N )
K 4 ( s t a Be n i e k o r z y s t n e , z r e d u k c j , w i o d c y w i a t r )
K 4
H = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 Å" 2 8 + 1 , 5 Å"1 0 , 0 0 + 1 , 5 ( 0 , 0 Å" 3 , 3 3 + 0 , 5 Å"1 0 , 6 7 )
A
( = 5 5 , 1 3 k N )
3 . 7 . 4 . 2 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m i n H A
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o H A
o s i g n i e w a r t o [ m i n i m a l n .
P o n i e w a | o b c i |e n i e s t a Be z w i k s z a r e a k c j , w i c w t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j j e g o
d z i a Ba n i e j e s t k o r z y s t n e . R o z p a t r u j e m y w i c T Y L K O s y t u a c j e z k o r z y s t n y m
d z i a Ba n i e m o b c i |e n i a s t a Be g o :
K 5 ( s t a Be k o r z y s t n e , b e z r e d u k c j i )
K 5
H = 1 , 0 0 Å" 2 8 + 1 , 5 Å"[ ( - 1 0 ) ] + 0 , 0 Å" ( p o z o s t a Bo _ z m i e n n e _ k o r z y s t n e ) ( = 1 3 , 0 0 k N )
A
3 . 7 . 5 R o z w i z a n i e z a d a n i a
K 3
m a x H = H ) ( = 5 7 , 1 3 k N )
A
A , d
K 5
m i n H = H ( = 1 3 , 0 0 k N )
A , d
A
3 . 8 P r z y k Ba d L 0 4 , r z . 2 ( 2 0 1 3 - 0 5 - 2 0 )
W y z n a c z y m a k s y m a l n i m i n i m a l n , o b l i c z e n i o w r e a k c j p o z i o m p o d p o r y D n a
k o n s t r u k c j p o k a z a n n a r y s u n k u :
P o s z u k i w a n r e a k c j o z n a c z o n o j a k o V d , a j e j d o d a t n i z w r o t p r z y j t o w g ó r . T a k
d e f i n i c j o z n a c z o n o l i n i p r z e r y w a n n a r y s u n k u . R e a k c j a m a k s y m a l n a j e s t w i c
n a j w i k s z d o d a t n i r e a k c j o z n a c z o n n a r y s u n k u . T a k a r e a k c j a p o w o d u j e
d o c i s k a n i e k o n s t r u k c j i d o p o d p o r y . J e [l i n a j m n i e j s z a w a r t o [ t e j r e a k c j i b d z i e
u j e m n a , t o b d z i e o n a o d r y w a k o n s t r u k c j o d p o d p o r y .
3 . 8 . 1 A n a l i z a s c h e m a t u k o n s t r u k c j i
S p r a w d z a m y s t a t y c z n w y z n a c z a l n o [ k o n s t r u k c j i .
W c e l u o k r e [l e n i a n i e w i a d o m y c h r e a k c j i m a m y d o d y s p o z y c j i n a s t p u j c e r ó w n a n i a .
"X = 0 , "Y = 0 , "M = 0 , ( c z y l i r = 3 r ó w n a n i a r ó w n o w a g i c a Be j k o n s t r u k c j i ) ;
o r a z "M p r z e g u b = 0 ( p d o d a t k o w y c h r ó w n a D s i B w e w n t r z k o n s t r u k c j i )
W t y m p r z y p a d k u m o |e m y z e s t a w i j e d n o r ó w n a n i a "M p r z e g u b = 0 ( w p r z e g u b i e D ) ,
p = 1
N i e w i a d o m e s r e a k c j e : H A , V A , M A H E , V E ) , a i c h l i c z b a w y n o s i
n = 5
S t o p i e D s t a t y c z n e j n i e w y z n a c z a l n o [c i s , w y n o s i
s = n - r - p = 5 - 3 - 1 = 1
Z a n a l i z y k o n s t r u k c j i w y n i k a , |e j e s t o n a j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
F a k t t e n z g Ba s z a m y p r o j e k t a n t o w i i p o o b u s t r o n n y m u z g o d n i e n i u z w a l n i a m y j e d e n
s t o p n i e D s w o b o d y . W t y m p r z y p a d k u u z g a d n i a m y z w o l n i e n i e o b r o t u w p o d p o r z e w
p k t . A , c o o z n a c z o n o k o l o r e m c z e r w o n y m n a r y s u n k u .
3 . 8 . 2 D e f i n i c j a o b c i |e D p r o s t y c h ( t e j s a m e j n a t u r y )
Z a n a l i z y n a t u r y o b c i |e D, d z i a Ba j c y c h n a k o n s t r u k c j , w y n i k a , |e m o |e m y p r z y j
n a s t p u j c e o b c i |e n i a p r o s t e , t o z n a c z y t a k i e , d o k t ó r y c h m a m y t a k i e d a m e
w s p ó Bc z y n n i k i o b c i |e D i r e d u k c y j n e :
# 1 o b c i |e n i a s t a Be ( 1 5 0 k N + 4 k N / m )
# 2 u |y t k o w e , k a t B ( 2 0 k N m )
# 3 [n i e g ( 1 5 0 k N )
# 4 w i a t r 1 ( + 6 k N / m )
# 5 w i a t r 2 ( - 6 k N / m )
3 . 8 . 3 R e a k c j a H A o d o b c i |e D p r o s t y c h
A n a l i z u j e m y u k Ba d d l a k o l e j n y c h o b c i |e D p r o s t y c h . W s c h e m a c i e p r o s t y m
p o m i j a m y ( ! ) o b c i |e n i a p r z y n a l e |n e d o i n n y c h s c h e m a t ó w . K o n f i g u r a c j a
g e o m e t r y c z n a ( w t y m p o d p o r y ) u k Ba d u k o n s t r u k c y j n e g o p o z o s t a j e n i e z m i e n n a d l a
k a |d e g o s c h e m a t u o b c i |e D.
£X = 0 : H - H E = 0
A
( 1 )
£Y = 0 : V A + V E - 1 5 0 - 4 Å"5 = 0
( 2 )
£M = 0 : V E Å" 6 - 1 5 0 Å" 3 - 4 Å" 5 Å" 6 = 0
E
( 3 )
1
’! V E = Å" ( 1 5 0 Å" 3 + 4 Å" 5 Å" 6 ) = 9 5 k N
6
( 3 )
# 1
’! V A = 1 5 0 + 4 Å"5 - 9 5 = 7 5 k N
( 2 )
# 2
£M = 0 : V A Å" 6 + 2 0 = 0 ’! V A = - 3 , 3 k N
E
#
£M E = 0 : V A Å"6 - 2 0 0 3 = 0 ’!V A 3 = 1 0 0
Å" k N
# 4
5
£M = 0 : V A Å" 6 + 6 Å"5 Å" = 0 ’! V A = - 1 2 , 5 k N
E
2
# 4
5
£M = 0 : V A Å" 6 - 6 Å"5 Å" = 0 ’! V A = + 1 2 , 5 k N
E
2
Z e s t a w i e n i e r e a k c j i o d p r o s t y c h o b c i |e D
# 1 ( s t a Be ) 7 5 k N
# 2 ( u |y t k o w e B ) - 3 , 3 k N
# 3 ( [n i e g ) 1 0 0 , 0 k N
# 4 ( w i a t r 1 ) - 1 2 , 5 k N
# 5 ( w i a t r 2 ) 1 2 , 5 0 k N
3 . 8 . 4 K o m b i n a c j e o b c i |e D
3 . 8 . 4 . 1 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m a x H A
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o H A
o s i g n i e w a r t o [ m a k s y m a l n .
S t a Be o b c i |e n i e d z i a Ba w k a |d e j k o m b i n a c j i . W s y t u a c j i m a x H A o b c i |e n i e s t a Be m a
d z i a Ba n i e n i e k o r z y s t n e . N i e k o r z y s t n e o b c i |e n i a z m i e n n e s t e , k t ó r e p o w i k s z a j
p o s z u k i w a n w i e l k o [, c z y l i w t y m p r z y p a d k u : [n i e g o r a z w i a t r 2 , a i n n e z m i e n n e
( u |y t k o w e , w i a t r 1 ) s k o r z y s t n e , b o p o m n i e j s z a j p o s z u k i w a n w i e l k o [
K 1 ( s t a Be b e z r e d u k c j i )
K 1
H = 1 , 3 5 Å" 7 5 + 1 , 5 Å" ( 0 , 5 Å"1 0 0 , 0 + 1 2 , 5 Å" 0 , 6 ) + 0 Å"[ 0 , 7 Å" ( - 3 , 3 ) ] = 1 8 7 , 5 k N ( = 1 8 7 , 5 0 k N )
A
K 2 ( s t a Be z r e d u k c j , w i o d c y [n i e g )
K 2
H = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 Å" 7 5 + 1 , 5 Å"1 0 0 , 0 + 1 , 5 ( 0 , 6 Å"1 2 , 5 ) + 0 Å"[ 0 , 7 Å" ( - 3 , 3 ) ] ( = 2 4 7 , 3 1 k N )
A
K 3 ( s t a Be z r e d u k c j , w i o d c y w i a t r ) ( = 5 4 , 8 0 k N )
K 3
H = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 Å" 2 8 + 1 , 5 Å"1 0 , 6 7 + 1 , 5 ( 0 , 0 Å" 3 , 3 3 + 0 , 6 Å"1 0 ) ( = 5 5 , 1 3 k N ) ( = 5 7 , 1 3 k N )
A
3 . 8 . 4 . 2 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m i n H A
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o H A
o s i g n i e w a r t o [ m i n i m a l n .
P o n i e w a | o b c i |e n i e s t a Be m a w r o z w a |a n y m p r z y p a d k u z a w s z e d z i a Ba n i e
k o r z y s t n e , w i c w y s t a r c z y r o z p a t r z y t y l k o j e d n k o m b i n a c j
K 4 ( s t a Be k o r z y s t n e )
K 4
H = 1 , 0 0 Å" 2 8 + 1 , 5 Å"[ ( - 1 0 ) ] + 0 , 0 Å" ( p o z o s t a Bo _ z m i e n n e _ k o r z y s t n e ) ( = 1 3 , 0 0 k N )
A
R o z w i z a n i e z a d a n i a
K 3 K 4
m a x H = H ( = 5 7 , 1 3 k N ) ; m i n H = H ( = 1 3 , 0 0 k N )
A , d
A
A
A , d
3 . 9 P r z y k Ba d L 0 4 , r z . 2 ( 2 0 1 3 - 0 5 - 2 0
W y z n a c z y m a k s y m a l n i m i n i m a l n , o b l i c z e n i o w r e a k c j p o z i o m p o d p o r y D n a
k o n s t r u k c j p o k a z a n n a r y s u n k u :
P o s z u k i w a n r e a k c j o z n a c z o n o j a k o V d , a j e j d o d a t n i z w r o t p r z y j t o w g ó r . T a k
d e f i n i c j o z n a c z o n o l i n i p r z e r y w a n n a r y s u n k u . R e a k c j a m a k s y m a l n a j e s t w i c
n a j w i k s z d o d a t n i r e a k c j o z n a c z o n n a r y s u n k u . T a k a r e a k c j a p o w o d u j e
d o c i s k a n i e k o n s t r u k c j i d o p o d p o r y . J e [l i n a j m n i e j s z a w a r t o [ t e j r e a k c j i b d z i e
u j e m n a , t o b d z i e o n a o d r y w a k o n s t r u k c j o d p o d p o r y .
3 . 9 . 1 A n a l i z a s c h e m a t u k o n s t r u k c j i
S p r a w d z a m y s t a t y c z n w y z n a c z a l n o [ k o n s t r u k c j i .
W c e l u o k r e [l e n i a n i e w i a d o m y c h r e a k c j i m a m y d o d y s p o z y c j i n a s t p u j c e r ó w n a n i a .
"X = 0 , "Y = 0 , "M = 0 , ( c z y l i r = 3 r ó w n a n i a r ó w n o w a g i c a Be j k o n s t r u k c j i ) ;
o r a z "M p r z e g u b = 0 ( p d o d a t k o w y c h r ó w n a D s i B w e w n t r z k o n s t r u k c j i )
W t y m p r z y p a d k u m o |e m y z e s t a w i j e d n o r ó w n a n i a "M p r z e g u b = 0 ( w p r z e g u b i e D ) ,
p = 1
N i e w i a d o m e s r e a k c j e : H A , V A , M A H E , V E ) , a i c h l i c z b a w y n o s i
n = 5
S t o p i e D s t a t y c z n e j n i e w y z n a c z a l n o [c i s , w y n o s i
s = n - r - p = 5 - 3 - 1 = 1
Z a n a l i z y k o n s t r u k c j i w y n i k a , |e j e s t o n a j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
F a k t t e n z g Ba s z a m y p r o j e k t a n t o w i i p o o b u s t r o n n y m u z g o d n i e n i u z w a l n i a m y j e d e n
s t o p n i e D s w o b o d y . W t y m p r z y p a d k u u z g a d n i a m y z w o l n i e n i e o b r o t u w p o d p o r z e w
p k t . A , c o o z n a c z o n o k o l o r e m c z e r w o n y m n a r y s u n k u .
3 . 9 . 2 D e f i n i c j a o b c i |e D p r o s t y c h ( t e j s a m e j n a t u r y )
Z a n a l i z y n a t u r y o b c i |e D, d z i a Ba j c y c h n a k o n s t r u k c j , w y n i k a , |e m o |e m y p r z y j
n a s t p u j c e o b c i |e n i a p r o s t e , t o z n a c z y t a k i e , d o k t ó r y c h m a m y t a k i e d a m e
w s p ó Bc z y n n i k i o b c i |e D i r e d u k c y j n e :
# 1 o b c i |e n i a s t a Be ( 1 5 0 k N + 4 k N / m )
# 2 u |y t k o w e , k a t B ( 2 0 k N m )
# 3 [n i e g ( 1 5 0 k N )
# 4 w i a t r 1 ( + 6 k N / m )
# 5 w i a t r 2 ( - 6 k N / m )
3 . 9 . 3 R e a k c j a H A o d o b c i |e D p r o s t y c h
A n a l i z u j e m y u k Ba d d l a k o l e j n y c h o b c i |e D p r o s t y c h . W s c h e m a c i e p r o s t y m
p o m i j a m y ( ! ) o b c i |e n i a p r z y n a l e |n e d o i n n y c h s c h e m a t ó w . K o n f i g u r a c j a
g e o m e t r y c z n a ( w t y m p o d p o r y ) u k Ba d u k o n s t r u k c y j n e g o p o z o s t a j e n i e z m i e n n a d l a
k a |d e g o s c h e m a t u o b c i |e D.
£X = 0 : H - H E = 0 ( 1 )
A
£Y = 0 : V A + V E - 1 5 0 - 4 Å"5 = 0 ( 2 )
£M = 0 : V E Å" 6 - 1 5 0 Å" 3 - 4 Å" 5 Å" 6 = 0 ( 3 )
E
1
( 3 ) ’! V E = Å" ( 1 5 0 Å" 3 + 4 Å" 5 Å" 6 ) = 9 5 k N
6
# 1
( 2 ) ’! V A = 1 5 0 + 4 Å"5 - 9 5 = 7 5 k N
# 2
£M = 0 : V A Å" 6 + 2 0 = 0 ’! V A = - 3 , 3 k N
E
#
£M E = 0 : V A Å"6 - 2 0 0 Å"3 = 0 ’!V A 3 = 1 0 0
k N
# 4
5
£M = 0 : V A Å" 6 + 6 Å"5 Å" = 0 ’! V A = - 1 2 , 5 k N
E
2
# 4
5
£M = 0 : V A Å" 6 - 6 Å"5 Å" = 0 ’! V A = + 1 2 , 5 k N
E
2
Z e s t a w i e n i e r e a k c j i o d p r o s t y c h o b c i |e D
# 1 ( s t a Be ) 7 5 k N
# 2 ( u |y t k o w e B ) - 3 , 3 k N
# 3 ( [n i e g ) 1 0 0 , 0 k N
# 4 ( w i a t r 1 ) - 1 2 , 5 k N
# 5 ( w i a t r 2 ) 1 2 , 5 0 k N
3 . 9 . 4 K o m b i n a c j e o b c i |e D
3 . 9 . 4 . 1 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m a x H A
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o H A
o s i g n i e w a r t o [ m a k s y m a l n .
S t a Be o b c i |e n i e d z i a Ba w k a |d e j k o m b i n a c j i . W s y t u a c j i m a x H A o b c i |e n i e s t a Be m a
d z i a Ba n i e n i e k o r z y s t n e . N i e k o r z y s t n e o b c i |e n i a z m i e n n e s t e , k t ó r e p o w i k s z a j
p o s z u k i w a n w i e l k o [, c z y l i w t y m p r z y p a d k u : [n i e g o r a z w i a t r 2 , a i n n e z m i e n n e
( u |y t k o w e , w i a t r 1 ) s k o r z y s t n e , b o p o m n i e j s z a j p o s z u k i w a n w i e l k o [
K 1 ( s t a Be b e z r e d u k c j i )
K 1
H = 1 , 3 5 Å" 7 5 + 1 , 5 Å" ( 0 , 5 Å"1 0 0 , 0 + 1 2 , 5 Å" 0 , 6 ) + 0 Å"[ 0 , 7 Å" ( - 3 , 3 ) ] = 1 8 7 , 5 k N ( = 1 8 7 , 5 0 k N )
A
K 2 ( s t a Be z r e d u k c j , w i o d c y [n i e g )
K 2
H = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 Å" 7 5 + 1 , 5 Å"1 0 0 , 0 + 1 , 5 ( 0 , 6 Å"1 2 , 5 ) + 0 Å"[ 0 , 7 Å" ( - 3 , 3 ) ] ( = 2 4 7 , 3 1 k N )
A
K 3 ( s t a Be z r e d u k c j , w i o d c y w i a t r ) ( = 5 4 , 8 0 k N )
K 3
H = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 Å" 2 8 + 1 , 5 Å"1 0 , 6 7 + 1 , 5 ( 0 , 0 Å" 3 , 3 3 + 0 , 6 Å"1 0 ) ( = 5 5 , 1 3 k N ) ( = 5 7 , 1 3 k N )
A
3 . 9 . 4 . 2 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m i n H A
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o H A
o s i g n i e w a r t o [ m i n i m a l n .
P o n i e w a | o b c i |e n i e s t a Be m a w r o z w a |a n y m p r z y p a d k u z a w s z e d z i a Ba n i e
k o r z y s t n e , w i c w y s t a r c z y r o z p a t r z y t y l k o j e d n k o m b i n a c j
K 4 ( s t a Be k o r z y s t n e )
K 4
H = 1 , 0 0 Å" 2 8 + 1 , 5 Å"[ ( - 1 0 ) ] + 0 , 0 Å" ( p o z o s t a Bo _ z m i e n n e _ k o r z y s t n e ) ( = 1 3 , 0 0 k N )
A
R o z w i z a n i e z a d a n i a
K 3 K 4
m a x H = H ( = 5 7 , 1 3 k N ) ; m i n H = H ( = 1 3 , 0 0 k N )
A , d
A
A
A , d
3 . 1 0 P r z y k Ba d ( 2 0 1 3 - 0 6 - 0 4 ) r z . 1 .
W y z n a c z y m a k s y m a l n i m i n i m a l n , o b l i c z e n i o w r e a k c j p o z i o m m o m e n t u z g i -
n a j c e g o
M a a , d w p r z e k r o j u a - a k o n s t r u k c j i p o k a z a n e j n a r y s u n k u :
P o s z u k i w a n s i B p r z e k r o j o w ( p r t o w ) b d z i e m y z n a k o w a z g o d n i e z e s t a n d a r -
d o w
u m o w , t z n p r z y j m o w a j a k o d o d a t n i j e [l i r o z c i g a w Bó k n a d o l n e r y g l a , a
u j e m n j e [l i r o z c i g a g ó r n e w Bó k n a r y g l a .
3 . 1 0 . 1 A n a l i z a s c h e m a t u k o n s t r u k c j i
S p r a w d z a m y s t a t y c z n w y z n a c z a l n o [ k o n s t r u k c j i .
W c e l u o k r e [l e n i a n i e w i a d o m y c h r e a k c j i m a m y d o d y s p o z y c j i n a s t p u j c e r ó w n a n i a .
£X = 0 , £Y = 0 , £M = 0 , ( c z y l i r = 3 r ó w n a n i a r ó w n o w a g i c a Be j k o n s t r u k c j i ) ; i n i e m a m y
d o d a t k o w y c h r ó w n a D l o k a l n y c h ( p = 0 )
N i e w i a d o m y c h ( r e a k c j i ) m a m y r ó w n i e |
n = 3
w i c k o n s t r u k c j e j e s t s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n a .
3 . 1 0 . 2 D e f i n i c j a o b c i |e D p r o s t y c h ( t e j s a m e j n a t u r y )
Z a n a l i z y n a t u r y o b c i |e D, d z i a Ba j c y c h n a k o n s t r u k c j , w y n i k a , |e m o |e m y p r z y j
n a s t p u j c e o b c i |e n i a p r o s t e , t o z n a c z y t a k i e , d o k t ó r y c h m a m y t a k i e s a m e w s p ó B-
c z y n n i k i o b c i |e D i r e d u k c y j n e :
# 1 o b c i |e n i a s t a Be ( 1 5 0 k N + 4 k N / m )
# 2 u |y t k o w e , k a t D 1 ( 3 k N / m )
# 3 [n i e g ( 5 k N / m )
# 4 w i a t r 1 p a r c i e ( + 3 0 k N i 8 k N / m )
# 5 w i a t r 2 s s a n i e ( - 3 0 k N i - 8 k N / m )
3 . 1 0 . 3 R e a k c j a V A i M a a o d o b c i |e D p r o s t y c h
a a
a a
a a
A n a l i z u j e m y u k Ba d d l a k o l e j n y c h o b c i |e D p r o s t y c h . W s c h e m a c i e p r o s t y m p o m i j a -
m y
( ! ) o b c i |e n i a p r z y n a l e |n e d o i n n y c h s c h e m a t ó w . K o n f i g u r a c j a g e o m e t r y c z n a ( w
t y m p o d p o r y ) u k Ba d u k o n s t r u k c y j n e g o p o z o s t a j e n i e z m i e n n a d l a k a |d e g o s c h e m a t u
o b c i |e D.
£X = 0 : H D = 0 ( 1 )
£Y = 0 : V A + V D = 0 ( 2 )
£M D = 0 : V A Å" 6 + 1 5 0 = 0 ( 3 )
( 3 ) V A ( 1 5 0 ) 2 5 k N 6
1 ’! # 1 = Å" - = -
M ±# 1 - ± = + ( - 2 5 ) Å"3 = - 7 5 k N m
U w a g a : P o w y |e j o b l i c z o n o m o m e n t z g i n a j c y
z l e w e j
s t r o n y m o m e n t u s k u p i o n e g o 1 5 0 k N m .
P o p r a w e j s t r o n i e m o m e n t z g i n a j c y w y n o s i Bb y
M a a = - 7 5 + 1 5 0 = 7 5 k N m
Z g o d n i e z p o l e c e n i e m i n t e r e s u j e n a s m o m e n t
z g i n a j c y r y g i e l p o l e w e j s t r o n i e m o m e n t u
s k u p i o n e g o .
£X = 0 : H D = 0 ( 1 )
£Y = 0 : V A + V D - 3 Å" 6 = 0 ( 2 )
£M B - C = 0 : V A Å" 3 - V D Å" 3 = 0 ’!V D = V A ( 3 )
( c o w i d a o d r a z u z r a c j i s y m e t r i i o b c i |e D i
u s t r o j u )
Z ( 3 ) i ( 2 ) V A 3 6 9 k N 2
’! # 2 = 1 Å" Å" =
T o s a m o m o |n a u z y s k a n p . z £M D = 0 : V A
Å" 6 - 3 Å" 6 Å" 3 = 0
M 9 3 3 3 1 3 , 5 k N m 2
3 # 2 = + × - × × = a - a
2 3
S M D = 0 : V A × 6 - 5 × 6 × 3 =
0 ® V A = 1 5 k N
M 1 5 3 5 3 0 M # 3 2 2 , 5 k N m
2 3
= # 3 = + × - × × = ® = a - a a - a
M D 0 : V A 6 3 0 4 8 4 0 V A 3 0 , 6 7 k N
2
4 S = × + × + × × = ® = -
M a # 4 - a = + ( - 3 0 , 6 7 ) × 3 - 3 0 × 4 =
0 ® M a # 4 - a = - 2 1 2 , 0 k N m
M D 0 : V A 6 3 0 4 8 4 0 V A 3 0 , 6 7 k N
2
4 S = × - × - × × = ® = +
M a # 4 - a = + ( + 3 0 , 6 7 ) × 3 + 3 0 × 4 =
0 ® M a # 4 - a = + 2 1 2 , 0 k N m
Z e s t a w i e n i e m o m e n t u z g i n a j c e g o o d p r o s t y c h o b c i |e D
# 1 ( s t a Be ) - 7 5 k N m
# 2 ( u |y t k o w e B ) + 1 3 , 5 k N m
# 3 ( [n i e g ) + 2 2 , 5 k N m
# 4 ( w i a t r 1 ) - 2 1 2 , 0 k N m
# 5 ( w i a t r 2 ) + 2 1 2 , 0 k N m
3 . 1 0 . 4 K o m b i n a c j e o b c i |e D
3 . 1 0 . 4 . 1 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m a x M a a
a a
a a
a a
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o M a a
o s i g n i e w a r t o [ m a k s y m a l n ( n a j w i k s z d o d a t n i )
W s y t u a c j i m a x M a a o b c i |e n i e s t a Be m a d z i a Ba n i e k o r z y s t n e ( d a j e u j e m n y m o m e n t ,
c z y l i z m n i e j s z a m o m e n t m a k s y m a l n y )
N i e k o r z y s t n e o b c i |e n i a z m i e n n e s t e , k t ó r e p o w i k s z a j p o s z u k i w a n w i e l k o [,
c z y l i w t y m p r z y p a d k u : u |y t k o w e , [n i e g o r a z w i a t r 2 , a i n n e z m i e n n e ( u |y t k o w e ,
( w i a t r 1 ) s k o r z y s t n e , b o p o m n i e j s z a j p o s z u k i w a n w i e l k o [
K 1 ( s t a Be k o r z y s t n e , w i o d c y w i a t r 2 )
K 1
M ± - ± = 1 , 0 0 Å" ( - 7 5 ) + 1 , 5 Å" 2 1 2 + 1 , 5 ( 0 , 5 Å" 2 2 , 5 + 0 , 7 Å"1 3 , 5 ) = 2 7 4 , 0 5 k N m ± - ±
K 2 ( s t a Be k o r z y s t n e , w i o d c y [n i e g )
K 2
M ± - ± = 1 , 0 0 Å" ( - 7 5 ) + 1 , 5 Å" 2 2 , 5 + 1 , 5 ( + 0 , 7 Å"1 3 , 5 + 0 , 6 Å" 2 1 2 , 0 ) = 1 6 3 , 7 3 k N m ± - ±
K 3 ( s t a Be k o r z y s t n e , w i o d c e u |y t k o w e )
K 3
M ± - ± = 1 , 0 0 Å" ( - 7 5 ) + 1 , 5 Å"1 3 , 5 + 1 , 5 ( + 0 , 5 Å" 2 2 , 5 + 0 , 6 Å" 2 1 2 , 0 ) = 1 5 2 , 9 3 k N
3 . 1 0 . 4 . 2 S y t u a c j a k o m b i n a c y j n a m i n M a a
a a
a a
a a
W t e j s y t u a c j i k o m b i n a c y j n e j p o s z u k u j e m y t a k i e g o u k Ba d u o b c i |e D, d l a k t ó r e g o M a a
o s i g n i e w a r t o [ m i n i m a l n .
O b c i |e n i e s t a Be m a w r o z w a |a n y m p r z y p a d k u d z i a Ba n i e n i e k o r z y s t n e , w i c
r o p a t r u j e m y k o m b i n a c j e s t a n d a r d o w e :
K 4 ( s t a Be b e z r e d u k c j i )
M K 4 = 1 , 3 5 Å" ( - 7 5 ) + 1 , 5 Å"[ 0 , 6 Å" ( - 2 1 2 ) ] + 0 Å" ( p o z o s t a Be _ z m i e n n e ) = 2 9 2 , 0 5 k N m ± - ±
K 5 ( s t a Be z r e d u k c j , w i a t r 1 w i o d c y )
M K 4 = 1 , 3 5 Å" 0 , 8 5 ( - 7 5 ) + 1 , 5 Å" ( - 2 1 2 ) + 0 , 0 Å" ( p o z o s t a Be _ z m i e n n e _ k o r z y s t n e )
= - 4 0 4 , 0 6 k N m ± - ±
3 . 1 0 . 5 4 . 1 1 . 5 R o z w i z a n i e z a d a n i a
m a x M ± - ± = 2 7 4 , 0 5 k N m m i n M ± - ± = - 4 0 4 , 0 6 k N m
3 . 1 1 P r z y k Ba d L 0 4 , r z . 2 ( 2 0 1 3 - 0 6 - 1 2 )
W y z n a c z y m a k s y m a l n i m i n i m a l n , o b l i c z e n i o w m o m e n t z g i n a j c y w p r z e k r o j u
a - a ( p o n i |e j z a Ba m a n i a r y g l a ) k o n s t r u k c j i p o k a z a n e j n a r y s u n k u :
P o s z u k i w a n m e m e n t z g i n a j c y o z n a c z o n o j a k o M a - a , d ( i n d e k s d o z n a c z a
o b l i c z e n i o w y d e s i g n i d a l e j b d z i e p o m i j a n y ) Z g o d n i e z u m o w z n a k o w a n i a
m o m e n t z g i n a j c y j e s t d o d a t n i , j e [l i r o z c i g a w Bó k n a d o l n e p r t a . j e [l i r o z c i g a ( j e [l i
o k r e [l e n i e w Bó k i e n d o l n y c h n i e j e s t j e d n o z n a c z n e , t o w p r o w a d z a m y o z n a c z e n i e
s p o d ó w - w t y m p r z y p a d k u n i e j e s t t o p o t r z e b n e , b o w Bó k n a d o l n e s j e d n o z n a c z n i e
z d e f i n i o w a n e ) M a k s y m a l n y j s t t o n a j w i k s z y n a j w i k s z y r o z c i g a j c y w Bó k n a d o l n e ,
a m i n i m a l n y w s k r a j n y m p r z y p a d k u m o |e p r z y j w a r t o [ u j e m n b d z i e [c i s k a B
w Bó k n a d o l n e i r o z c i g a B g ó r n e .
3 . 1 1 . 1 A n a l i z a s c h e m a t u k o n s t r u k c j i
O d r a z u w i d z i m y , |e u k Ba d j e s t s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n y . J e s t t o b o w i e m w s p o r n i k ,
k t ó r y m a t r z y r e a k c j e w u t w i e r d z e n i u , d o w y z n a c z e n i a k t ó r y c h m a m y t r z y r ó w n a n i a
r ó w n o w a g i . R e k c j e m o |e m y w i c b e z t r u d u w y z n a c z y .
O b l i c z e n i e s i By p r z e k r o j o w e j w p r z e k r o j u a - a n i e w y m a g a j e d n a k z n a j o m o [c i
r e a k c j i , b o w i e m s i B m o |n a w y z n a c z y p o p r z e z s u m o w a n i e o d d z i a By w a D z l e w e j l u b
p r a w e j s t r o n y p r z e k r o j u . O d d z i a By w a n i a b d z i e m y s u m o w a z p r a w e j s t r o n y
a n a l i z o w a n e g o p r z e k r o j u .
3 . 1 1 . 2 D e f i n i c j a o b c i |e D p r o s t y c h ( t e j s a m e j n a t u r y )
Z a n a l i z y n a t u r y o b c i |e D, d z i a Ba j c y c h n a k o n s t r u k c j , w y n i k a , |e m o |e m y p r z y j
n a s t p u j c e o b c i |e n i a p r o s t e , t o z n a c z y t a k i e , d o k t ó r y c h m a m y t a k i e s a m e
w s p ó Bc z y n n i k i o b c i |e D i r e d u k c y j n e :
# 1 o b c i |e n i a s t a Be ( 1 5 k N m )
# 2 u |y t k o w e , ( 8 0 k N )
# 3 [n i e g ( 4 k N / m )
# 4 w i a t r 1 ( + 5 k N / m + - 1 0 k N m )
# 5 w i a t r 2 ( - 5 k N / m + + 1 0 k N m )
3 . 1 1 . 3 S i Ba p r z e k r o j o w a ( m o m e n t z g i n a j c y ) M a - a o d o b c i |e D p r o s t y c h
a a
a a
a a
P o k a |e m y w y z n a c z e n i e p o s z u k i w a n e g o m o m e n t u b e z w y z n a c z a n i a r e a k c j i . W t y m
p o d e j [c i u p o c h y l e n i e r y g l a n i e m a |a d n e g o w p By w u n a o b l i c z e n i a .
M o |l i w e j e s t t e | n a j p i e r w w y z n a c z e n i e r e a k c j i p o d p o r o w y c h , a n a s t p n i e w y z n a -
c z a n i e s i By p r z e k r o j o w e j p o p r z e z s u m o w a n i e o d d z i a By w a D z l e w e j s t r o n y p r z e k r o j u .
W t y m p r z y k Ba d z i e j e s t t o j e d n a k n i e t y l k o z b d n e , a l e r ó w n i e | b a r d z i e j
M ± - ± = + 1 5 k N m
Z e w n t r z n y m o m e n t 1 5 k N m r o z c i g a
w Bó k n a d o l n e , d a j e w i c d o d a t n i m o m e n t
p r z e k r o j o w y . A n a l i z u j s p o s ó b w y t |e n i a
p r z e k r o j u , n i e z a l e |n i e o d z n a k o w a n i a o b -
c i |e D. O d c h o d z o d m e c h a n i c z n y c h o b l i -
c z e D i z a k a |d y m r a z e m a n a l i z u j s k u t e k
j a k i w y w o Bu j e o b c i |e n i e . W t e n s p o s ó b
u n i k a m p o m y Be k , n i e z a l e |n i e o d z Bo |o n o -
[c i s y t u a c j i i p r z y j t y c h u k Ba d ó w w s p ó Br z d -
n y c h
M ± - ± = - 8 0 Å"3 = - 2 4 0 k N m
3
M ± - ± = 3 Å" 3 Å" = 1 3 , 5 k N m
2
M ± - ± = - 1 0 k N m M ± - ± = + 1 0 k N m
O b c i |e n i e r o z Bo |o n e w t y m p r z y p a d k u n i e o d g r y w a r o l i , p o n i e w a | n i e z d |y Bo
w e j [ d o f o r m u B n a m o m e n t z g i n a j c y
J e [l i b y [m y j e d n a k c h c i e l i w s c h e m a c i e # 4 o b l i c z y m o m e n t z g i n a j c y w u t w i e r d z e -
2
1 5
n i u , t o w ó w c z a s m i e l i b y [m y M = + 1 0 k N m - 5 Å"( 4 2 + 3 2 ) Å" = 1 0 - 5 Å"5 Å" = - 5 2 , 5 k N m
A 2 2
Z e s t a w i e n i e r e a k c j i o d p r o s t y c h o b c i |e D
# 1 ( s t a Be ) 1 5 k N m
# 2 ( u |y t k o w e ) - 2 4 0 k N m
# 3 ( [n i e g ) 1 3 , 5 k N m
# 4 ( w i a t r 1 ) - 1 0 k N m
# 5 ( w i a t r 2 ) + 1 0 k N m
3 . 1 1 . 4 K o m b i n a c j e o b c i |e D
O b l i c z e n i a p r o w a d z i m y z g o d n i e z e z n a n y m i z a s a d a m i , p r z y c z y m z w r a c a m y u w a g ,
ze :
1 ) d l a s y t u a c j i m a x M a - a :
# 1 , # 3 , # 5 j e s t n i e k o r z y s t n e
# 2 i # 4 j e s t k o r z y s t n e
( a l e p a m i t a j m y , |e w i a t r n i e m o |e j e d n o c z e [n i e w i a z d w ó c h s t r o n , w i e c w d a n e j
s y t u a c j i m a m y a l b o # 4 a l b o # 5 ( o b c i |e n i a w y k l u c z a j c e s i )
d a s y t u a c j i m i n M a - a
2 )
D z i a Ba n i a k o r z y s t n e - n i e k o r z y s t n e s i z m i e n i a j
1 . 1 . S c h e m a t y k o n s t r u k c j i d o s a m o d z i e l n e g o r o z w i z a n i a
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