ÿþ 2 . K i n e m a t y k a 5 3
2 . K i n e m a t y k a r u c h u p o s t p o w e g o
5 2 . 1 . Z j a w i s k o r u c h u
N a j c z [c i e j o b s e r w o w a n y m z j a w i s k i e m f i z y c z n y m j e s t r u c h c i a B, m a m y z n i m
d o c z y n i e n i a n a k a |d y m k r o k u . J e d n a k o d p o w i e d z n a p y t a n i e c o n a z y w a m y
r u c h e m ? m o |e s p r a w i n i e c o k Bo p o t u . O k r e [l a n i e p o j z u p e Bn i e o c z y w i s t y c h j e s t
1 0 c z a s a m i d o s y t r u d n e .
Z w r ó u w a g n a d w i e s p r a w y :
- o b s e r w u j c d o w o l n y r u c h z a u w a |y m y p r z e d e w s z y s t k i m , |e o b s e r w o w a n e c i a Bo
z m i e n i a s w o j e p o Bo |e n i e ,
- a b y z a u w a |y z m i a n p o Bo |e n i a m u s i m y o b s e r w o w a i n t e r e s u j c e n a s c i a Bo n a t l e
1 5 i n n y c h c i a B, k t ó r e n a z y w a m y u k Ba d e m o d n i e s i e n i a .
U k Ba d o d n i e s i e n i a j e s t t o z e s p ó B, c i a B t r a k t o w a n y c h j a k o n i e r u c h o m e , w z g l d e m
k t ó r y c h o b s e r w u j e m y z a c h o w a n i e i n t e r e s u j c e g o n a s c i a Ba .
M o |e t o b y n p . b u d y n e k , w z g l d e m k t ó r e g o o b s e r w u j e m y r u c h w i n d y ,
s z a c h o w n i c a , n a k t ó r e j o b s e r w u j e m y p o Bo |e n i e f i g u r , c z y t e | z n a n y z m a t e m a t y k i
2 0 k a r t e z j a Ds k i u k Ba d w s p ó Br z d n y c h .
N a j c z [c i e j w y b i e r a n y m p r z e z n a s u k Ba d e m o d n i e s i e n i a j e s t u k Ba d z w i z a n y z
Z i e m i . ( Z i e m i a i w s z y s t k i e c i a Ba s z t y w n o z n i z w i z a n e : b u d y n k i , d r z e w a i t p . s t a n o w i t e n s a m
u k Ba d o d n i e s i e n i a )
P r z y p o m o c y p o j c i a u k Ba d u o d n i e s i e n i a m o |n a z d e f i n i o w a z j a w i s k o r u c h u .
2 5
R u c h e m c i a Ba n a z y w a m y z m i a n j e g o p o Bo |e n i a w z g l d e m d o w o l n i e
w y b r a n e g o u k Ba d u o d n i e s i e n i a . ( W d e f i n i c j i r u c h u n i e u |y w a j s Bó w p r z e m i e s z c z e n i e l u b
p r z e s u n i c i e s o n e z a r e z e r w o w a n e d l a j e d n e j z w i e l k o [c i f i z y c z n y c h ) .
Z w r ó u w a g n a t o , |e u k Ba d o d n i e s i e n i a m o |n a d o w o l n i e w y b i e r a . D l a t e g o
3 0 b e z u s t a l e n i a u k Ba d u o d n i e s i e n i a n i e m o |n a j e d n o z n a c z n i e o d p o w i e d z i e n a p y t a n i e :
c z y c i a Bo j e s t w r u c h u , c z y w s p o c z y n k u ? ( n p . c z y c z Bo w i e k s i e d z c y w p r z e d z i a l e
j a d c e g o p o c i g u j e s t w r u c h u , c z y w s p o c z y n k u ? ) . T a w Ba [c i w o [ j e s t n a z y w a n a
w z g l d n o [c i r u c h u .
3 5 W z g l d n o [ r u c h u p o l e g a n a t y m , |e t o s a m o c i a Bo , w t e j s a m e j c h w i l i m o |e b y
z a r ó w n o w r u c h u j a k i w s p o c z y n k u w z a l e |n o [c i o d w y b r a n e g o u k Ba d u o d n i e s i e n i a .
N p . c z Bo w i e k s i e d z c y w p r z e d z i a l e j a d c e g o p o c i g u j e s t z a r ó w n o w s p o c z y n k u
( w z g l d e m [c i a n w a g o n u ) , j a k i w r u c h u ( w z g l d e m p e r o n u ) .
4 0 C i a Ba j a k i e n a j c z [c i e j o b s e r w u j e m y p o r u s z a j s i z a z w y c z a j s k o m p l i k o w a n y m
r u c h e m ( n p . r u c h j a k i w y k o n u j e s t o p a j a d c e g o r o w e r z y s t y ) . J e d n a k p r z e w a |n i e n i e
z w r a c a s i u w a g i n a r u c h p o s z c z e g ó l n y c h c z [c i c i a Ba , t y l k o n a r u c h c i a Ba j a k o
c a Bo [c i ( n p . r u c h r o w e r z y s t y w w y [c i g u k o l a r s k i m ) . W t a k i c h s y t u a c j a c h m o |n a
p o r u s z a j c e s i c i a Bo p o t r a k t o w a j a k o p u n k t m a t e r i a l n y .
4 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 5 4
P u n k t m a t e r i a l n y j e s t t o c i a Bo , k t ó r e g o r o z m i a r y s m a Be w p o r ó w n a n i u z
p r z e b y w a n y m i p r z e z n i e o d l e g Bo [c i a m i ( m o |n a w i c p o m i n j e g o o b j t o [ i k s z t a Bt ,
a l e m a s t r z e b a u w z g l d n i ) . N p . o b s e r w u j c s a m o l o t l e c c y n a d u |e j w y s o k o [c i
w i d z i m y j e d y n i e r u c h s r e b r z y s t e g o p u n k t u i n i e b i e r z e m y p o d u w a g r u c h u
5 p o s z c z e g ó l n y c h c z [c i s a m o l o t u .
B i a Ba s m u g a j a k w i d a c z a s a m i n a n i e b i e z a l e c c y m s a m o l o t e m w y z n a c z a t o r
r u c h u .
T o r r u c h u j e s t t o l i n i a j a k z a k r e [l a p o r u s z a j c e s i c i a Bo .
Z e w z g l d u n a t o r , r u c h y d z i e l i m y n a p r o s t o l i n i o w e i k r z y w o l i n i o w e .
1 0
A b y p r z e d s t a w i r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o n a r y s u n k u , j a k o u k Ba d o d n i e s i e n i a
p r z y j m u j e m y d w u w y m i a r o w y u k Ba d w s p ó Br z d n y c h .
C h c c o k r e [l i z m i a n p o Bo |e n i a p u n k t u , k t ó r a n a s t p u j e w k a |d y m r u c h u ,
t r z e b a n a j p i e r w o p i s a s a m o p o Bo |e n i e . P o Bo |e n i e p u n k t u m a t e r i a l n e g o w u k Ba d z i e
1 5 w s p ó Br z d n y c h m o |n a o p i s a p r z e z p o d a n i e j e g o w s p ó Br z d n y c h x P , y P l u b p r z y
r
r
p o m o c y w e k t o r a p o Bo |e n i a . W f i z y c e s t o s u j e s i t e n d r u g i s p o s ó b .
2 0
2 5
r
W s p ó Br z d n e p u n k t u P : x P , y P i w e k t o r p o Bo |e n i a : r .
r
r
W e k t o r p o Bo |e n i a t o w e k t o r , k t ó r y m a p o c z t e k w p o c z t k u u k Ba d u
3 0 w s p ó Br z d n y c h a k o n i e c w d a n y m p u n k c i e P . W e k t o r p o Bo |e n i a o p i s u j e p o Bo |e n i e
p u n k t u m a t e r i a l n e g o w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h .
W r u c h u p o o k r g u p o c z t e k u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h u m i e s z c z a s i w [r o d k u
r
o k r g u , a w e k t o r p o Bo |e n i a n a z y w a s i p r o m i e n i e m w o d z c y m r .
3 5
4 0
r
P r o m i e D w o d z c y r
4 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 5 5
2 . 2 . W i e l k o [c i o p i s u j c e r u c h
C z a s r u c h u "t
"t - c z a s p r z e b i e g u
"t = t - t 0
5
z j a w i s k a
[ s ]
t - k o Dc o w e w s k a z a n i e
s e k u n d a - j e d n o s t k a .
z e g a r a
p o d s t a w o w a u k Ba d u S I
t 0 - p o c z t k o w e
c z s t o p r z y j m u j e m y "t = t b i o r c t 0 = 0
w s k a z a n i e z e g a r a
1 0 D r o g a "s
D r o g a j e s t t o d Bu g o [ c z [c i t o r u p r z e b y t e j p r z e z c i a Bo w d a n y m c z a s i e "t .
N a j w a |n i e j s z j e d n o s t k d r o g i j e s t m e t r - j e d n o s t k a p o d s t a w o w a u k Ba d u S I .
( C z s t o z a m i a s t "s p i s z e m y : s ) .
r
1 5 P r z e m i e s z c z e n i e ( p r z e s u n i c i e ) " r
P r z e m i e s z c z e n i e j e s t t o w e k t o r Bc z c y p o Bo |e n i e p o c z t k o w e i p o Bo |e n i e k o Dc o w e
c i a Ba .
T o r r u c h u
2 0
W e k t o r p o Bo |e n i a
p o c z t k o w e g o
P r z e m i e s z c z e n i e
2 5
W e k t o r p o Bo |e n i a k o Dc o w e g o
3 0
r
W e k t o r p r z e m i e s z c z e n i a " r i d r o g a "s w p Ba s k i m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h
k a r t e z j a Ds k i c h .
P o r ó w n u j c p o w y |s z y r y s u n e k z d o d a w a n i e m w e k t o r ó w m e t o d t r ó j k t a
r r r
r
3 5 ( r o z d z i a B 1 . 4 ) u z y s k a m y z w i z e k : r = r 0 + "r ( r j e s t w e k t o r e m z a m y k a j c y m t r ó j k t ) , z
k t ó r e g o w y n i k a w z ó r d e f i n i c y j n y :
r
"r - w e k t o r p r z e m i e s z c z e n i a
d f
W e k t o r p r z e m i e s z c z e n i a j e s t t o
r r r
( p r z e s u n i c i a )
"r = r - r o r ó w n i e | r ó |n i c a w e k t o r ó w
r
r - w e k t o r p o Bo |e n i a k o Dc o w e g o
r
p o Bo |e n i a k o Dc o w e g o i
[ m ]
r 0 - w e k t o r p o Bo |e n i a p o c z t k o w e g o
p o Bo |e n i a p o c z t k o w e g o .
m e t r - j e d n o s t k a p o d s t a w o w a
u k Ba d u S I
" w a r t o [ w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a n i e z a l e |y o d k s z t a Bt u t o r u r u c h u ,
" d l a r u c h u p r o s t o l i n i o w e g o : "r = "s , ( "s - p r z e b y t a d r o g a )
4 0 " d l a r u c h u k r z y w o l i n i o w e g o : "r < "s .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 5 6
r
P r d k o [ [r e d n i a : v [r
r
r
v [r - p r d k o [ [r e d n i a
d f P r d k o [ [r e d n i a j e s t t o
r
"r
r
"r - p r z e m i e s z c z e n i e
s t o s u n e k p r z e m i e s z c z e n i a ,
v [r =
"t - c z a s ( d o w o l n i e d Bu g i )
"t
k t ó r e n a s t p i Bo w d o w o l n i e
. . [ m / s ]
d Bu g i m c z a s i e , d o t e g o c z a s u .
W e k t o r p r d k o [c i [r e d n i e j m a k i e r u n e k i z w r o t z g o d n y z k i e r u n k i e m i z w r o t e m w e k t o r a
p r z e m i e s z c z e n i a .
r
W a r t o [ p r d k o [c i [r e d n i e j v [r o b l i c z a m y w s t a w i a j c d o p o p r z e d n i e g o w z o r u w a r t o [
r
"r
r
r
v s r =
5 p r z e m i e s z c z e n i a "r :
"t
S z y b k o [ [r e d n i a v [r ( [r e d n i a w a r t o [ p r d k o [c i )
S z y b k o [ [r e d n i v [r , d o w o l n e g o r u c h u
s c a l k v [r s z y b k o [ [r e d n i a
s c a Bk d r o g a p r z e b y t a
v [r = m o |n a o b l i c z y d z i e l c c a B d r o g p r z e b y t
t c a l k p o d c z a s c a Be g o r u c h u
p r z e z c i a Bo , p r z e z c a By c z a s r u c h u .
t c a Bk c a Bk o w i t y c z a s r u c h u
1 0 S z y b k o [ [r e d n i ( c z y l i [r e d n i w a r t o [ p r d k o [c i ) d o w o l n e g o r u c h u m o |n a
o b l i c z y d z i e l c c a B d r o g p r z e b y t p r z e z c i a Bo ( w e w s z y s t k i c h e t a p a c h r u c h u )
p r z e z c a By c z a s r u c h u .
U w a g a : d l a r u c h ó w p r o s t o l i n i o w y c h ( z w y Bc z e n i e m r u c h ó w t a m i z p o w r o t e m ) s z y b k o [
[r e d n i a j e s t r ó w n a w a r t o [c i p r d k o [c i [r e d n i e j : v [r = v [r , b o w a r t o [ p r z e m i e s z c z e n i a j e s t r ó w n a
r
2 0 c a Be j p r z e b y t e j d r o d z e "r = s c a Bk .
D l a r u c h ó w k r z y w o l i n i o w y c h ( o r a z d l a r u c h ó w p r o s t o l i n i o w y c h t a m i z p o w r o t e m ) s z y b k o [
[r e d n i a n i e j e s t r ó w n a w a r t o [c i p r d k o [c i [r e d n i e j : v [r `" v [r , b o w a r t o [ p r z e m i e s z c z e n i a n i e j e s t
r
r ó w n a c a Be j d r o d z e "r `" s c a Bk .
r
2 5 P r d k o [ c h w i l o w a ( r z e c z y w i s t a ) : v
r
r
r
v - p r d k o [ c h w i l o w a
d f
P r d k o [ c h w i l o w a v j e s t t o
r
r "r
"r - p r z e m i e s z c z e n i e r
s t o s u n e k p r z e m i e s z c z e n i a "r , k t ó r e
v = , "t ’! 0
"t - c z a s d o w o l n i e k r ó t k i
( )
"t
n a s t p i Bo w d o w o l n i e k r ó t k i m c z a s i e ,
[ m / s ]
d o t e g o c z a s u .
W e k t o r p r d k o [c i c h w i l o w e j j e s t z a w s z e s t y c z n y d o t o r u ( p r o s t o p a d By d o p r o m i e n i a
k r z y w i z n y ) .
W a r t o [ p r d k o [c i c h w i l o w e j v j e s t n a z y w a n a s z y b k o [c i , o b l i c z a m y j d z i e l c w a r t o [
3 0 p r z e m i e s z c z e n i a , k t ó r e n a s t p i Bo w d o w o l n i e k r ó t k i m c z a s i e ( j e s t o n a r ó w n a p r z e b y t e j d r o d z e )
p r z e z t e n c z a s .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 5 7
W a r t o [ p r d k o [c i c h w i l o w e j v ( c z y l i s z y b k o [ w s k a z u j e
s z y b k o [c i o m i e r z s a m o c h o d u ) .
1 0
1 5 W a r t o [ p r d k o [c i c h w i l o w e j s a m o c h o d u m o |n a t e |
z m i e r z y p o l i c y j n y m r a d a r e m :
C o a u t o r m i a B n a m y [l i p i s z c p r d k o [ ( b e z |a d n e g o p r z y m i o t n i k a ) ,
2 0 - p r d k o [ [r e d n i , c z y p r d k o [ c h w i l o w ?
P o n i e w a | d o o p i s u r u c h u p o s Bu g u j e m y s i n a j c z [c i e j p r d k o [c i c h w i l o w , s Bo w o :
p r d k o [ o z n a c z a z a w s z e p r d k o [ c h w i l o w . G d y p o s Bu g u j e m y s i p r d k o [c i
[r e d n i , j e s t t o w y r a zn i e p o d k r e [l o n e : p r d k o [ [r e d n i a .
2 5 - t y l k o w a r t o [ p r d k o [c i , c z y w e k t o r p r d k o [c i ( z u w z g l d n i e n i e m k i e r u n k u i z w r o t u ) ?
O p i s u j c r u c h c i a Ba i n t e r e s u j e n a s p r z e w a |n i e w a r t o [ p r d k o [c i c h w i l o w e j ( c z y l i
s z y b k o [) , d l a t e g o w w i e l u p o d r c z n i k a c h s Bo w o p r d k o [ o z n a c z a w Ba [n i e
w a r t o [ p r d k o [c i . G d y t r z e b a u w z g l d n i r ó w n i e | i n n e c e c h y w e k t o r a u |y w a s i
s f o r m u Bo w a n i a : w e k t o r p r d k o [c i .
3 0
" ½
P r z y r o s t p r d k o [c i
r
"v - p r z y r o s t p r d k o [c i
d f
P r z y r o s t p r d k o [c i j e s t t o
r
r r r
v - p r d k o [ k o Dc o w a
"v = v - v 0
w e k t o r o w a r ó |n i c a
r
v 0 - p r d k o [ p o c z t k o w a
p r d k o [c i k o Dc o w e j i
[ m / s ]
p r d k o [c i p o c z t k o w e j .
D l a r u c h u p r o s t o l i n i o w e g o :
"v w a r t o [ p r z y r o s t u p r d k o [c i
v s z y b k o [ k o Dc o w a
"½ = ½ - ½
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
0
W r u c h u p r o s t o l i n i o w y m p r z y r o s t p r d k o [c i j e s t w y n i k i e m z m i a n y w a r t o [c i w e k t o r a p r d k o [c i .
3 5
" W r u c h u k r z y w o l i n i o w y m , w k t ó r y m w a r t o [ p r d k o [c i j e s t s t a Ba , p r z y r o s t
p r d k o [c i j e s t w y n i k i e m z m i a n y k i e r u n k u w e k t o r a p r d k o [c i .
4 0
4 5
W r u c h u k r z y w o l i n i o w y m p r z y r o s t p r d k o [c i w y s t p u j e n a w e t w t e d y , g d y w a r t o [ p r d k o [c i j e s t
s t a Ba : ½ = ½
0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 5 8
r
a
P r z y s p i e s z e n i e
r
r
a - p r z y s p i e s z e n i e
d f P r z y s p i e s z e n i e j e s t t o s t o s u n e k
r
"v
r
"v - p r z y r o s t p r d k o [c i
p r z y r o s t u p r d k o [c i d o c z a s u w
a =
"t - c z a s
"t
j a k i m t e n p r z y r o s t n a s t p i B.
[ m / s 2 ]
P o d o b n i e j a k d l a p r d k o [c i m o |n a r o z r ó |n i a p r z y s p i e s z e n i e c h w i l o w e ( w y z n a c z a n e w d o w o l n i e
k r ó t k i m c z a s i e ) i p r z y s p i e s z e n i e [r e d n i e ( w y z n a c z a n e w d o w o l n i e d Bu g i m p r z e d z i a l e c z a s u ) ,
5 j e d n a k |e d l a r u c h ó w j e d n o s t a j n i e z m i e n n y c h p r z y s p i e s z e n i a t e s s o b i e r ó w n e , w i c n i e b d z i e m y
i c h r o z r ó |n i a .
1 0 D o o p i s u r u c h u p o o k r g u w p r o w a d z a s i p o n a d t o n a s t p u j c e
w i e l k o [c i :
O k r e s r u c h u T - j e s t t o c z a s j e d n e g o p e Bn e g o o b i e g u c i a Ba p o o k r g u .
1 5 C z s t o t l i w o [ f
f - c z s t o t l i w o [
C z s t o t l i w o [ j e s t t o
1
T - o k r e s r u c h u
o d w r o t n o [ o k r e s u .
f =
T
1
¡# ¤#
¢#1 H z = s ¥#
£# ¦#
h e r c
C z s t o t l i w o [ j e s t t o r ó w n i e | l i c z b a p e Bn y c h o b i e g ó w p o o k r g u w y k o n a n y c h w
c z a s i e j e d n e j s e k u n d y .
J e d n o s t k c z s t o t l i w o [c i j e s t h e r c . J e d e n h e r c j e s t t o c z s t o t l i w o [ t a k i e g o r u c h u ,
2 0 w k t ó r y m j e d e n o b i e g p o o k r g u j e s t w y k o n a n y w c i g u j e d n e j s e k u n d y .
D r o g a k t o w a "Æ - j e s t t o k t z a k r e [l o n y p r z e z p r o m i e D w o d z c y w c z a s i e r u c h u .
( D r o g a k t o w a j e s t n i e k i e d y n a z y w a n a f a z r u c h u ) .
"Æ - d r o g a k t o w a ( k t
"s
z a k r e [l o n y p r z e z p r o m i e D
"Õ =
s
"
r w o d z c y )
r
"Æ
r
1 m
¡# ¤# "s - d r o g a l i n i o w a
¢#1 r a d = 1 m = 1 ¥#
£# ¦#
r - p r o m i e D o k r g u
r a d i a n - j e d n o s t k a u z u p e Bn i a j c a
u k Ba d u S I
2 5
3 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 5 9
r
D r o g a k t o w a m o |e b y t r a k t o w a n a j a k o w e k t o r "Õ , k t ó r e g o k i e r u n e k j e s t p r o s t o p a d By d o o k r g u ,
a z w r o t o k r e [l a r e g u Ba [r u b y p r a w o s k r t n e j :
5
Zr u b u s t a w i a m y p r o s t o p a d l e d o o k r g u i
o b r a c a m y j w [l a d z a p o r u s z a j c y m s i
c i a Be m . R u c h p o s t p o w y [r u b y w y z n a c z a
r
z w r o t w e k t o r a "Õ .
1 0
1 5 Z p o w y |s z e g o w z o r u w y n i k a z w i z e k m i d z y d r o g "s i d r o g k t o w "Æ:
"s d r o g a
"s = "Õ Å" r
"Æ - d r o g a k t o w a ( w y r a |o n a w r a d i a n a c h )
r p r o m i e D o k r g u
r
É
P r d k o [ k t o w a
r
É - p r d k o [ k t o w a
d f P r d k o [ k t o w a j e s t t o
r "Õ
"Æ - d r o g a k t o w a s t o s u n e k k t a z a k r e [l o n e g o w
É =
"t
d a n y m c z a s i e p r z e z p r o m i e D
"t - c z a s
r a d 1
¡# ¤#
w o d z c y d o t e g o c z a s u .
¢#1 s = s ¥#
£# ¦#
P r d k o [ k t o w a j e s t w i e l k o [c i w e k t o r o w , k t ó r e j k i e r u n e k j e s t p r o s t o p a d By d o
o k r g u , a z w r o t o k r e [l a r e g u Ba [r u b y p r a w o s k r t n e j ( r y s u n e k p o w y |e j ) .
r r
2 0 D l a o d r ó |n i e n i a o d p r d k o [c i k t o w e j É , p r d k o [ v n a z y w a s i p r d k o [c i l i n i o w .
r
P o d o b n i e j a k d l a p r d k o [c i l i n i o w e j m o |n a r o z r ó |n i a p r d k o [ k t o w c h w i l o w ( w y z n a c z a n
v
w d o w o l n i e k r ó t k i m c z a s i e ) i p r d k o [ k t o w [r e d n i ( w y z n a c z a n w d o w o l n i e d Bu g i m p r z e d z i a l e
c z a s u ) , j e d n a k |e d l a r u c h u j e d n o s t a j n e g o p o o k r g u p r d k o [c i t e s s o b i e r ó w n e , w i c n i e b d z i e m y
2 5 i c h r o z r ó |n i a .
Z w i z e k m i d z y p r d k o [c i l i n i o w i p r d k o [c i k t o w :
v p r d k o [ l i n i o w a
É - p r d k o [ k t o w a
v = Ér
r p r o m i e D o k r g u
3 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 0
P r z y r o s t p r d k o [c i k t o w e j "É
r
"É - p r z y r o s t p r d k o [c i
d f P r z y r o s t p r d k o [c i k t o w e j j e s t
r r r
k t o w e j t o w e k t o r o w a r ó |n i c a
"É = É - É0
r
w e k t o r ó w p r d k o [c i k t o w e j
É - p r d k o [ k t o w a k o Dc o w a
r a d 1
¡# ¤#
r
k o Dc o w e j i p o c z t k o w e j .
Éo - p r d k o [ p o c z t k o w a
¢#1 s = s ¥#
£# ¦#
r r r
"É, É, Éo
W e k t o r y : m a j t a k i s a m k i e r u n e k p r o s t o p a d By d o o k r g u .
5
P r z y s p i e s z e n i e k t o w e µ
r
r
µ - p r z y s p i e s z e n i e k t o w e
P r z y s p i e s z e n i e k t o w e j e s t t o
d f
r "É
r
s t o s u n e k p r z y r o s t u p r d k o [c i
"É - p r z y r o s t p r d k o [c i
µ =
k t o w e j d o c z a s u , w j a k i m t e n
"t
k t o w e j
p r z y r o s t n a s t p i B.
r a d 1
¡# ¤#
"t - c z a s
¢#1 s 2 = s 2 ¥#
£# ¦#
r
µ
W e k t o r p r z y s p i e s z e n i a k t o w e g o m a t a k i s a m k i e r u n e k ( p r o s t o p a d By d o o k r g u ) i
r
"É
z w r o t j a k p r z y r o s t p r d k o [c i k t o w e j .
r r
µ a
D l a o d r ó |n i e n i a o d p r z y s p i e s z e n i a k t o w e g o , p r z y s p i e s z e n i e n a z y w a s i
1 0 p r z y s p i e s z e n i e m l i n i o w y m .
a s
Z w i z e k m i d z y p r z y s p i e s z e n i e m l i n i o w y m s t y c z n y m d o o k r g u i
µ
p r z y s p i e s z e n i e m k t o w y m :
a s - p r z y s p i e s z e n i e l i n i o w e s t y c z n e d o o k r g u
µ
a s = µ Å" r - p r z y s p i e s z e n i e k t o w e
r p r o m i e D o k r g u
1 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 1
2 . 3 . P o d z i a B r u c h ó w p o s t p o w y c h
R u c h y p o s t p o w e d z i e l i m y z e w z g l d u n a d w a k r y t e r i a :
Z e w z g l d u n a k s z t a Bt t o r u n a :
" r u c h y p r o s t o l i n i o w e , k t ó r y c h t o r e m j e s t l i n i a p r o s t a ,
" r u c h y k r z y w o l i n i o w e , k t ó r y c h t o r e m j e s t d o w o l n a k r z y w a . S z c z e g ó l n y m
p r z y p a d k i e m r u c h u k r z y w o l i n i o w e g o j e s t r u c h , k t ó r e g o t o r e m j e s t o k r g .
Z e w z g l d u n a w a r t o [ p r d k o [c i n a :
" r u c h y j e d n o s t a j n e , w k t ó r y c h w a r t o [ p r d k o [c i j e s t s t a Ba ,
" r u c h y z m i e n n e , w k t ó r y c h w a r t o [ p r d k o [c i s i z m i e n i a .
R u c h y z m i e n n e m o |n a z k o l e i p o d z i e l i n a r u c h y :
- n i e j e d n o s t a j n i e z m i e n n e , w k t ó r y c h w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a z m i e n i a s i ,
- j e d n o s t a j n i e z m i e n n e , w k t ó r y c h w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a j e s t s t a Ba a w a r t o [
p r d k o [c i z m i e n i a s i l i n i o w o .
W r e s z c i e r u c h y j e d n o s t a j n i e z m i e n n e d z i e l s i n a :
Ò! r u c h j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y , w k t ó r y m p r d k o [ l i n i o w o r o [n i e ,
Ò! r u c h j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y , w k t ó r y m p r d k o [ l i n i o w o m a l e j e .
W s k u t e k t a k i e g o p o d z i a Bu w n a z w i e k a |d e g o r u c h u w y s t p u j d w a p r z y m i o t n i k i
j e d e n o k r e [l a w a r t o [ p r d k o [c i , a d r u g i k s z t a Bt t o r u .
D i a g r a m p r z e d s t a w i a j c y p o d z i a B r u c h ó w p o s t p o w y c h j e s t n a r y s u n k u p o n i |e j :
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 2
P o d z i a B r u c h ó w p o s t p o w y c h z e w z g l d u n a k s z t a Bt t o r u :
r u c h p o s t p o w y
p r o s t o l i n i o w y r k r z y w o l i n i o w y
r
( k i e r u n e k w e k t o r a p r d k o [c i v n i e z m i e n i a s i ) ( k i e r u n e k w e k t o r a p r d k o [c i v z m i e n i a s i )
k r z y w o l i n i o w y [l a d p o z o s t a w i o n y p r z e z
By |w i a r z a n a l o d z i e
p o i n n y c h k r z y w y c h p o o k r g u
( Z d j c i e p r z e d s t a w i a t o r r u c h u m a Be j l a m p k i
p r z y m o c o w a n e j d o k o Ba r o w e r o w e g o . L i n i a t a
n a z y w a s i c y k l o i d ) .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 3
P o d z i a B r u c h ó w p r o s t o l i n i o w y c h z e w z g l d u n a w a r t o [ p r d k o [c i :
r u c h p r o s t o l i n i o w y
j e d n o s t a j n y z m i e n n y
( w a r t o [ p r d k o [c i j e s t s t a Ba : v = c o n s t )
( w a r t o [ p r d k o [c i z m i e n i a s i : v `" c o n s t )
j e d n o s t a j n i e n i e j e d n o s t a j n i e
( w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a j e s t s t a Ba : a = c o n s t ) ( w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a z m i e n i a s i : a `" c o n s t )
p r z y s p i e s z o n y o p ó zn i o n y
r r
( z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a a ( z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a a j e s t
j e s t z g o d n y z e z w r o t e m w e k t o r a p r z e c i w n y d o z w r o t u w e k t o r a
r r
p r d k o [c i v ) p r d k o [c i v )
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 4
P o d z i a B r u c h ó w p o o k r g u z e w z g l d u n a w a r t o [ p r d k o [c i :
r u c h p o o k r g u
j e d n o s t a j n y z m i e n n y
( w a r t o [ p r d k o [c i k t o w e j j e s t s t a Ba : É = c o n s t ) ( w a r t o [ p r d k o [c i k t o w e j z m i e n i a s i : É `" c o n s t )
j e d n o s t a j n i e n i e j e d n o s t a j n i e
( w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a k t o w e g o ( w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a k t o w e g o
j e s t s t a Ba : µ = c o n s t ) z m i e n i a s i : µ `" c o n s t )
p r z y s p i e s z o n y o p ó zn i o n y
r r
( z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a k t o w e g o µ ( z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a k t o w e g o µ
j e s t z g o d n y z e z w r o t e m w e k t o r a p r d k o [c i j e s t p r z e c i w n y d o z w r o t u w e k t o r a p r d k o [c i
r r
k t o w e j É ) k t o w e j É )
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 5
2 . 4 . R u c h p r o s t o l i n i o w y j e d n o s t a j n y
R u c h p r o s t o l i n i o w y j e d n o s t a j n y j e s t t o r u c h , k t ó r e g o t o r e m j e s t l i n i a p r o s t a a
w a r t o [ p r d k o [c i j e s t s t a Ba ( n p . r u c h w i n d y j a d c e j m i d z y p i t r a m i ) .
5
a ) p r d k o [
" S Bo w o j e d n o s t a j n y o z n a c z a , |e w a r t o [ p r d k o [c i j e s t s t a Ba : v = c o n s t .
( S Bo w o c o n s t a n s o z n a c z a w i e l k o [ s t a B) .
" W r u c h u p r o s t o l i n i o w y m w e k t o r p r d k o [c i l e |y n a p r o s t e j , p o k t ó r e j
1 0 p o r u s z a s i c i a Bo , w i c r ó w n i e | k i e r u n e k w e k t o r a p r d k o [c i j e s t s t a By .
" Z p o w y |s z y c h i n f o r m a c j i w y n i k a , |e w r u c h u p r o s t o l i n i o w y m j e d n o s t a j n y m
r
w e k t o r p r d k o [c i j e s t s t a By : v = c o n s t , d l a t e g o p r d k o [ [r e d n i a j e s t r ó w n a p r d k o [c i
r r
c h w i l o w e j : v [r = v ( s z y b k o [ [r e d n i a t e | j e s t r ó w n a s z y b k o [c i c h w i l o w e j ) .
v w a r t o [ p r d k o [c i ( s z y b k o [) w
"s
r u c h u j e d n o s t a j n y m p r o s t o l i n i o w y m
v = = c o n s t
"s d r o g a
"t
"t - c z a s
1 5
U m i e s z c z a j c p o c z t e k u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h w m i e j s c u r o z p o c z c i a r u c h u
m o |n a z a p i s a p r z e b y t d r o g j a k o s z a m i a s t "s . N a t o m i a s t r o z p o c z y n a j c p o m i a r
c z a s u w m o m e n c i e s t a r t u c i a Ba m o |n a z a p i s a c z a s r u c h u j a k o t z a m i a s t "t .
O t r z y m u j e m y w ó w c z a s p r o s t s z p o s t a w z o r u :
2 0
s v - s z y b k o [ w r u c h u
v = = c o n s t a n s
j e d n o s t a j n y m p r o s t o l i n i o w y m
t
s d r o g a
t - c z a s
v 1
a ) b )
v = c o n s t
+ 2
2
v
+ 1
2 5
"s
0
t
0
t
"s
- 1
v = c o n s t
3 0
W y k r e s y p r d k o [c i w r u c h u j e d n o s t a j n y m d l a d w ó c h c i a B 1 i 2 p o r u s z a j c y c h
s i w p r z e c i w n e s t r o n y .
Z w y k r e s u p r d k o [c i v ( t ) m o |n a o d c z y t a d r o g p r z e b y t p r z e z c i a Bo j a k o
3 5 p o l e p o w i e r z c h n i f i g u r y z a w a r t e j m i d z y l i n i w y k r e s u a o s i c z a s u .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 6
J e |e l i d w i e p r d k o [c i m a j p r z e c i w n e z n a k i t o z n a c z y , |e w e k t o r y t y c h
p r d k o [c i m a j p r z e c i w n e z w r o t y .
5 Z p o w y |s z y c h w y k r e s ó w o d c z y t u j e m y n a s t p u j c e i n f o r m a c j e :
- c i a Ba n r 1 i n r 2 p o r u s z a j s i w p r z e c i w n e s t r o n y ( n p . c i a Bo 1 w p r a w o a c i a Bo 2 w
l e w o ) , g d y | i c h p r d k o [c i m a j p r z e c i w n e z n a k i ( a w i c i p r z e c i w n e z w r o t y ) ,
- c i a Bo n r 1 m a d w a r a z y w i k s z s z y b k o [ n i | c i a Bo n r 2 ,
- w t y m s a m y m c z a s i e c i a Bo 1 p r z e b y Bo d w a r a z y w i k s z d r o g n i | c i a Bo 2 , b o p o l e
1 0 f i g u r y n a w y k r e s i e a ) j e s t d w a r a z y w i k s z e n i | n a w y k r e s i e b ) .
b ) d r o g a
w r u c h u j e d n o s t a j n y m , p r o s t o l i n i o w y m d r o g i p r z e b y t e w j e d n a k o w y c h o d s t p a c h
c z a s u s j e d n a k o w e .
s d r o g a w r u c h u j e d n o s t a j n y m p r o s t o l i n i o w y m
s - d r o g a p o c z t k o w a p r z e b y t a o d c h w i l i
0
s ( t ) = s 0 + v Å" t r o z p o c z c i a r u c h u d o m o m e n t u r o z p o c z c i a
p o m i a r u c z a s u ( n a j c z [c i e j p r z y j m u j e m y
s = 0 )
0
v s z y b k o [
t - c z a s
1 5
1
A n i m a c j a : r u c h j e d n o s t a j n y .
s
2
3
W p i s z i n i t i a l p o s i t i o n ( p o l o z e n i e
s ( t ) = s 0 + v Å"t
p o c z a t k o w e ) : 1 0 , 0 0
2
±1
i n i t i a l v e l o c i t y ( p r e d k o s c p o c z a t k o w a ) :
±2
1
v 1 = 2 Å" v 2 n p . 8 , 0 0
S o
2 0
a c c e l e r a t i o n ( p r z y s p i e s z e n i e ) : 0 , 0 0
0 t
W y k r e s y d r o g i w r u c h u j e d n o s t a j n y m d l a c i a B 1 i 2 p o r u s z a j c y c h s i z r ó |n y m i
p r d k o [c i a m i
2 5 Z w y k r e s u d r o g i s ( t ) m o |n a o d c z y t a w a r t o [ p r d k o [c i v j a k o t a n g e n s k t a
n a c h y l e n i a l i n i i w y k r e s u ± :
v = t g ±
Z p o w y |s z y c h w y k r e s ó w m o |n a o d c z y t a n a s t p u j c e i n f o r m a c j e :
- d o m o m e n t u r o z p o c z c i a o b s e r w a c j i o b y d w a c i a Ba 1 i 2 p r z e b y By d r o g s o ,
3 0 - c i a Bo n r 1 m a d w a r a z y w i k s z p r d k o [ n i | c i a Bo n r 2 , g d y |: t g ±1 = 2 t g ±2 ( a l e
±1 `" 2 Å"±2 ) ,
D r o g a p r z e b y w a n a p r z e z c i a Bo ( d e f i n i o w a n a j a k o d Bu g o [ c z [c i t o r u )
n i e m o |e z m n i e j s z a s i w r a z z u p By w e m c z a s u .
3 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 7
P r z y j m u j c d r o g p o c z t k o w r ó w n z e r o o t r z y m u j e m y n a j c z [c i e j s p o t y k a n p o s t a
w z o r u n a d r o g w r u c h u j e d n o s t a j n y m :
"s - d r o g a w r u c h u
R ó w n a n i e d r o g i w
j e d n o s t a j n y m p r o s t o l i n i o w y m
r u c h u j e d n o s t a j n y m
v - p r d k o [
"s = v Å" "t
"t - c z a s
c z s t o p r z y j m u j e m y "s = s ,
b i o r c s 0 = 0
5
P r o s t s z a p o s t a w z o r u i o d p o w i a d a j c y m u w y k r e s :
s
s - d r o g a w r u c h u j e d n o s t a j n y m
s ( t ) = v Å"t
p r o s t o l i n i o w y m p r z e b y t a w c z a s i e t .
v s z y b k o [
±
t - c z a s
0
t
N a j p r o s t s z y w y k r e s d r o g i w
r u c h u j e d n o s t a j n y m .
T a k j a k z p o p r z e d n i c h w y k r e s ó w s ( t ) r ó w n i e | w t y m p r z y p a d k u m o |n a o d c z y t a
p r d k o [ j a k o t a n g e n s k t a n a c h y l e n i a l i n i i w y k r e s u : v = t g ±.
1 0 c ) p o Bo |e n i e
O b i e r a j c u k Ba d w s p ó Br z d n y c h ( s t a n o w i c y n a s z u k Ba d o d n i e s i e n i a ) t a k a b y o [ O X
r
l e |a Ba n a p r o s t e j , w z d Bu | k t ó r e j p o r u s z a s i c i a Bo , w e k t o r p o Bo |e n i a r m o |e m y
z a s t p i p o Bo |e n i e m c i a Ba n a o s i O X .
1 5 R ó w n a n i e p o Bo |e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n y m m a p o d o b n p o s t a j a k r ó w n a n i e d r o g i
s ( t ) = s 0 + v Å" t :
z a B. c i a Bo o d d a l a s i o d p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h
x - p o Bo |e n i e
x ( t ) = x 0 + v Å" t
x 0 - p o Bo |e n i e p o c z t k o w e
v - p r d k o [
"t - c z a s
z a B. c i a Bo z b l i |a s i d o p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h
x - p o Bo |e n i e
x ( t ) = x 0 - v Å"t
x 0 - p o Bo |e n i e p o c z t k o w e
v - p r d k o [
"t - c z a s
2 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 8
x ( t ) = x 0 + v Å"t
x
1
5
3
O d l e g Bo [ m i d z y c i a Ba m i
2
±1
1
x o
1 0
±2
0 t
t 1
2
x ( t ) = x 0 - v Å"t
1 5 W y k r e s y p o Bo |e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n y m d l a t y c h s a m y c h c i a B 1 i 2 p o r u s z a j c y c h s i w
p r z e c i w n e s t r o n y .
Z p o w y |s z y c h w y k r e s ó w m o |n a o d c z y t a n a s t p u j c e i n f o r m a c j e :
- w c h w i l i r o z p o c z c i a o b s e r w a c j i o b y d w a c i a Ba 1 i 2 z n a j d o w a By s i w o d l e g Bo [c i
2 0 x o o d p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h ,
- c i a Bo 1 o d d a l a s i o d p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , a c i a Bo 2 z b l i |a s i d o
p o c z t k u u k Ba d u ( c i a Ba p o r u s z a j s i w p r z e c i w n e s t r o n y ) ,
- w c z a s i e t 1 c i a Bo n r 2 d o t r z e d o p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , m i n i e g o i
p ó zn i e j b d z i e s i o d n i e g o o d d a l a ,
2 5 - w a r t o [c i p r d k o [c i c i a B o d c z y t u j e m y t a k j a k z w y k r e s u d r o g i s ( t ) : v 1 = t g ±1 ,
v 2 = t g ±2 , p o n i e w a | t g ±1 = 2 t g ±2 , p r d k o [ c i a Ba 1 j e s t d w a r a z y w i k s z a n i |
c i a Ba 2 : v 1 = 2 v 2 .
- o d l e g Bo [ m i d z y c i a Ba m i ( m i e r z o n a j a k o d Bu g o [ p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i d z y
l i n i a m i w y k r e s ó w ) c i g l e r o [n i e .
3 0
p o Bo |e n i e c i a Ba x ( t ) , p o d o b n i e j a k o d l e g Bo [ c i a Ba o d m i e j s c a s t a r t u , m o |e m a l e
w r a z z u p By w e m c z a s u ,
z w y k r e s ó w p o Bo |e n i a x ( t ) m o |n a o d c z y t a o d l e g Bo [ m i d z y c i a Ba m i j a k o d Bu g o [
p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i d z y l i n i a m i w y k r e s ó w ,
3 5 g d y c i a Ba p o r u s z a j s i w t s a m s t r o n ( w e k t o r y p r d k o [c i m a j z g o d n e z w r o t y ) ,
w y k r e s y d r o g i s ( t ) s t a k i e s a m e j a k w y k r e s y p o Bo |e n i a x ( t ) i w t e d y o d l e g Bo [ m i d z y
c i a Ba m i m o |n a r ó w n i e | o d c z y t a j a k o d Bu g o [ p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i d z y l i n i a m i
w y k r e s ó w s ( t ) ,
4 0
4 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 6 9
d ) p r z y s p i e s z e n i e
z d e f i n i c j i p r z y s p i e s z e n i a w y n i k a , |e p r z y s t a Be j p r d k o [c i p r z y s p i e s z e n i e j e s t r ó w n e
5 z e r o : a = 0 .
a
1 0
a = 0
0 t
W y k r e s p r z y s p i e s z e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n y m .
1 5 e ) o b l i c z a n i e p r d k o [c i w y p a d k o w e j c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i r ó w n o c z e [n i e
z d w i e m a p r d k o [c i a m i
Z d a r z a s i c z a s a m i , |e t o s a m o c i a Bo p o r u s z a s i r ó w n o c z e [n i e z d w i e m a
p r d k o [c i a m i . N a p r z y k Ba d s t a t e k p By n c y p o r z e c e m a d w i e p r d k o [c i :
r
2 0 - p r d k o [ w Ba s n v 1 . J e s t t o p r d k o [ w z g l d e m w o d y , k t ó r s t a t e k m a d z i k i
p r a c u j c y m s i l n i k o m . ( S t a t e k p By n c y p o s t o j c e j w o d z i e m a t y l k o p r d k o [
w Ba s n ) ,
r
- p r d k o [ u n o s z e n i a v 2 . J e s t t o p r d k o [, z j a k w o d a p By n i e w r z e c e i z j a k
u n o s i p r z e d m i o t y n a p o w i e r z c h n i . ( S t a t e k p By n c y p o r z e c e z w y Bc z o n y m i
2 5 s i l n i k a m i p o r u s z a s i , t a k j a k t r a t w a , t y l k o z p r d k o [c i u n o s z e n i a ) .
D l a c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i r ó w n o c z e [n i e z d w i e m a p r d k o [c i a m i m o |n a o b l i c z y
p r d k o [ w y p a d k o w .
3 0 P r d k o [ w y p a d k o w a j e s t t o w e k t o r o w a s u m a w s z y s t k i c h p r d k o [c i z j a k i m i
r ó w n o c z e [n i e p o r u s z a s i c i a Bo :
r r r
v w y p - p r d k o [ w y p a d k o w a c i a Ba
v w y p = v 1 + v 2
p o r u s z a j c e g o s i r ó w n o c z e [n i e
r r
z d w i e m a p r d k o [c i a m i : v 1 i v 2
3 5 W a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j o b l i c z a s i z g o d n i e z r e g u Ba m i d o d a w a n i a w e k t o r ó w
( r o z d z i a B 1 . 4 . ) :
4 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 0
r r
" O b y d w a w e k t o r y p r d k o [c i v 1 i v 2 m a j t e n s a m k i e r u n e k i z g o d n e z w r o t y
v w y p w a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j
v w y p = v 1 + v 2 c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i r ó w n o c z e [n i e z
r r
d w i e m a p r d k o [c i a m i v 1 i v 2 o z g o d n y c h
z w r o t a c h
A b y o b l i c z y w a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i
5 r ó w n o c z e [n i e z d w i e m a p r d k o [c i a m i o z g o d n y c h z w r o t a c h t r z e b a d o d a
w a r t o [c i t y c h p r d k o [c i .
v 1
r
r
1 0 v 2
r
v 1
v 2
v
r
w y p
v 2
1 5
S t a t e k p By n i e z p r d e m r z e k i , p o r u s z a s i r ó w n o c z e [n i e z d w i e m a p r d k o [c i a m i : z
r r
p r d k o [c i w Ba s n v 1 i z p r d k o [c i u n o s z e n i a v 2 .
2 0 N a r y s u n k u m o |n a d o s t r z e c , |e :
r
- w o d a w r z e c e p By n i e z p r d k o [c i v 2 , u n o s z c z t p r d k o [c i t r a t w i s t a t e k ,
r
- o p r ó c z p r d k o [c i u n o s z e n i a s t a t e k m a p r d k o [ w Ba s n v 1 , k t ó r e j w a r t o [ m i e r z y ,
p r z y p o m o c y r a d a r u , o b s e r w a t o r w u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a S n a t r a t w i e ,
- w a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j v w y p s t a t k u w z g l d e m b r z e g u m i e r z y p r z y p o m o c y
2 5 w Ba s n e g o r a d a r u n i e r u c h o m y o b s e r w a t o r w u k Ba d z i e S , n a b r z e g u .
r r
" W e k t o r y p r d k o [c i v 1 i v 2 m a j t e n s a m k i e r u n e k i p r z e c i w n e z w r o t y
v w y p w a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j
v w y p = v 1 - v 2 c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i r ó w n o c z e [n i e z
r r
d w i e m a p r d k o [c i a m i v 1 i v 2 o
p r z e c i w n y c h z w r o t a c h
3 0 A b y o b l i c z y w a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i
r ó w n o c z e [n i e z d w i e m a p r d k o [c i a m i o p r z e c i w n y c h z w r o t a c h t r z e b a o d j
w a r t o [c i t y c h p r d k o [c i .
3 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 1
r
v 2
v 1
r
r
v 2
r
v 2
v 1
5
v
w y p
1 0
S t a t e k p By n i e p o d p r d , p o r u s z a j c s i r ó w n o c z e [n i e z d w i e m a p r d k o [c i a m i : z p r d k o [c i
r r
w Ba s n v 1 i z p r d k o [c i u n o s z e n i a v 2 .
N a r y s u n k u m o |n a d o s t r z e c , |e :
r
1 5 - w o d a w r z e c e u n o s i z p r d k o [c i v 2 t r a t w i s t a t e k ,
- w a r t o [ p r d k o [c i w Ba s n e j v 1 s t a t k u , m i e r z y o b s e r w a t o r w u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a S
n a t r a t w i e ,
- w a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j v w y p s t a t k u m i e r z y n i e r u c h o m y o b s e r w a t o r w
u k Ba d z i e S , n a b r z e g u .
2 0
r r
" W e k t o r y p r d k o [c i v 1 i v 2 s d o s i e b i e p r o s t o p a d Be
v w y p w a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j
c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i r ó w n o c z e [n i e z
2 2
v w y p = v 1 + v 2 r r
d w i e m a p r o s t o p a d By m i p r d k o [c i a m i
v 1 i v 2
W a r t o [ p r d k o [c i w y p a d k o w e j c i a Ba p o r u s z a j c e g o s i r ó w n o c z e [n i e z
d w i e m a p r o s t o p a d By m i d o s i e b i e p r d k o [c i a m i o b l i c z a m y z t w i e r d z e n i a P i t a g o r a s a ,
2 5 j a k o d Bu g o [ p r z e k t n e j p r o s t o k t a z b u d o w a n e g o n a w e k t o r a c h o b u p r d k o [c i .
r
r
v w y p
v 1
r
v 2
r
v 2
3 0
v 1
r
v 2
v w y p
3 5
S t a t e k p By n i e p r o s t o p a d l e d o n u r t u r z e k i ( n a d r u g i b r z e g ) .
T a k j a k w p o p r z e d n i c h p r z y p a d k a c h w a r t o [ p r d k o [c i w Ba s n e j v 1 s t a t k u m i e r z y
r
4 0 o b s e r w a t o r n a t r a t w i e u n o s z o n e j p r z e z w o d z p r d k o [c i v 2 , a w a r t o [ p r d k o [c i
w y p a d k o w e j v w y p s t a t k u n i e r u c h o m y o b s e r w a t o r n a b r z e g u .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 2
f ) o b l i c z a n i e s z y b k o [c i w z g l d n e j d w ó c h c i a B
S z y b k o [ w z g l d n a j e s t t o w a r t o [ p r d k o [c i m i e r z o n a p r z e z o b s e r w a t o r a ,
5 k t ó r y r ó w n i e | j e s t w r u c h u .
" C i a Ba p o r u s z a j s i w p r z e c i w n e s t r o n y
v w z g l = v 1 + v 2 v w z g l s z y b k o [ w z g l d n a d w ó c h
c i a B p o r u s z a j c y c h s i w p r z e c i w n e
s t r o n y z p r d k o [c i a m i : v 1 i v 2
1 0 S z y b k o [ w z g l d n d w ó c h c i a B p o r u s z a j c y c h s i w p r z e c i w n e s t r o n y o b l i c z a m y
d o d a j c s z y b k o [c i o b y d w u c i a B, n i e z a l e |n i e o d t e g o , c z y c i a Ba o d d a l a j s i , c z y
v
z b l i |a j s i d o s i e b i e .
v 1
S z y b k o [ w z g l d n a v w z g l
1 5
0 t
- v 2
2 0
W y k r e s y p r d k o [c i d w ó c h c i a B p o r u s z a j c y c h s i r u c h e m j e d n o s t a j n y m w p r z e c i w n e s t r o n y .
Z w y k r e s ó w z a u w a |y m y , |e :
- p o n i e w a | w e k t o r y p r d k o [c i o b u c i a B m a j p r z e c i w n e z w r o t y , p r z y p i s a n o i m
2 5 w a r t o [c i o p r z e c i w n y c h z n a k a c h ,
- d Bu g o [ p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i d z y l i n i a m i w y k r e s ó w w y z n a c z a s z y b k o [
v w z g l = v 1 + v 2 = c o n s t
w z g l d n c i a B: ( w t y m p r z y p a d k u s z y b k o [ w z g l d n a j e s t
s t a Ba p i o n o w e o d c i n k i m a j t a k s a m d Bu g o [) .
v w z g l
3 0
r r
- v 2 v 1
3 5
v 2
v 1
D w a p o c i g i p o r u s z a j s i w p r z e c i w n e s t r o n y .
4 0 Z r y s u n k u m o |n a d o s t r z e c , |e :
- s z y b k o [c i o b u p o c i g ó w w z g l d e m z i e m i v 1 i v 2 m i e r z y , p r z y p o m o c y r a d a r u
n i e r u c h o m y o b s e r w a t o r w u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a S z w i z a n y m z z i e m i ,
- s z y b k o [ w z g l d n p o c i g ó w v w z g l m i e r z y , p r z y p o m o c y s w e g o r a d a r u ,
o b s e r w a t o r w u k Ba d z i e S p o r u s z a j c y s i w r a z z p o c i g i e m .
4 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 3
P r z y p o m n i j s o b i e , |e z n a j d u j c s i w j a d c y m p o c i g u i o b s e r w u j c d r u g i p o c i g
j a d c y o b o k w p r z e c i w n s t r o n , w i d z i m y b a r d z o s z y b k i r u c h t e g o p o c i g u , g d y |
p o r u s z a s i o n w z g l d e m n a s z s z y b k o [c i w z g l d n r ó w n s u m i e s z y b k o [c i o b u
p o c i g ó w .
5
S z y b k o [ w z g l d n m i j a j c y c h s i p o c i g ó w m o |n a r ó w n i e | o b l i c z y d z i e l c
d Bu g o [ l w y m i j a n e g o p o c i g u p r z e z c z a s m i j a n i a m i e r z o n y p r z e z o b s e r w a t o r a w
u k Ba d z i e S .
1 0 " C i a Ba p o r u s z a j s i w t s a m s t r o n
v w z g l = v 1 - v 2 v w z g l s z y b k o [ w z g l d n a d w ó c h
c i a B p o r u s z a j c y c h s i w t s a m
s t r o n z p r d k o [c i a m i : v 1 i v 2
S z y b k o [ w z g l d n d w ó c h c i a B p o r u s z a j c y c h s i w t s a m s t r o n o b l i c z a m y
o d e j m u j c s z y b k o [c i o b y d w u c i a B, n i e z a l e |n i e o d t e g o , c z y c i a Ba p o r u s z a j s i w
l e w o , c z y w p r a w o .
1 5
v
S z y b k o [ w z g l d n a v w z g l
v 1
v 2
t
2 0
0
W y k r e s y p r d k o [c i d w ó c h c i a B p o r u s z a j c y c h s i r u c h e m j e d n o s t a j n y m w t s a m s t r o n .
Z w y k r e s ó w z a u w a |y m y , |e :
2 5 - p o n i e w a | w e k t o r y p r d k o [c i o b u c i a B m a j z g o d n e z w r o t y , p r z y p i s a n o i m w a r t o [c i
o t a k i c h s a m y c h z n a k a c h ,
- d Bu g o [ p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i d z y l i n i a m i w y k r e s ó w w y z n a c z a s z y b k o [
v w z g l = v 1 - v 2 = c o n s t
w z g l d n c i a B: ( w t y m p r z y p a d k u s z y b k o [ w z g l d n a j e s t
s t a Ba p i o n o w e o d c i n k i m a j t a k s a m d Bu g o [) .
3 0
v w z g l
r
r v 1
v 2
3 5
v 2
v 1
D w a p o c i g i p o r u s z a j s i w t s a m s t r o n .
4 0 Z r y s u n k u m o |n a d o s t r z e c , |e :
- s z y b k o [c i o b u p o c i g ó w w z g l d e m z i e m i v 1 i v 2 m i e r z y , t a k j a k p o p r z e d n i o
n i e r u c h o m y o b s e r w a t o r w u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a S z w i z a n y m z z i e m i ,
- s z y b k o [ w z g l d n p o c i g ó w v w z g l m i e r z y o b s e r w a t o r w u k Ba d z i e S p o r u s z a j c y
s i w r a z z p o c i g i e m .
4 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 4
P r z y p o m n i j s o b i e , |e z n a j d u j c s i w j a d c y m p o c i g u i o b s e r w u j c d r u g i p o c i g ,
k t ó r y n a s w y p r z e d z a w i d z i m y p o w o l n y r u c h t e g o p o c i g u , g d y | p o r u s z a s i o n
w z g l d e m n a s z s z y b k o [c i w z g l d n r ó w n r ó |n i c y s z y b k o [c i o b u p o c i g ó w .
5
S z y b k o [ w z g l d n m i j a j c y c h s i p o c i g ó w m o |n a , r ó w n i e | w t y m
p r z y p a d k u , o b l i c z y d z i e l c d Bu g o [ l w y m i j a n e g o p o c i g u p r z e z c z a s m i j a n i a
m i e r z o n y p r z e z o b s e r w a t o r a w u k Ba d z i e S .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 5
2 . 5 . R u c h p r o s t o l i n i o w y j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y
R u c h p r o s t o l i n i o w y j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y j e s t t o r u c h , k t ó r e g o t o r e m j e s t
5 l i n i a p r o s t a , w k t ó r y m p r d k o [ l i n i o w o r o [n i e a p r z y s p i e s z e n i e j e s t s t a Be :
r
a = c o n s t
.
W r u c h u p r z y s p i e s z o n y m z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a j e s t z g o d n y z e
r
v
z w r o t e m w e k t o r a p r d k o [c i . J e |e l i p r d k o [ j e s t d o d a t n i a ( b o w e k t o r j e s t
r
a
z w r ó c o n y w p r a w o ) , t o p r z y s p i e s z e n i e t e | j e s t d o d a t n i e ( b o w e k t o r p r z y s p i e s z e n i a
1 0 t e | j e s t z w r ó c o n y w p r a w o ) .
P r z y k Ba d e m r u c h u p r o s t o l i n i o w e g o j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n e g o j e s t r u c h j a k i
w y k o n u j e c i a Bo s p a d a j c s w o b o d n i e w p r ó |n i l u b r u c h k u l i t o c z c e j s i , b e z t a r c i a , w
d ó B r ó w n i p o c h y Be j .
1 5 a ) p r d k o [
v
W r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m p r o s t o l i n i o w y m w a r t o [ p r d k o [c i
r
v
r ó w n o m i e r n i e ( l i n i o w o ) r o [n i e . W e k t o r p r d k o [c i l e |y n a p r o s t e j , p o k t ó r e j
p o r u s z a s i c i a Bo , w i c k i e r u n e k i z w r o t w e k t o r a p r d k o [c i j e s t s t a By .
v s z y b k o [ k o Dc o w a ( p o u p By w i e c z a s u "t )
v = v 0 + a Å" "t
w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
a p r z y s p i e s z e n i e
"t - c z a s
2 0 P r o s t s z a p o s t a w z o r u i o d p o w i a d a j c y m u w y k r e s :
v
v s z y b k o [ k o Dc o w a ( p o
v ( t ) = v 0 + a Å" t u p By w i e c z a s u t ) w r u c h u
v ( t ) = v 0 + a Å"t
j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
"v
a p r z y s p i e s z e n i e
v
±
t - c z a s
"s
v o 0
t
"t
W y k r e s p r d k o [c i w r u c h u j e d n o s t a j n i e
p r z y s p i e s z o n y m .
Z w y k r e s u p r d k o [c i v ( t ) m o |n a o d c z y t a d r o g p r z e b y t p r z e z c i a Bo j a k o p o l e
p o w i e r z c h n i f i g u r y z a w a r t e j p o d l i n i w y k r e s u ( t a k j a k w r u c h u j e d n o s t a j n y m ) .
P o l e t r a p e z u z a z n a c z o n e g o n a w y k r e s i e m o |n a o b l i c z y d o d a j c d o p o w i e r z c h n i p r o s t o k t a p o l e
p o w i e r z c h n i t r ó j k t a .
2 5
a
Z w y k r e s u p r d k o [c i v ( t ) m o |n a o d c z y t a p r z y s p i e s z e n i e j a k o t a n g e n s k t a ±
n a c h y l e n i a l i n i i w y k r e s u :
a = t g ±
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 6
S z y b k o [ w z g l d n a v w z g l
1
v
5
2
3
A n i m a c j a : r u c h j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y .
2 ±1
W p i s z i n i t i a l p o s i t i o n ( p o l o z e n i e p o c z a t k o w e ) : 0 ,
a 1 = 2 Å" a 2
i n i t i a l v e l o c i t y ( p r e d k o s c p o c z a t k o w a ) : n p . 2 , 0 0
±2
1
v o
a c c e l e r a t i o n ( p r z y s p i e s z e n i e ) : n p . 1 , 0 0
1 0
0 t
W y k r e s y p r d k o [c i d l a d w ó c h c i a B p o r u s z a j c y c h s i r u c h e m j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m z
r ó |n y m i p r z y s p i e s z e n i a m i .
1 5 Z p o w y |s z y c h w y k r e s ó w o d c z y t u j e m y n a s t p u j c e i n f o r m a c j e :
- o b y d w a c i a Ba p o r u s z a j s i w t s a m s t r o n ( n p . w p r a w o ) b o i c h p r d k o [c i m a j
t e n s a m z n a k ( a w i c i t e n s a m z w r o t ) ,
- s z y b k o [ p o c z t k o w a v o o b y d w u c i a B j e s t j e d n a k o w a ,
- p r z y s p i e s z e n i e c i a Ba n r 1 j e s t d w a r a z y w i k s z e n i | c i a Ba n r 2 , g d y |: t g ±1 = 2 t g ±2
2 0 ( a l e ±1 `" 2 Å"±2 ) ,
- s z y b k o [ w z g l d n a t y c h c i a B, m i e r z o n a j a k o d Bu g o [ p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i e d z y
l i n i a m i w y k r e s ó w , r o [n i e .
D l a r u c h u b e z p r d k o [c i p o c z t k o w e j ( v o = 0 ) p o p r z e d n i w z ó r p r z y j m u j e p o s t a :
v
v s z y b k o [ k o Dc o w a ( p o
u p By w i e c z a s u t ) w r u c h u
v ( t ) = a Å" t
j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m b e z
v ( t ) = a Å" t
p r d k o [c i p o c z t k o w e j
a p r z y s p i e s z e n i e
t - c z a s
±
0
t
N a j p r o s t s z y w y k r e s p r d k o [c i w r u c h u
j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m ( v o = 0 ) .
2 5
S z y b k o [ [r e d n i w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m m o |n a o b l i c z a n a
d w a s p o s o b y :
- t a k j a k w k a |d y m r u c h u p r o s t o l i n i o w y m d z i e l c c a B d r o g p r z e b y t p r z e z c i a Bo
p r z e z c a By c z a s r u c h u :
"s
v [r =
3 0
"t
l u b
- j a k o [r e d n i a r y t m e t y c z n z s z y b k o [c i p o c z t k o w e j i s z y b k o [c i k o Dc o w e j :
v - s z y b k o [ p o c z t k o w a
0
v 0 + v
v [r =
3 5
v - s z y b k o [ k o Dc o w a
2
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 7
D r u g i s p o s ó b m o |n a s t o s o w a t y l k o d o n i e k t ó r y c h r o d z a j ó w r u c h u ( n p .
d l a r u c h ó w j e d n o s t a j n i e z m i e n n y c h ) .
b ) d r o g a
R ó w n a n i e d r o g i w r u c h u s ( t ) d r o g a p r z e b y t a w c z a s i e t r u c h e m
j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m
a t 2 s 0 d r o g a p o c z t k o w a
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
s ( t ) = s 0 + v 0 t +
a - p r z y s p i e s z e n i e
2
5 N a j c z [c i e j p r z y j m u j e m y s o = 0 o t r z y m u j c w z ó r :
s ( t ) d r o g a p r z e b y t a w c z a s i e t r u c h e m
a t 2
j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m
s ( t ) = v 0 t +
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
2
a - p r z y s p i e s z e n i e
D l a r u c h u b e z p r d k o [c i p o c z t k o w e j ( v o = 0 ) w z ó r n a d r o g p r z y j m u j e p o s t a :
s
a t 2 s ( t ) d r o g a p r z e b y t a w c z a s i e
t r u c h e m j e d n o s t a j n i e
s ( t ) =
p r z y s p i e s z o n y m b e z p r d k o [c i
2
s 1
p o c z t k o w e j
a - p r z y s p i e s z e n i e ±1
0
t
t 1
W y k r e s d r o g i w r u c h u j e d n o s t a j n i e
p r z y s p i e s z o n y m ( v 0 = 0 ) .
S e n s f i z y c z n y m a t y l k o d o d a t n i a g a Bz
p a r a b o l i , g d y | n i e m a u j e m n e g o c z a s u .
1 0 Z w y k r e s u d r o g i s ( t ) m o |n a o d c z y t a w a r t o [ p r d k o [c i w d a n y m m o m e n c i e
c z a s u t 1 j a k o t a n g e n s k t a n a c h y l e n i a s t y c z n e j d o w y k r e s u w p u n k c i e o
w s p ó Br z d n y c h s 1 , t 1 :
v ( t 1 ) = t g ±1
1 5 W r a z z u p By w e m c z a s u k t ± j e s t c o r a z w i k s z y ( w y k r e s j e s t c o r a z b a r d z i e j s t r o m y ) ,
w i c w a r t o [ p r d k o [c i t e | j e s t c o r a z w i k s z a .
a t 2
s ( t ) =
P r z y p o m o c y w z o r u Ba t w o m o |n a w y z n a c z y p r z y s p i e s z e n i e c i a Ba m i e r z c
2
p r z e b y t d r o g i c z a s r u c h u :
A n i m a c j a :
2 0
b a d a n i e r u c h u j e d n o s t a j n i e
2 Å" s
p r z y s p i e s z o n e g o .
a =
2
t
2 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 8
O d l e g Bo [ m i d z y c i a Ba m i , g d y c i a Ba
5
p o r u s z a j s i w t s a m s t r o n .
1 0
W y k r e s y d r o g i w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m d l a d w ó c h c i a B p o r u s z a j c y c h
s i z r ó |n y m i p r z y s p i e s z e n i a m i .
D Bu g o [ p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i d z y l i n i a m i w y k r e s ó w o k r e [l a o d l e g Bo [ m i d z y
1 5 c i a Ba m i , k t ó r a j a k w i d a s z y b k o r o [n i e . ( Z a k Ba d a m y , |e c i a Ba p o r u s z a j s i w t e s a m
s t r o n ) .
S t o s u n k i d r ó g p r z e b y w a n y c h r u c h e m j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m b e z p r d k o [c i
p o c z t k o w e j v o = 0 .
2 0 D r o g i p r z e b y t e k o l e j n o : w p i e r w s z e j s e k u n d z i e r u c h u , w p i e r w s z y c h d w ó c h s e k u n d a c h ,
p i e r w s z y c h t r z e c h s e k u n d a c h r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n e g o ( v 0 = 0 ) .
W r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m b e z p r d k o [c i p o c z t k o w e j ( v o = 0 ) d r o g i
p r z e b y t e k o l e j n o :
2 5 w p i e r w s z e j s e k u n d z i e r u c h u s 1 ,
w p i e r w s z y c h d w ó c h s e k u n d a c h s 2 ,
w p i e r w s z y c h t r z e c h s e k u n d a c h s 3 , i t d .
m a j s i d o s i e b i e j a k k w a d r a t y k o l e j n y c h l i c z b n a t u r a l n y c h .
s 1 - d r o g a w p i e r w s z e j s e k u n d z i e r u c h u
z a B. r u c h j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y , b e z
s 2 - d r o g a w p i e r w s z y c h d w ó c h
p r d k o [c i p o c z t k o w e j :
s e k u n d a c h
2 2 2 2
s 3 - w p i e r w s z y c h t r z e c h s e k u n d a c h
s 1 : s 2 : s 3 : s 4 . . . = 1 : 2 : 3 : 4 . . .
i t d .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 7 9
a t 2
s ( t ) =
D r o g i s 1 , s 2 , s 3 , i t d . o b l i c z a m y z e w z o r u p o d s t a w i a j c z a c z a s 1 s e k u n d , 2 s e k u n d y , 3
2
s e k u n d y i t d .
5 D r o g i p r z e b y t e w k o l e j n y c h s e k u n d a c h r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n e g o ( v 0 = 0 ) .
W r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m b e z p r d k o [c i p o c z t k o w e j ( v o = 0 ) d r o g i
p r z e b y t e w k o l e j n y c h j e d n a k o w y c h p r z e d z i a Ba c h c z a s u ( n p . w k o l e j n y c h
s e k u n d a c h ) : s I , s I I , s I I I , i t d . m a j s i d o s i e b i e j a k k o l e j n e l i c z b y n i e p a r z y s t e .
1 0
s I - d r o g a w p i e r w s z e j s e k u n d z i e
z a B. r u c h j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y , b e z
r u c h u
p r d k o [c i p o c z t k o w e j :
s I I - d r o g a w d r u g i e j s e k u n d z i e
r u c h u
s I : s I I : s I I I : s I V . . . = 1 : 3 : 5 : 7 . . .
s I I I - d r o g a w t r z e c i e j s e k u n d z i e
i t d .
s , s , s
D r o g i l i c z y m y n a s t p u j c o :
I I I I I I V
g d z i e :
s = s - s
I I 2 1
1 5
s 1 = s I
- d r o g a p r z e b y t a w p i e r w s z e j s e k u n d z i e r u c h u ,
s = s - s
I I I 3 2
s - d r o g a p r z e b y t a w p i e r w s z y c h d w ó c h s e k u n d a c h ,
s = s - s 2
I V 4 3
s - d r o g a p r z e b y t a w p i e r w s z y c h t r z e c h s e k u n d a c h r u c h u
i t d .
3
i t d .
2 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 8 0
P o w y |s z z a l e |n o [ m o |n a p o t w i e r d z i d o [w i a d c z a l n i e w y k o n u j c z d j c i e
s t r o b o s k o p o w e s p a d a j c e j s w o b o d n i e k u l k i .
Z d j c i e s t r o b o s k o p o w e t o z d j c i e w y k o n a n e p r z y u |y c i u l a m p y s t r o b o s k o p o w e j , k t ó r a d a j e k r ó t k i e
5 b By s k i [w i a t Ba w r ó w n y c h b a r d z o k r ó t k i c h o d s t p a c h c z a s u ( n p . c o 1 / 2 0 s e k u n d y ) . D z i k i t e m u
m o |n a z a r e j e s t r o w a k o l e j n e p o Bo |e n i a p o r u s z a j c e g o s i c i a Ba w r ó w n y c h o d s t p a c h c z a s u .
1 0
D r o g i p r z e b y t e p r z e z k u l k w k o l e j n y c h
j e d n a k o w y c h o d s t p a c h c z a s u
1 5
2 0
2 5
Z d j c i e s t r o b o s k o p o w e s p a d a j c e j s w o b o d n i e k u l k i ( r u c h j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y b e z
3 0 p r d k o [c i p o c z t k o w e j ) .
c ) p o Bo |e n i e
O b i e r a j c u k Ba d w s p ó Br z d n y c h t a k , a b y o [ O X l e |a Ba n a p r o s t e j , w z d Bu | k t ó r e j
3 5 p o r u s z a s i c i a Bo , r ó w n a n i e d r o g i m o |n a z a s t p i a n a l o g i c z n y m r ó w n a n i e m p o Bo |e n i a
- g d y c i a Bo o d d a l a s i o d p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h :
x - p o Bo |e n i e
a t 2 x 0 - p o Bo |e n i e p o c z t k o w e
v 0 - p r d k o [ p o c z t k o w a
x ( t ) = x 0 + v 0 t +
a - p r z y s p i e s z e n i e
2
t - c z a s
l u b
- g d y c i a Bo z b l i |a s i d o p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h :
x - p o Bo |e n i e
›# ž#
a t 2 x 0 - p o Bo |e n i e p o c z t k o w e
v 0 - p r d k o [ p o c z t k o w a
x ( t ) = x 0 - œ# Ÿ#
v 0 t +
a - p r z y s p i e s z e n i e
# 2 #
t - c z a s
4 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 8 1
a )
x x
b )
x o
5
2
›# ž#
a t
x ( t ) = x 0 - œ#v 0 t + Ÿ#
# 2 #
a t 2
x ( t ) = x 0 + v 0 t +
2
x o
1 0
0
0
t
t
W y k r e s y p o Bo |e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m : a ) g d y c i a Bo o d d a l a s i o d p o c z t k u
u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , b ) g d y c i a Bo z b l i |a s i d o p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h .
1 5
W y k r e s b ) m o |e b y r ó w n i e | w y k r e s e m w y s o k o [c i h ( t ) d l a s p a d a j c e g o
s w o b o d n i e c i a Ba .
2 0 d ) p r z y s p i e s z e n i e
W r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m p r o s t o l i n i o w y m p r z y s p i e s z e n i e j e s t s t a Be :
r
a = c o n s t
, a z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a j e s t z g o d n y z e z w r o t e m w e k t o r a
p r d k o [c i .
a
2 5
a = c o n s t
" v
0
3 0 t
"t
W y k r e s p r z y s p i e s z e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m .
3 5 Z w y k r e s u p r z y s p i e s z e n i a a ( t ) w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m m o |n a
o d c z y t a w a r t o [ p r z y r o s t u p r d k o [c i :
" v = v - v 0 = a Å" " t
j a k o p o l e p o w i e r z c h n i f i g u r y z a w a r t e j p o d w y k r e s e m . G d y r u c h o d b y w a s i b e z
p r d k o [c i p o c z t k o w e j ( v o = 0 ) , p o l e p o w i e r z c h n i t e j f i g u r y w y z n a c z a w a r t o [
4 0 p r d k o [c i k o Dc o w e j c i a Ba v .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 8 2
2 . 6 R u c h p r o s t o l i n i o w y j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y
R u c h p r o s t o l i n i o w y j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y j e s t t o r u c h , k t ó r e g o t o r e m j e s t
5 l i n i a p r o s t a , w k t ó r y m s z y b k o [ l i n i o w o m a l e j e a p r z y s p i e s z e n i e j e s t s t a Be :
r
a = c o n s t
.
W r u c h u o p ó zn i o n y m z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a j e s t p r z e c i w n y d o z w r o t u
r
v
w e k t o r a p r d k o [c i . J e |e l i p r d k o [ j e s t d o d a t n i a ( b o w e k t o r j e s t z w r ó c o n y w
r
a
p r a w o ) , t o p r z y s p i e s z e n i e j e s t u j e m n e ( b o w e k t o r p r z y s p i e s z e n i a j e s t z w r ó c o n y w
1 0 l e w o ) .
P r z y s p i e s z e n i e w r u c h u o p ó zn i o n y m j e s t c z a s a m i n a z y w a n e o p ó zn i e n i e m .
P r z y k Ba d e m r u c h u p r o s t o l i n i o w e g o j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n e g o j e s t r u c h j a k i
w y k o n u j e c i a Bo w y r z u c o n e p i o n o w o d o g ó r y w p r ó |n i w z n o s z c s i n a m a k s y m a l n
w y s o k o [ l u b r u c h k u l i t o c z c e j s i p o d g ó r r ó w n i p o c h y Be j .
1 5
a ) p r d k o [
W r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m p r o s t o l i n i o w y m w a r t o [
r p r d k o [c i
v v
( s z y b k o [c i ) r ó w n o m i e r n i e ( l i n i o w o ) m a l e j e . W e k t o r p r d k o [c i l e |y n a
p r o s t e j , p o k t ó r e j p o r u s z a s i c i a Bo , w i c k i e r u n e k i z w r o t w e k t o r a p r d k o [c i
2 0 j e s t s t a By .
v s z y b k o [ k o Dc o w a ( p o u p By w i e c z a s u "t )
w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m
v = v 0 - a Å" "t
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
a w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a ( z a w s z e d o d a t n i a )
"t - c z a s
r r
P o n i e w a | p r d k o [ j e s t d o d a t n i a , p r z e d p r z y s p i e s z e n i e m j e s t z n a k m i n u s g d y | w e k t o r y : v i a m a j
p r z e c i w n e z w r o t y .
P r o s t s z a p o s t a w z o r u :
v
v s z y b k o [ k o Dc o w a ( p o
v ( t ) = v 0 - a Å" t u p By w i e c z a s u t ) w r u c h u
v o
j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m
v ( t ) = v 0 - a Å"t
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
a w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a
±
v k
( z a w s z e d o d a t n i a )
"s
t - c z a s
0
t 1 t k t
W y k r e s p r d k o [c i w r u c h u j e d n o s t a j n i e
o p ó zn i o n y m .
2 5
Z w y k r e s u p r d k o [c i v ( t ) m o |n a o d c z y t a d r o g p r z e b y t p r z e z c i a Bo , j a k o p o l e
p o w i e r z c h n i f i g u r y z a w a r t e j p o d l i n i w y k r e s u ( t a k j a k w p o p r z e d n i o
o m a w i a n y c h r u c h a c h ) . P o l e t r a p e z u z a z n a c z o n e g o n a n a s z y m w y k r e s i e o k r e [l a
d r o g p r z e b y t p r z e z c i a Bo w c z a s i e t 1 , w k t ó r y m s z y b k o [ z m n i e j s z y Ba s i d o v k .
3 0 N a t o m i a s t p o l e c a Be g o t r ó j k t a w y z n a c z a d r o g p r z e b y t d o c h w i l i z a t r z y m a n i a , p o
u p By w i e c z a s u t k .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 8 3
a
Z w y k r e s u p r d k o [c i v ( t ) m o |n a o d c z y t a w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a ( o p ó zn i e n i a )
j a k o t a n g e n s k t a ± n a c h y l e n i a l i n i i w y k r e s u :
a = t g ±
v
5
V 0 1
1
S z y b k o [ w z g l d n a
V 0 2
2
±2 ±1
1 0
0
t
W y k r e s y p r d k o [c i w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m d l a d w ó c h c i a B p o r u s z a j c y c h
s i z t a k i m i s a m y m i o p ó zn i e n i a m i .
1 5 Z p o w y |s z y c h w y k r e s ó w o d c z y t u j e m y , |e :
- o b y d w a c i a Ba m a j t a k i e s a m o o p ó zn i e n i e , g d y | k t y n a c h y l e n i a l i n i i w y k r e s ó w s
r ó w n e : ±1 = ±2 , w i c z g o d n i e z p o w y |s z y m w z o r e m o p ó zn i e n i a t e | s r ó w n e :
a 1 = a 2 ,
- c i a Bo n r 1 m a w i k s z s z y b k o [ p o c z t k o w : v 0 1 > v 0 2 ,
2 0 - s z y b k o [ w z g l d n a c i a B, o d c z y t a n a j a k o d Bu g o [ p i o n o w y c h o d c i n k ó w m i d z y
l i n i a m i w y k r e s ó w , j e s t s t a Ba .
b ) d r o g a
R ó w n a n i e d r o g i w r u c h u s ( t ) d r o g a p r z e b y t a w c z a s i e t
j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m r u c h e m j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m
a t 2 s 0 d r o g a p o c z t k o w a
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
s ( t ) = s 0 + v 0 t -
a - p r z y s p i e s z e n i e
2
2 5 N a j c z [c i e j p r z y j m u j e m y s o = 0 o t r z y m u j c w z ó r :
a t 2 s ( t ) d r o g a p r z e b y t a w
c z a s i e t r u c h e m j e d n o s t a j n i e
s ( t ) = v 0 t -
s p o c z y n e k
o p ó zn i o n y m
2
K
v 0 s z y b k o [ p o c z t k o w a
s k
a - p r z y s p i e s z e n i e
t k
W y k r e s d r o g i w r u c h u j e d n o s t a j n i e
o p ó zn i o n y m .
P o n i e w a | w e w z o r z e n a d r o g p r z y z m i e n n e j t 2 j e s t z n a k m i n u s , n a w y k r e s i e m a m y c z [ p a r a b o l i
z w r ó c o n e j r a m i o n a m i w d ó B. S e n s f i z y c z n y m a t y l k o r o s n c a c z [ p a r a b o l i , g d y | d r o g a n i e m o |e
z m n i e j s z a s i w r a z z u p By w e m c z a s u .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 8 4
Z w y k r e s u m o |e m y o d c z y t a :
- s z y b k o [ c i a Ba w d a n e j c h w i l i t 1
Z w y k r e s u d r o g i s ( t ) m o |n a o d c z y t a s z y b k o [ w d a n y m m o m e n c i e c z a s u t 1
5 j a k o t a n g e n s k t a n a c h y l e n i a s t y c z n e j d o w y k r e s u w p u n k c i e Z o
w s p ó Br z d n y c h s 1 , t 1 ( t a k j a k w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m ) :
v ( t 1 ) = t g ±1
- w r a z z u p By w e m c z a s u w a r t o [ k t a ± z m n i e j s z a s i ( w y k r e s j e s t c o r a z m n i e j
s t r o m y ) , w i c w a r t o [ p r d k o [c i t e | m a l e j e , d o z e r a w c h w i l i t k ,
1 0 - w s p ó Br z d n e p u n k t u K , g d z i e w y k r e s o s i g a m a k s i m u m o k r e [l a j c z a s , p o k t ó r y m
c i a Bo s i z a t r z y m a :
v 0
t k =
a
i d r o g j a k p r z e b d z i e d o c h w i l i z a t r z y m a n i a :
2
v 0
s k =
2 a
- p o u p By w i e c z a s u t k c i a Bo b d z i e w s p o c z y n k u , c o i l u s t r u j e n a w y k r e s i e p o z i o m a
1 5 l i n i a p r z e r y w a n a ( c z a s p By n i e d o p r z o d u a p r z e b y t a d r o g a p o z o s t a j e s t a Ba ) .
c ) p o Bo |e n i e
R ó w n a n i e p o Bo |e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m m a t a k s a m p o s t a j a k
r ó w n a n i e d r o g i :
x - p o Bo |e n i e
a t 2 x 0 - p o Bo |e n i e p o c z t k o w e
v 0 - p r d k o [ p o c z t k o w a
x ( t ) = x 0 + v 0 t -
a - p r z y s p i e s z e n i e
2
t - c z a s
2 0
A n i m a c j a : r u c h j e d n o s t a j n i e o p o z n i o n y .
W p i s z i n i t i a l p o s i t i o n ( p o l o z e n i e
p o c z a t k o w e ) : 0 , 0 0
i n i t i a l v e l o c i t y ( p r e d k o s c p o c z a t k o w a ) :
n p . 1 0 , 0 0
a c c e l e r a t i o n ( p r z y s p i e s z e n i e ) : n p . - 1 , 0
( p o z a t r z y m a n i u s a m o c h ó d p o r u s z a s i e
r u c h e m j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m
w l e w o ) .
W y k r e s p o Bo |e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m ( n p . d l a k u l k i w y r z u c o n e j p i o n o w o d o g ó r y ,
d o m o m e n t u o s i g n i c i a m a k s y m a l n e j w y s o k o [c i h m a x .
2 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 8 5
5 d ) p r z y s p i e s z e n i e ( o p ó zn i e n i e )
W r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m p r o s t o l i n i o w y m p r z y s p i e s z e n i e ( n a z y w a n e t e |
r
a = c o n s t
o p ó zn i e n i e m ) j e s t s t a Be , a z w r o t w e k t o r a p r z y s p i e s z e n i a j e s t p r z e c i w n y
d o z w r o t u w e k t o r a p r d k o [c i . P o n i e w a | n a p o p r z e d n i c h w y k r e s a c h p r d k o [c i
p r d k o [ j e s t d o d a t n i a , t o p r z y s p i e s z e n i e m u s i b y t e r a z u j e m n e .
1 0
a
"t
0
t
1 5
" v
a = c o n s t
W y k r e s p r z y s p i e s z e n i a w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m .
2 0
Z w y k r e s u p r z y s p i e s z e n i a a ( t ) w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m m o |n a
o d c z y t a u b y t e k p r d k o [c i :
" v = v 0 - v = a Å" " t
j a k o p o l e p o w i e r z c h n i p r o s t o k t a z a w a r t e g o m i d z y l i n i w y k r e s u a o s i c z a s u .
2 5 J e |e l i s z y b k o [ k o Dc o w a j e s t r ó w n a z e r o : v = 0 , p o l e t e g o p r o s t o k t a w y z n a c z a
s z y b k o [ p o c z t k o w c i a Ba v o .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 8 9
2 . 8 . Z e s t a w i e n i e w y k r e s ó w i l u s t r u j c y c h s p o c z y n e k i r u c h y
p r o s t o l i n i o w e .
5
S p o c z y n e k
v = 0
1 0 x
0 s 0 x o
a ) c ) d )
b )
v x
a
s
x = c o n s t
s = c o n s t
1 5
v = 0 a = 0
t t t
t
0 0 0
0
2 0
R u c h j e d n o s t a j n y ( n p . w p r a w o )
v = c o n s t
x
0 s o x o s = v t
2 5
a ) b ) c )
d )
v
s x
a
s = s o + v t x = x o + v t
v = c o n s t
s o x o
3 0
a = 0
t
t t t
0
0 0 0
3 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 0
R u c h j e d n o s t a j n y w p r z e c i w n s t r o n ( n p . w l e w o )
s = v t
v = c o n s t
5
x o
x
0
s o
a ) b ) c )
d )
v
s x
a
s = s o + v t
1 0
x o x = x o - v t
t
0
v = c o n s t s o
a = 0
t t t
0 0 0
1 5
R u c h j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y b e z p r d k o [c i p o c z t k o w e j ( v 0 = 0 )
v o = 0 a = c o n s t v
2 0
x
0 s o x o
a )
b )
c )
d )
v
s
x
2
2
a
a t
a t
s = s 0 +
x = x 0 +
v = a t
2
2
a > 0
2 5
a = c o n s t
v > 0 s o
x o
t
t
t
t
0
0
0
0
3 0 R u c h j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y
a = c o n s t
v
v o
x
0 s o x o
c ) d )
a ) b )
3 5 v x
2
s
2
a t a
a t
x = x 0 + v 0 t -
s = s 0 + v 0 t -
2
v o v > 0 2
a < 0
v = v o - a t
t
0
a = c o n s t
x o
s o
4 0
t
0
t t
0
0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 1
R u c h n i e j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y p r z y k Ba d ( w y k r e s y m o g m i e i n n y k s z t a Bt )
c )
a ) b )
5
a
v
s
a > 0
v > 0
2
v = c o n s t Å"t
s = c o n s t Å"t 3
a = c o n s t Å"t
t
t
0
1 0
0 t
0
1 5
R u c h n i e j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y p r z y k Ba d ( w y k r e s y m o g m i e i n n y k s z t a Bt )
a )
b )
c )
v
s a
2 0 v o v > 0
a < 0
2
0 t
v = c o n s t Å"t
s = c o n s t Å"t 3
t
0 t
a = c o n s t Å"t
0
2 5
W y k r e s y i l u s t r u j c e d a n y r o d z a j r u c h u s
z e s o b [c i [l e p o w i z a n e , p r z e d s t a w m y t o
3 0 n a p r z y k Ba d z i e w y k r e s ó w i l u s t r u j c y c h
r u c h c i a Ba w y r z u c o n e g o p i o n o w o d o g ó r y
( o p ó r p o w i e t r z a p o m i j a m y ) . P o s z c z e g ó l n e
e t a p y t e g o r u c h u p r z e d s t a w i a r y s u n e k .
3 5
4 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 2
Z w y k r e s u p r d k o [c i v ( t ) o d c z y t u j e m y :
W c h w i l i p o c z t k o w e j A c i a Bo z o s t a Bo w y r z u c o n e p i o n o w o d o g ó r y z
p r d k o [c i p o c z t k o w v 0 . W c z a s i e o d A d o B c i a Bo w z n o s i s i d o
g ó r y r u c h e m j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m . W a r t o [ p r d k o [c i m a l e j e
5 l i n i o w o o d p r d k o [c i v 0 d o z e r a n a m a k s y m a l n e j w y s o k o [c i h m a x
o s i g n i t e j w c h w i l i B . W a r t o [ p r d k o [c i j e s t d o d a t n i a , g d y | w e k t o r
r
v j e s t z w r ó c o n y d o g ó r y .
W c z a s i e o d B d o C c i a Bo s p a d a s w o b o d n i e p o r u s z a j c s i r u c h e m
j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m b e z r p r d k o [c i p o c z t k o w e j . W a r t o [
1 0 p r d k o [c i j e s t u j e m n a ( b o w e k t o r v j e s t z w r ó c o n y w d ó B) i r o [n i e p o
w a r t o [c i a c h u j e m n y c h o d z e r a d o v 0 . C z a s w z n o s z e n i a t A B j e s t t a k i
s a m j a k c z a s s p a d a n i a t B C . C i a Bo w r a c a n a p o z i o m w y r z u c e n i a z
p r d k o [c i o t a k i e j s a m e j w a r t o [c i j a k w c h w i l i w y r z u c e n i a : v 0 .
P o l e z a k r e [l o n e j f i g u r y p r z e d s t a w i a p r z e b y t d r o g , k t ó r a j e s t r ó w n a
1 5 w y s o k o [c i m a k s y m a l n e j h m a x o s i g n i t e j w f a z i e w z n o s z e n i a A B o r a z
w y s o k o [c i z j a k i e j z j a k i e j s p a d Bo c i a Bo w d r u g i e j f a z i e r u c h u B C .
Z w y k r e s u d r o g i s ( t ) o d c z y t u j e m y :
D r o g a p r z e b y t a p r z e z c i a Bo p o d c z a s c a Be g o r u c h u r o [n i e r ó w n i e | w
2 0 d r u g i e j f a z i e r u c h u , g d y w y s o k o [ m a l e j e .
W p i e r w s z e j f a z i e r u c h u o d A d o B d r o g a r o [n i e c o r a z w o l n i e j , b o
w y k r e s j e s t c o r a z m n i e j s t r o m y . W d r u g i e j f a z i e r u c h u o d B d o C d r o g a
r o [n i e c o r a z s z y b c i e j , b o w y k r e s j e s t c o r a z b a r d z i e j s t r o m y . D r o g a
p r z e b y t a w p i e r w s z e j f a z i e r u c h u ( r ó w n a h m a x ) j e s t t a k a s a m a j a k w
2 5 d r u g i e j f a z i e ( t e | r ó w n a h m a x ) . K t y n a c h y l e n i a s t y c z n e j d o w y k r e s u w
c h w i l i p o c z t k o w e j A i w c h w i l i k o Dc o w e j C s t a k i e s a m e r ó w n e ±.
P r d k o [c i c i a Ba w t y c h m o m e n t a c h s w i c t e | r ó w n e ( t g ± = v 0 ) .
3 0
Z w y k r e s u p r z y s p i e s z e n i a a ( t ) o d c z y t u j e m y :
P r z y s p i e s z e n i e p o d c z a s c a Be g o r u c h u j e s t s t a Be i m a w a r t o [ u j e m n
r
g d y | w e k t o r p r z y s p i e s z e n i a g j e s t z w r ó c o n y w d ó B ( g t o
p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e , o k t ó r y m j e s t m o w a w r o z d z i a l e 3 . 4 ) .
3 5 P o l e z a k r e [l o n e j f i g u r y w c z [c i A B w y k r e s u p r z e d s t a w i a z m i a n
p r d k o [c i , k t ó r a j e s t r ó w n a p r d k o [c i p o c z t k o w e j v 0 . P o l e f i g u r y w
c z [c i B C w y k r e s u p r z e d s t a w i a t a k s a m z m i a n p r d k o [c i , r ó w n
p r d k o [c i w c h w i l i k o Dc o w e j v k ( v k = v 0 ) .
4 0
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 3
A n i m a c j a :
2 . 9 . R u c h p o o k r g u
r u c h j e d n o s t a j n y p o o k r e g u
a ) j e d n o s t a j n y
5 R u c h j e d n o s t a j n y p o o k r g u j e s t t o r u c h , k t ó r e g o t o r e m j e s t o k r g a w a r t o [
p r d k o [c i j e s t s t a Ba : v = c o n s t ( n p . r u c h j a k i w y k o n u j e k o n i e c w s k a z ó w k i z e g a r a ) .
S t a Be s r ó w n i e |: o k r e s T i c z s t o t l i w o [ f r u c h u .
W i e l k o [c i o p i s u j c e r u c h p o o k r g u s z d e f i n i o w a n e w r o z d z i a l e 2 . 2 .
1 0
P r d k o [ l i n i o w a v
W r u c h u j e d n o s t a j n y m p o o k r g u w a r t o [ p r d k o [c i l i n i o w e j j e s t s t a Ba :
r
v = c o n s t , l e c z w e k t o r p r d k o [c i l i n i o w e j n i e j e s t s t a By : v `" c o n s t , g d y |
p o z o s t a j c s t a l e s t y c z n y d o o k r g u m u s i z m i e n i a s w ó j k i e r u n e k .
1 5
r
v
r
2 0 v
r
2 5
W e k t o r y p r d k o [c i l i n i o w e j w r u c h u j e d n o s t a j n y m p o o k r g u .
v w a r t o [ p r d k o [c i l i n i o w e j
2 À r
r p r o m i e D o k r g u
v =
T - o k r e s
T
"s
P o w y |s z y w z ó r o t r z y m u j e m y p o d s t a w i a j c d o w z o r u : d a n e d o t y c z c e j e d n e g o o b i e g u p o
½ =
"t
o k r g u : "s = 2 Àr ( d Bu g o [ o k r g u ) i "t = T ( o k r e s r u c h u ) .
3 0 l u b
1
p o p o d s t a w i e n i u = f :
T
v w a r t o [ p r d k o [c i l i n i o w e j
v = 2 À r f
r p r o m i e D o k r g u
f - c z s t o t l i w o [
P r d k o [ k t o w a É
W r u c h u j e d n o s t a j n y m p o o k r g u w e k t o r p r d k o [c i k t o w e j j e s t s t a By :
r
3 5 É = c o n s t , w i c p r d k o [ k t o w a [r e d n i a j e s t r ó w n a p r d k o [c i c h w i l o w e j
r r
É = É .
ZR
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 4
É - w a r t o [ p r d k o [c i k t o w e j
2 À
T - o k r e s
É =
T
r
d f
r "Õ
P o w y |s z y w z ó r o t r z y m u j e m y p o d s t a w i a j c d o w z o r u d e f i n i c y j n e g o : É = d a n e d o t y c z c e
"t
j e d n e g o o b i e g u p o o k r g u : "Æ= 2 À ( k t p e Bn y w r a d i a n a c h ) i "t = T ( o k r e s r u c h u ) .
1
5 P o p o d s t a w i e n i u = f :
T
É - w a r t o [ p r d k o [c i k t o w e j
É = 2 À f
f - c z s t o t l i w o [
z p o r ó w n a n i a p o p r z e d n i c h w z o r ó w o t r z y m u j e m y z w i z e k m i d z y w a r t o [c i p r d k o [c i
l i n i o w e j i p r d k o [c i k t o w e j :
v w a r t o [ p r d k o [c i l i n i o w e j
v = É Å"r
É - w a r t o [ p r d k o [c i k t o w e j
r p r o m i e D o k r g u
1 0 D r o g a k t o w a "Æ
"¦ - d r o g a k t o w a
"¦ = É Å""t
É - p r d k o [ k t o w a
"t - c z a s
r
d f
r "Õ
P o w y |s z y w z ó r o t r z y m u j e m y z e w z o r u : É = .
"t
2 À
P o p o d s t a w i e n i u É = :
T
"¦ - d r o g a k t o w a
2 À
T - o k r e s r u c h u
"¦ = "t
T
"t - c z a s
a r
1 5 P r z y s p i e s z e n i e d o [r o d k o w e
W r u c h u j e d n o s t a j n y m p o o k r g u , w s k u t e k z m i a n y k i e r u n k u w e k t o r a p r d k o [c i
r r
l i n i o w e j , w y s t p u j e p r z y r o s t p r d k o [c i "v i p r z y s p i e s z e n i e a z w r ó c o n e w z d Bu |
r
p r o m i e n i a d o [r o d k a o k r g u n a z y w a n e p r z y s p i e s z e n i e m d o [r o d k o w y m .
a r
W a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a d o [r o d k o w e g o j e s t s t a Ba : = c o n s t , l e c z w e k t o r
2 0 p r z y s p i e s z e n i a d o [r o d k o w e g o n i e j e s t s t a By ( g d y | z m i e n i a s i j e g o k i e r u n e k ) :
r
a r `" c o n s t .
2 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 5
P r z y s p i e s z e n i e w r u c h u j e d n o s t a j n y m p o o k r g u .
a r - p r z y s p i e s z e n i e
v 2
d o [r o d k o w e
a r =
v - p r d k o [ l i n i o w a
r
r - p r o m i e D o k r g u
5
v = É Å"r
P o p o d s t a w i e n i u :
a r - p r z y s p i e s z e n i e
2 d o [r o d k o w e
a r = É r
É - p r d k o [ k t o w a
r - p r o m i e D o k r g u
2 À
P o p o d s t a w i e n i u É = :
T
a r - p r z y s p i e s z e n i e
2
4 À
d o [r o d k o w e
a r = r
2
T
T - o k r e s
r - p r o m i e D o k r g u
1
1 0 P o p o d s t a w i e n i u = f :
T
a r - p r z y s p i e s z e n i e
2 2
d o [r o d k o w e
a r = 4 À f r
f - c z s t o t l i w o [
r - p r o m i e D o k r g u
µ
P r z y s p i e s z e n i e k t o w e
P o n i e w a | w r u c h u j e d n o s t a j n y m p o o k r g u p r d k o [ k t o w a j e s t s t a Ba :
r
É = c o n s t
, p r z y s p i e s z e n i e k t o w e j e s t r ó w n e z e r o :
µ = 0
1 5
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 6
b ) j e d n o s t a j n i e z m i e n n y
R u c h j e d n o s t a j n i e z m i e n n y p o o k r g u j e s t t o r u c h , k t ó r e g o t o r e m j e s t o k r g ,
w a r t o [ p r d k o [c i k t o w e j z m i e n i a s i l i n i o w o w r a z z u p By w e m c z a s u , a
5 p r z y s p i e s z e n i e k t o w e j e s t s t a Be : µ= c o n s t .
P r d k o [ k t o w a É( t )
W a r t o [ p r d k o [c i k t o w e j l i n i o w o r o [n i e ( w r u c h u j e d n o s t a j n i e
p r z y s p i e s z o n y m ) l u b l i n i o w o m a l e j e ( w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m ) .
É - p r d k o [ k t o w a k o Dc o w a
É0 - p r d k o [ k t o w a p o c z t k o w a
É = É0 ± µ t
µ - p r z y s p i e s z e n i e k t o w e
t - c z a s
1 0 + d l a r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n e g o ,
- d l a r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n e g o .
D r o g a k t o w a "Æ( t )
"Æ - k t z a k r e [l o n y p o c z a s i e t
2
µ Å" t
É0 - p r d k o [ k t o w a
"Õ = É0 t ±
p o c z t k o w a
2
µ - p r z y s p i e s z e n i e k t o w e
+ d l a r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n e g o ,
1 5 - d l a r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n e g o .
r
a s
P r z y s p i e s z e n i e k t o w e µ i p r z y s p i e s z e n i e l i n i o w e
W r u c h u j e d n o s t a j n i e z m i e n n y m p o o k r g u p r z y s p i e s z e n i e k a t o w e j e s t s t a Be
"É
µ = = c o n s t
2 0
r
"t
a r a s
O p r ó c z p r z y s p i e s z e n i a d o [r o d k o w e g o , w y s t p u j e p r z y s p i e s z e n i e l i n i o w e
s t y c z n e d o o k r g u , k t ó r e j e s t p o w i z a n e z p r z y s p i e s z e n i e m k t o w y m µ n a s t p u j c
z a l e |n o [c i :
a s - p r z y s p i e s z e n i e
s t y c z n e d o o k r g u
a s = µ Å" r
µ - p r z y s p i e s z e n i e k t o w e
r - p r o m i e D o k r g u
2 5
c ) n i e j e d n o s t a j n i e z m i e n n y
W r u c h u n i e j e d n o s t a j n i e z m i e n n y m p o o k r g u p r d k o [ k t o w a É z m i e n i a s i
w t a k i s p o s ó b , |e p r z y s p i e s z e n i e k t o w e n i e j e s t s t a Be : µ `" c o n s t ) .
3 0 W z o r y o p i s u j c e r u c h n i e j e d n o s t a j n i e z m i e n n y w y m a g a j z a s t o s o w a n i a
p o c h o d n y c h i c a Be k d z i a Ba D z z a k r e s u m a t e m a t y k i w y |s z e j .
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
2 . K i n e m a t y k a 9 7
2 . 1 0 . Z e s t a w i e n i e w i e l k o [c i i w z o r ó w o p i s u j c y c h r u c h
p r o s t o l i n i o w y i r u c h p o o k r g u
r u c h p r o s t o l i n i o w y r u c h p o o k r g u z w i z k i m i d z y
w i e l k o [c i a m i
r r
r
r r
"r "Õ
p r z e m i e s z c z e n i e
d r o g a k t o w a
"r = "Õ × r
z a k r e [l o n y k t ( d r o g a
"s
d r o g a
"Õ
k t o w a )
"s = "Õ Å" r
p r d k o [ p r d k o [ k t o w a
r
r r
r r
d f
"Õ
"r r v = É × r
r
v [r = É =
"t "t
p r z y s p i e s z e n i e p r z y s p i e s z e n i e k t o w e
r
r
r r r
d f
"v r "É
a s = µ × r
r
a = µ =
"t "t
d r o g a w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m
µ Å" ( "t ) 2
a ( "t ) 2
"s = v 0 "t + "Õ = É0 "t +
2
2
d r o g a w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m
a ( "t ) 2 µ Å" ( "t ) 2
"s = v 0 "t - "Õ = É0 "t -
2 2
p r d k o [ w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m
v = v 0 + a Å" "t É = É0 + µ "t
p r d k o [ w r u c h u j e d n o s t a j n i e o p ó zn i o n y m
v = v 0 - a Å" "t É = É0 - µ "t
G r z e g o r z K o r n a [ P o w t ó r k a z f i z y k i w w w . f i z y k a . m n e t . p l
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