plik


ÿþLiczby zespolone cd. Podamy teraz bez dowodu Zasadnicze twierdzenie algebry Je[li a0, a1, . . . , an " C oraz n e" 1 i an = 0 , to istnieje co najmniej jedna liczba zespolona z1 taka, n |e a0 + a1z1 + · · · + anz1 = 0 , czyli: ka|dy wielomian stopnia wie kszego od 0 o wspólczynnikach zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony. Dowód tego twierdzenia wykracza poza program tego wykladu. Z twierdzenia tego wynika, |e je[li p(z) = a0 + a1z + · · · + anzn , to istnieje co najmniej jedna liczba zespolona z1 taka, |e dla pewnych liczb zespolonych b0, b1, . . . , bn-1 wzór p(z) = (z - z1)(b0 + b1z + · · · + bn-1zn-1) zachodzi dla ka|dej liczby zespolonej z (twierdzenie Bézout). Oczywi[cie bn-1 = an = 0 . Je[li n - 1 e" 1 , to n-1 istnieje liczba z2 taka, |e b0+b1z2+· · ·+bn-1z2 = 0 , wie c powtarzaja c rozumowanie stwierdzamy istnienie liczb c0, c1, . . . , cn-2 takich, |e dla ka|dej liczby zespolonej z zachodzi równo[ p(z) = (z - z1)(z-z2)(c0+c1z+· · ·+cn-2zn-2) . Te zabawe mo|na kontynuowa dopóki nie rozlo|ymy wielomianu p na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i stalej: p(z) = an(z - z1)(z - z2) · . . . · (z - zn) . Wywnioskowali[my wla[nie z zasadniczego twierdzenia algebry Wniosek Ka|dy wielomian o wspólczynnikach zespolonych mo|emy przedstawi w postaci iloczynu wielo- mianów stopnia pierwszego o wspólczynnikach zespolonych. Wniosek ten mo|e by zastosowany równie| do wielomianów, których wspólczynnikami sa liczby rzeczywiste, w koDcu liczby rzeczywiste sa równie| liczbami zespolonymi (bardzo szczególnymi). Takie wielomiany be dziemy nazywa rzeczywistymi. Wtedy z tego wniosku mo|na wywnioskowa nieco wiecej. Twierdzenie o nierzeczywistych pierwiastkach wielomianu rzeczywistego Je[li a0, a1, . . . , an " IR , n e" 1 i an = 0 oraz a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn = 0 , to równie| a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn = 0 , tzn. je[li liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o ¯ ¯ ¯ ¯ wspólczynnikach rzeczywistych to jej sprze|enie z równie| jest pierwiastkiem tego wielomianu. Dowód. ¯ Mamy 0 = 0 = a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn = 0 + 1z 2z2 + · · · + nzn = a0 + a1z a2z2 + · · ·+ ¯+ ¯ ¯ ¯+ ¯ +anzn  trzecia równo[ wynika z wlasno[ci sprze|enia, czwarta  z tego, |e wspólczynniki ¯ a0, a1, . . . , an sa rzeczywiste. Dowód zostal zakoDczony. Widzimy wiec, |e nierzeczywiste pierwiastki wielomianu rzeczywistego wystepuja parami. Je[li z1 , jest nierzeczywistym pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego p(z) , to równie| liczba z2 = z1 ¯ jest jego pierwiastkiem, a poniewa| z1 = z1 = z2 , wiec wielomian p(z) jest podzielny przez wie- ¯ lomian (z - z1)(z - z2) = z2 - (z1 + z2)z + z1z2 = z2 - (z1 + z1)z + z1z1 = z2 - 2Rez1z + |z1|2 . ¯ ¯ Wspólczynniki tego ostatniego wielomianu sa liczbami rzeczywistymi! Oczywi[cie ten wielomian kwa- dratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych (bo ma nierzeczywiste, a ma ich tylko 2 jako wielomian 225 stopnia drugiego). Sta d latwo ju| wnioskujemy, |e Twierdzenie o rozkladzie wielomianu rzeczywistego na czynniki nierozkladalne Ka|dy wielomian rzeczywisty stopnia nie mniejszego ni| 1 mo|na przedstawi w postaci iloczynu wielomianów rzeczywistych stopnia pierwszego i drugiego o ujemnych wyró|nikach. Okazalo sie wiec, |e przynajmniej z punktu widzenia rozwia zywania równaD wielomianowych dalsze rozszerzania zapasu liczb nie jest potrzebne.* Wzory Eulera 1 1 Dla ka|dej liczby rzeczywistej x zachodza równo[ci cos x = eix + e-ix) , sin x = eix - e-ix) . 2 2i Dowodzi tu wla[ciwie nie ma co. Wzory wynikaja natychmiast z definicji funkcji ez dla z " C . Wzory pozwalaja na rozszerzenie dziedziny funkcji sinus i kosinus na wszystkie liczby zespolone. 1 1 Mo|na po prostu przyja , |e sin z = eiz - e-iz) oraz cos z = eiz + e-iz) . Tak zdefiniowane 2i 2 funkcje sa przydatne w wielu sytuacjach, ale nimi zajmowa sie nie bedziemy. Maja one zreszta nieco inne wlasno[ci ni| funkcje zmiennej rzeczywistej (zob. zadanie 1.) Przyklad Znajdziemy wzór na sin(5x) , x " IR . Mamy sin(5x) = Im(cos(5x) + i sin(5x)) = Im (cos x + i sin x)5 = = Im cos5 x+5 cos4 x·(i sin x)+10 cos3 x(i sin x)2 +10 cos2 x(i sin x)3 +5 cos x(i sin x)4 +(i sin x)5 = = Im cos5 x + 5i cos4 x · sin x - 10 cos3 x sin2 x - 10i cos2 x sin3 x + 5 cos x sin4 x + i sin5 x = = 5 cos4 x · sin x - 10 cos2 x sin3 x + sin5 x . Wzór zostal wyprowadzony.  Przy okazji mamy te| cos(5x) = cos5 x-10 cos3 x sin2 x+5 cos x sin4 x . Wida wiec, |e wystarczy znajomo[ wzoru de Moivre a i dwumianu Newtona. Wyprowadzenie to jest proste, autor tekstu chca c u|y wzór na sin(n±) poste puje tak, jak pokazal w przykladzie, nie szuka wzoru w literaturze, bo ta czynno[ zabralaby mu wiecej czasu, chocia| ma ksia |ki, w których ten wzór jest podany. Funkcje zmiennej zespolonej mo|na ró|niczkowa tak, jak funkcje zmiennej rzeczywistej: for- malne reguly ró|niczkowania pozostaja niezmienione. Podkre[li wypada, |e ró|niczkowalno[ funkcji zmiennej zespolonej ma dalej ida ce konsekwencje ni| ró|niczkowalno[ w sensie rzeczywistym, ale te kwestie wykraczaja daleko poza program matematyki A1. Przyklad 2(3z-1)-3(2z+1) -5 2z+1 2z+1 Znajdziemy pochodna funkcji . Mamy = = . 3z-1 3z-1 (3z-1)2 (3z-1)2 Teraz znajdziemy pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej f zdefiniowanej wzorem f(t) = et(2+3i) . Stosuja c wzór na pochodna funkcji zlo|onej otrzymujemy et(2+3i) = (2 + 3i)et(2+3i) , co mo|na te| zapisa tak: e2t[cos(3t) + i sin(3t)] = (2 + 3i)e2t[cos(3t) + i sin(3t)] = = e2t[2 cos(3t) - 3 sin(3t) + i(2 sin(3t) + 3 cos(3t))] . * Nie jest te| w pewnym sensie mo|liwe, ale wyja[nienie odpowiedniego twierdzenia zajeloby za du|o miejsca. 226 Bez klopotu mo|emy sprawdzi, |e e2t cos(3t) = e2t[2 cos(3t) - 3 sin(3t)] oraz e2t sin(3t) = e2t[2 sin(3t) + 3 cos(3t)] . Oznacza to, |e ró|niczkowanie cze[ci rzeczywistej i cze[ci urojonej odbylo sie  oddzielnie . Liczby zespolone pozwalaja te wzory potraktowa jako fragmenty jednej formuly. Scalkujemy funkcje e3t cos(4t) . Mo|na posta pi wg. recept poznanych w pierwszym semestrze: scalkowa dwa razy przez cze [ci, potem rozwia za równanie, w którym niewiadoma be dzie poszu- kiwana calka, ale mo|na te| posta pi inaczej. Mamy e3t cos(4t) = Re e(3+4i)t . Zachodzi równo[* 1 3-4i 4 e(3+4i)t dt = e(3+4i)t = e3t cos(4t) + i sin(4t) = e3t 3 - i cos(4t) + i sin(4t) = 3+4i 32-(4i)2 25 25 4 4 = e3t 3 cos(4t) + sin(4t) + ie3t 3 sin(4t) - cos(4t) . Z tej równo[ci wywnioskujemy, |e 25 25 25 25 4 4 e3t cos(4t)dt = Re e3t 3 cos(4t) + sin(4t) + ie3t 3 sin(4t) - cos(4t) = 25 25 25 25 4 = e3t 3 cos(4t) + sin(4t) 25 25 i  przy okazji 4 4 e3t sin(4t)dt = Im e3t 3 cos(4t) + sin(4t) + ie3t 3 sin(4t) - cos(4t) = 25 25 25 25 4 = e3t 3 sin(4t) - cos(4t) . 25 25 Takie obserwacje ulatwiaja poslugiwanie sie ró|nymi wzorami, lepiej widoczne jest, |e podo- bieDstwa maja jakie[ gle bsze podstawy. Liczby zespolone u|ywa bedziemy, gdy beda nam potrzebne. Teraz zajmiemy sie nieco inna tematyka . * Konsekwentnie opuszczamy stala calkowania 227 I.Newton sformulowal podstawowe zasady dynamiki. Druga zasada dynamiki ma posta wzoru F = ma . F oznacza tu sile dzialaja ca na cialo o masie m , a oznacza przyspieszenie tego ciala. Przyspieszenie to druga pochodna polo|enia w chwili t , oczywi[cie przyspieszenie na ogól zale|y od czasu. Jest to oczywi[cie wielko[ wektorowa, wie c dlatego stosujemy  tlusty druk albo strzalke (to rzecz gustu). Oznaczaja c polo|enie w chwili t przez x(t) = x1(t), x2(t), x3(t) otrzymujemy a(t) = x (t) . W ogólno[ci sila jest wektorem zale|nym od polo|enia (np. grawitacyjna), pre dko[ci poruszaja cego sie ciala (np. tarcie) i czasu (np. zwie kszamy lub zmniejszamy obroty silnika). Powinni[my wiec traktowa wektor F jako funkcje zale|na od zmiennych x , x oraz t . Wtedy druga zasada dynamiki przyjmuje posta F x(t), x (t), t = mx (t) . Z jednej strony wyste puje druga pochodna funkcji x , a z drugiej funkcja zale|na od x , x oraz t . Zwykle naszym celem po napisaniu takiego równania jest znalezienie funkcji x  chcemy zbada ruch, czyli móc powiedzie w jakim punkcie w danej chwili znajduje sie poruszaja cy sie obiekt. Równania tego typu nazywane sa równaniami ró|niczkowymi, w tym konkretnym przypadku drugiego rzedu, bowiem w równaniu wystepuja pochodne drugiego rzedu niewiadomej funkcji, a pochodne wy|szego rze du ju| nie. Je[li równanie nie daje sie rozwia za, to mo|emy próbowa przybli|y rozwia zanie, czasem przybli|y równanie i rozwia za równanie przybli|one w nadziei, |e jego rozwia zania przybli|aja rozwia zania wyj[ciowego równania. Zagadnienia te sa trudne. W trakcie tego wykladu zajmowa sie be dziemy jedynie najprostszymi typami równaD ró|niczkowych, które mo|na rozwia za. W szkole uczniowie spotykaja sie na lekcjach fizyki z wahadlem matematycznym, poznaja prawa jego ruchu. Zaczyna sie to wszystko od stwierdzenia, |e je[li x(t) oznacza ka t o jaki wahadlo odchy- lone jest od pionu w chwili t , to spelniona jest równo[ x (t) = - sin x(t) . Zakladam tu, |e jednostki sa tak dobrane, |e przyspieszenie ziemskie równe jest 1 , dlugo[ wahadla te| jest 1 i dlatego nie ma |adnych wspólczynników w rodzaju g , l , . . . Naste pnie nauczyciel o[wiadcza, |e poniewa| zajmu- jemy sie jedynie sytuacja , w której amplituda wahaD jest mala, wiec mo|emy przyja , |e sin x H" x *, co pozwala na zaje cie sie równaniem x (t) = -x(t) . To ostatnie daje sie latwo rozwia za, nauczymy sie tego w nieodleglej przyszlo[ci. Teraz podamy prostszy przyklad wraz z rozwia zaniem. Znajdziemy wszystkie funkcje f okre[- lone na calej prostej, dla których spelniony jest warunek f (t) = kf(t) Je[li f jest funkcja ró|niczkowalna w punkcie p , to zachodzi równo[ przybli|ona f (p+h)H"f (p)+f (p)h , te przy- * bli|ona równo[ stosujemy tu dla f (x)=sin x , p=0 . Zastepujemy wiec funkcje sinus funkcja liniowa . 228 dla ka|dej liczby rzeczywistej t . Takie równanie pojawia sie w zwia zku z badaniem ró|nych zjawisk, np. masy pierwiastka promieniotwórczego  zmienia sie ona w czasie w ten sposób, |e ubytek masy jest proporcjonalny do masy w danej chwili oraz czasu w jakim nastepuje rozpad. Bez trudu stwierdzi mo|na, |e tak sformulowane prawo nie mo|e by dokladne ( nie chce sie tym zajmowa, ale moge wyja[ni spragnionym tej wiedzy po wykladzie lub w trakcie konsultacji dokladniej w m(t+"t)-m(t) czym rzecz). Piszemy wie c równo[ przybli|ona H" km(t) i znajdujemy granice przy "t "t -’! 0 otrzymuja c m (t) = km(t) . Innym zjawiskiem prowadza cym do równania f (t) = kf(t) jest rozszerzalno[ cieplna. Stosujemy to samo rozumowanie, jedyna ró|nica to to, |e w przypadku rozpadu promieniotwórczego wspólczynnik k jest ujemny podczas, gdy w przypadku wydlu|ania sie ciala w wyniku wzrostu temperatury wspólczynnik jest dodatni, ale z punktu widzenia matematyki ta ró|nica jest nieistotna. Nieistotne jest równie| znaczenie zmiennej t , która w pierwszym przypadku oznacza czas, a drugim  temperature. Nietrudno zauwa|y, |e funkcja ekt spelnia równanie f (t) = kf(t) . Jest te| oczywiste, |e je[li f spelnia równanie f (t) = kf(t) , to dla dowolnej liczby c równie| funkcja cf spelnia to równanie. Wyka|emy, |e je[li f spelnia równanie f (t) = kf(t) , to istnieje liczba c taka, |e f(t) = cekt dla ka|dej liczby rzeczywistej t . Mamy bowiem f(t)e-kt = f (t)e-kt - ke-ktf(t) = kf(t)e-kt - ke-ktf(t) = 0 . Funkcja f(t)e-kt jest wie c stala. Oznaczywszy jej jedyna warto[ przez c wnioskujemy, |e wzór f(t)e-kt = c zachodzi dla ka|dej liczby rzeczywistej t , wiec f(t) = cekt dla t " IR . Podstawiaja c t = 0 otrzymujemy c = f(0) , czyli f(t) = f(0)ekt . Uwaga. Udowodnione wla[nie twierdzenie jest prawdziwe równie| dla funkcji zespolonych. Uza- sadni mo|na to w ten sam sposób. Trzeba jednak najpierw wykaza, |e je[li f (t) = 0 dla ka|dej liczby t z przedzialu, na którym okre[lona jest funkcja f , to f jest funkcja stala równie| wtedy, gdy jest to funkcja o warto[ciach zespolonych. Takie stwierdzenie jest prawdziwe, ale podany przez nas jego dowód w przypadku rzeczywistym wymaga modyfikacji, bo korzystali[my w nim z twierdzenia Lagrange a o warto[ci [redniej, a ono w takiej wersji jak w przypadku rzeczywistym prawdziwe nie jest. Te kwestie odkladamy na pózniej. W dalszym cia gu niewiadoma funkcje bedziemy oznacza przez x , a nie jak do tej pory przez f . Teraz zajmiemy sie równaniami postaci x (t) = kx(t) + g(t) , gdzie k oznacza dowolna liczbe , by mo|e nierzeczywista . Z równaniem tym, zwanym równaniem liniowym, zwia zane jest równanie liniowe jednorodne y (t) = ky(t) , które ju| umiemy rozwia za. Mamy y(t) = cekt , gdzie c oznacza stala . Poszukamy rozwia zania równania x (t) = kx(t) + g(t) w postaci x(t) = c(t)ekt , czyli zasta pimy stala c przez funkcje 229 zmiennej t .* Podstawiaja c do równania otrzymujemy c (t)ekt + kc(t)ekt = kc(t)ekt + g(t) , czyli c (t)ekt = g(t) . Sta d natychmiast otrzymujemy c (t) = g(t)e-kt . Teraz wystarczy znalez calke g(t)e-kt dt i zakoDczy wypisaniem rozwia zania. Poka|emy na przykladzie, jak ta metoda dziala. Niech k = 2 , g(t) = te3t , tzn. zajmiemy sie równaniem x (t) = 2x(t) + te3t . Pomocnicze równanie jednorodne to y (t) = 2y(t) . Ma ono rozwia zanie ce2t , wie c znajdziemy funkcje c taka , |e x(t) = c(t)e2t . Podstawiaja c do równania niejednorodnego otrzymujemy c (t)e2t + 2c(t)e2t = 2c(t)e2t + te3t . Sta d c (t)e2t = te3t , zatem c (t) = tet . Mamy wiec przez cze[ci c(t) = tet dt = = = = - 1 · et dt = tet - et + c1 , = = = =tet gdzie c1 oznacza stala . Sta d x(t) = tet-et+c1 e2t = te3t-e3t+c1e2t . Widzimy wiec, |e rozwia zanie jest postaci: pewna funkcja + dowolna funkcja spelniaja ce pomocnicze równanie jednorodne. Nie jest to przypadek. Je[li funkcje x1, x2 sa rozwia zaniami badanego równania niejednorodnego x (t) = kx(t) + g(t) , czyli gdy x 1(t) = kx1(t) + g(t) i x 2(t) = kx2(t) + g(t) , to ich ró|nica spelnia równanie jednorodne: (x1(t) - x2(t)) = k(x1(t) - x2(t))  odje li[my stronami obie równo[ci. Definicja quasiwielomianu Iloczyn wielomianu p i funkcji e»t nazywamy quasiwielomianem z wykladnikiem » . Stopniem quasiwielomianu p(t)e»t nazywamy stopieD wielomianu p . Funkcja (t2 + 13t + 12)e7t jest quasiwielomianem stopnia drugiego z wykladnikiem » . Funkcja e-5t jest quasiwielomianem stopnia 0 wykladnikiem -5 . Funkcja x3 - 4x3 + 2 jest quasiwielomia- nem stopnia 3 z wykladnikiem 0 , czyli wielomianem. Funkcja t3cos(2t) nie jest quasiwielomianem, ale jest cze[cia rzeczywista quasiwielomianu t3e2it = t3 cos(2t) + i sin(2t) . Podobnie funkcja (t3 + 2t) sin(3t)e-2t nie jest quasiwielomianem, ale jest cze [cia urojona quasiwielomianu stopnia 3 z wykladnikiem -2 + 3i , mianowicie (t3 + 2t)e(-2+3it) = (t3 + 2t)e-2t cos(3t) + i sin(3t) . Wyka|emy teraz twierdzenie opisuja ce rozwia zania równania niejednorodnego, którego prawa strona jest quasi- wielomianem. Twierdzenie o rozwia zaniach równania liniowego quasiwielomianowego rzedu 1. Je[li funkcja g jest quasiwielomianem stopnia d z wykladnikiem » i x (t) = kx(t) + g(t) , to je[li k = » , to funkcja x jest suma quasiwielomianu stopnia d z wykladnikiem » i quasiwielomianu stopnia d" 0 z wykladnikiem k ; je[li k = » , to funkcja x jest quasiwielomianem stopnia d + 1 z wykladnikiem » . Poniewa| ekt=0 dla ka|dego t" , wiec poszukiwana funkcje x mo|na zapisa w tej postaci, bo ka|da funkcje mo|na * podzieli przez ekt . Ta metoda postepowania nazywana jest uzmiennianiem stalej, niektórzy mówia o wariacji stalej, cho lepiej pewnie brzmialoby o wariacji konstanty, ale my bedziemy u|ywa konsekwentnie slów polskich. 230 Dowód. Zastosujemy metode uzmienniania stalej. Rozwia zaniem pomocniczego równania liniowego jedno- rodnego y (t) = ky(t) jest y(t) = cekt , c jest tu pewna liczba . Znajdziemy funkcje c zmiennej t taka , |e x(t) = c(t)ekt . Podstawiaja c do równania otrzymujemy c (t)ekt + kc(t)ekt = kc(t)ekt + g(t) . Sta d c (t)ekt = g(t) , wiec c (t) = g(t)e-kt . Niech p bedzie wielomianem stopnia d ta- kim, |e g(t) = p(t)e»t . Je[li » = k , to c (t) = p(t) , zatem c jest wielomianem stopnia d + 1 i w tym przypadku dowód jest zakoDczony. Zaló|my wiec, |e » = k . Teraz c (t) = p(t)e(»-k)t . 1 1 Calkuja c przez cze [ci otrzymujemy p(t)e(»-k)t dt = p(t)e(»-k)t - p (t)e(»-k)t dt . Spro- »-k »-k wadzili[my obliczenie calki do takiego samego problemu, ale z wielomianem, którego stopieD jest o 1 1 mniejszy od wyj[ciowego. Mo|na te procedure powtórzy: p (t)e(»-k)t dt = p (t)e(»-k)t - »-k 1 - p (t)e(»-k)t dt , zatem »-k 1 1 1 p(t)e(»-k)t dt = p(t)e(»-k)t dt - p (t)e(»-k)t dt + p (t)e(»-k)t dt . »-k »-k (»-k)2 Wida, |e calkuja c d+1 razy otrzymamy w koDcu quasiwielomian stopnia d z wykladnikiem »-k , a po pomno|eniu przez ekt  quasiwielomian z wykladnikiem » stopnia d , plus stala pomno|ona przez ekt , wie c wynik zapowiedziany w twierdzeniu. Przyklad 1. Rozwia |emy równanie x (t) = -5x(t) + (t2 + 4t)e3t . Poniewa| funkcja (t2 + 4t)e3t jest quasiwie- lomianem stopnia 2 z wykladnikiem 3 = -5 , wie c rozwia zanie jest quasiwielomianem stopnia 2 z wykladnikiem 3 plus stala razy e-5t , czyli funkcja postaci c1t2 + c2t + c3 e3t + ce-5t . Nale|y znalez stale c1, c2, c3, c . Podstawiaja c do równania otrzymujemy 2c1t + c2 e3t + 3 c1t2 + c2t + c3 e3t - 5ce-5t = -5 c1t2 + c2t + c3 e3t - 5ce-5t + (t2 + 4t)e3t . Aby te funkcje byly równe wspólczynniki przy tych samych pote gach zmiennej t po obu stronach równo[ci musza by równe. Wobec tego 3c1 = -5c1 + 1 , 2c1 + 3c2 = -5c2 + 4 , c2 + 3c3 = -5c3 i `& -5c = -5c . Ostatnia równo[ nic nie wnosi: liczba c to dowolna liczba zespolona. Rozwia zujemy 1 15 15 uklad 3 równaD liniowych z niewiadomymi c1, c2, c3 i otrzymujemy c1 = , c2 = i c3 = -256 . 8 32 1 15 15 Wykazali[my, |e x(t) = t2 + t - e3t + ce-5t . 8 32 256 Przyklad 2. Rozwia |emy równanie x (t) = 2x(t) + t2e2t . Z twierdzenia wynika, |e w tym przypadku rozwia zanie jest quasiwielomianem stopnia 2 + 1 z wykladnikiem 2 . Jest wie c postaci c1t3 + c2t2 + c3t + c4 e2t . Podstawiaja c otrzymujemy 3c1t2 + 2c2t + c3 e2t + 2 c1t3 + c2t2 + c3t + c4 e2t = 2 c1t3 + c2t2 + c3t + c4 e2t + t2e2t . Sta d wynika natychmiast (porównujemy wspólczynniki przy tych samych potegach t po obu stronach 1 równo[ci), |e c1 = , c2 = c3 = 0 oraz, |e c4 jest dowolna liczba (por. notka na dole strony). 3 1 Rozwia zaniem jest wiec t3e2t + c4e2t , c4 oznacza tu dowolna liczbe zespolona . 3 `& To zreszta bylo jasne od samego poczatku, bo funkcja ce-5t jest rozwiazaniem równania jednorodnego, wiec mo|na ja doda do rozwia zania równania niejednorodnego i otrzyma nastepne rozwia zanie równania niejednorodnego. 231 Przyklad 3. Rozwia |emy równanie x (t) = -2x(t) + tet sin(3t) . Tym razem prawa strona nie jest quasiwielomia- nem, ale tet sin(3t) = Im(te(1+3i)t , wiec najpierw rozwia |emy równanie x (t) = -2x(t)+te(1+3i)t , a potem zainteresujemy sie jego cze [cia urojona . Poniewa| -2 = 1 + 3i , wie c rozwia zanie jest postaci (c1t + c2)e(1+3i)t + ce-2t . Podstawiamy do równania i otrzymujemy c1e(1+3i)t + (1 + 3i)(c1t + c2)e(1+3i)t - 2ce-2t = -2(c1t + c2)e(1+3i)t - 2ce-2t + te(1+3i)t . Porównanie wspólczynników przy odpowiednich funkcjach po obu stronach prowadzi do równaD 1 1-i -c1 -1 (1 + 3i)c1 = -2c1 + 1 i c1 + (1 + 3i)c2 = -2c2 . Sta d c1 = = , c2 = = = 3+3i 6 3+3i (3+3i)2 -1 i = . Oczywi[cie |adnego warunku na c nie otrzymali[my, wiec rozwia zanie zespolone ma po- 18i 18 1-i i 1-3t 1 sta ( t + )e(1+3i)t + ce-2t . Jego cze [ urojona to et cos(3t) + tet sin(3t) + Imc · e-2t . 6 18 18 6 Znalezli[my wie c rozwia zanie ogólne równania x (t) = -2x(t)+tet sin(3t) , Imc to prostu dziwaczne oznaczenie dowolnej liczby rzeczywistej. Zajmiemy sie teraz równaniami liniowymi drugiego rze du i zaraz potem wy|szego rze du. Roz- wa|a bedziemy równania postaci x (t) + ax (t) + bx(t) = g(t) . (nj2) a, b oznaczaja jakie[ liczby (na ogól zespolone), g funkcje o warto[ciach zespolonych okre[lona na pewnym przedziale, by mo|e na calej prostej. Najwa|niejsze dla nas sa te równania, w których funkcja g jest quasiwielomianem. Z równaniem nj2. wia za bedziemy równanie linowe jednorodne y (t) + ay (t) + by(t) = 0 (j2) oraz równanie charakterystyczne »2 + a» + b = 0 . (ch2) Równanie charakterystyczne (ch2) ma dwa pierwiastki (niekoniecznie rzeczywiste i niekoniecznie ró|ne) »1, »2 . Dla ka|dej liczby » mamy wie c »2 + a» + b = (» - »1)(» - »2) , spelnione sa te| znane (kiedy[) wszystkim maturzystom wzory Viète a: »1 + »2 = -a , »1»2 = b . Z wzorów Viète a wynika, |e x (t) + ax (t) + bx(t) = x (t) - »2x(t) - »1 x (t) - »2x(t) . Mo|na sobie ulatwi manipulacje wprowadziwszy symbol D , oznaczaja cy ró|niczkowanie, uma- wiaja c sie , |e dla ka|dej funkcji f symbol Df oznacza pochodna funkcji f , tzn. Df(t) = f (t) . Wtedy spelnione sa naste puja ce równo[ci: D(c1f1 + c2f2) = c1Df1 + c2Df2 (liniowo[ ró|niczkowania), D(f1 · f2) = Df1 · f2 + f1 · Df2 (pochodna iloczynu). 232 Be dziemy te| pisa D2f zamiast D(Df) . Przy takich umowach równanie (nj2) mo|na zapisa tak D2x + aDx + bx = g , opu[cili[my argument, co wielokrotnie be dziemy robi, bo to upraszcza zapis. Je[li jeszcze umówimy sie, |e (D + »)x = Dx + »x dla ka|dej liczby » i ka|dej funkcji ró|niczkowalnej x , to mo|emy napisa x + ax + bx = D2x + aDx + bx = (D - »1) Dx - »2x = (D - »1) (D - »2)x . Naturalnym pomyslem jest wie c pisanie x + ax + bx = (D - »1)(D - »2)x , co zwykle sie czyni. Nasze równanie ma wiec posta (D - »1)(D - »2)x = g . Niech z = (D - »2)x . Rozwia zanie równania drugiego rzedu (D - »1)(D - »2)x = g mo|na wiec sprowadzi do rozwia zania dwóch równaD pierwszego rze du: najpierw szukamy funkcji z takiej, |e (D - »1)z = g a po znalezieniu z szukamy funkcji x takiej, |e (D - »2)x = z . Zauwa|my jeszcze, |e je[li (D -»1)(D -»2)x1 = g i (D -»1)(D -»2)x2 = g , to ró|nica x1 -x2 rozwia zaD równania niejednorodnego, spelnia równanie jednorodne (D - »1)(D - »2)(x1 - x2) = 0 . Jasne jest, |e je[li (D-»1)(D-»2)x = g i (D-»1)(D-»2)y = 0 , to (D - »1)(D - »2)(x + y) = g . Oznacza to, |e je[li znajdziemy w jaki[ sposób jedno rozwia zanie równania niejednorodnego* i wszystkie rozwia zania równania jednorodnego, to tym samym znajdziemy wszystkie rozwia zania równania niejednorodnego. Ostrze|enie: (D + 1)(D - t)x = (D + 1)(x - tx) = x - (tx) + x - tx = x + (1 - t)x - (1 + t)x , ale (D - t)(D + 1)x = (D - t)(x + x) = x + x - tx - tx = x + (1 - t)x - tx , zatem (D + 1)(D - t)x = (D - t)(D + 1)x . Widzimy wie c, |e kolejno[ wykonywania operacji ma wplyw na wynik. W tym konkretnym przy- padku mo|na sie tego spodziewa bez przed przeprowadzaniem obliczeD, bo pochodna funkcji stalej jest 0 , a (t) = 1 = 0 . Jednak je[li »1, »2 sa liczbami (najprostszy przypadek, innych z braku czasu nie rozwa|amy), to (D - »1)(D - »2) = (D - »2)(D - »1) . Przyklad 4. Zajmiemy sie równaniem oscylatora harmonicznego, na razie bez tlumienia i wymuszenia, czyli równaniem x + É2x = 0 . Mo|na je zapisa w postaci 0 = (D2 + É2)x = (D + Éi)(D - Éi)x . Niech Ü Ü z = (D - Éi)x . Ma wiec by (D + Éi)z = 0 , czyli z(t) = c1e-Éit , gdzie c1 oznacza dowolna liczbe zespolona . Teraz kolej na równanie (D - Éi)x = c1e-Éit . Z tego, co wiemy o równaniach pierwszego Ü rzedu, wynika, |e je[li É = 0 , to x(t) = c1e-Éit + c2eÉit , gdzie c1 jest stala odpowiednio dobrana do c1 : (D - Éi) c1e-Éit + c2eÉit = -2Éic1e-Éit , wie c musi by spelniona równo[ c1 = -2Éic1 , Ü Ü c1 c1 Ü Ü albo c1 = -2Éi = i . 2É Otrzymali[my rozwia zanie w postaci zespolonej. Mo|na je zapisa w postaci rzeczywistej. Niech * np. zgadniemy! 233 c1 = ±1 + ²1i , c2 = ±2 + ²2i , gdzie ±1, ²1, ±2, ²2 " . Wtedy x(t) = c1e-Éit + c2eÉit = ±1 + ²1i cos(Ét) - i sin(Ét) + ±2 + ²2i cos(Ét) + i sin(Ét) = = (±1 + ±2) cos(Ét) + (²1 - ²2) sin(Ét) + i (²1 + ²2) sin(Ét) - (±1 - ±2) cos(Ét) . Je[li É " , to z tego, |e funkcja x jest rozwia zaniem równania x + É2x = 0 wynika, |e 0 = 0 = x + É2x = x + É2x = x + É2x , wiec równie| funkcja x jest rozwia zaniem. Wobec ¯ ¯ ¯ ¯ 1 tego, |e suma rozwia zaD te| jest rozwia zaniem, stwierdzamy, |e funkcje x + x i (x + x) = Rex sa ¯ ¯ 2 1 rozwia zaniami równania. Równie| funkcja Imx = (x - x) jest rozwia zaniem. Poniewa| ¯ 2i Rex(t) = (±1 + ±2) cos(Ét) + (²1 - ²2) sin(Ét) oraz Imx(t) = (²1 + ²2) sin(Ét) - (±1 - ±2) cos(Ét) , wiec rozwia zania rzeczywiste wygla daja tak: d1 cos(Ét) + d2 sin(Ét) , gdzie d1, d2 oznaczaja dowolne liczby rzeczywiste. Mamy x(0) = d1 i x (0) = Éd2 . Wobec tego d1 to polo|enie w chwili t = 0 , a w d2 zakodowana jest pre dko[ pocza tkowa. Fizycy na ogól wola inne parametry: amplitude i faze . Niech A = d2 + d2 1 2 d1 d2 " . Wtedy zachodzi równo[ i niech ¸ bedzie takim ka tem, |e cos ¸ = oraz sin ¸ = - " d2+d2 d2+d2 1 2 1 2 x(t) = d1 cos(Ét) + d2 sin(Ét) = A cos ¸ cos(Ét) - sin ¸ sin(Ét) = A cos(¸ + Ét) . Jest jasne jak przechodzi od zestawu parametrów d1, d2 do zestawu A, ¸ i odwrotnie. Mo|na wiec od razu szuka rozwia zania w postaci A cos(¸ + Ét) jednak trudno byloby opisa ogólna teorie w tych terminach, wiec u|ywamy funkcji wykladniczych i liczb zespolonych. Przyklad 5. Rozwia |emy równanie x (t) + 3x (t) - 4x(t) = 6tet . Równanie »2 + 3» - 4 = 0 ma dwa pierwiastki: »1 = -4 i »2 = 1 . Mo|emy wiec zasta pi równanie ró|niczkowe drugiego rzedu dwoma równaniami pierwszego rze du: (D - 1)y(t) = 6tet i (D + 4)x(t) = y(t) . Rozwia zujemy pierwsze równanie jaka kolwiek z poznanych metod. Tym razem uzmiennimy stala . Rozwia zanie ogólne równania jed- norodnego (D - 1)y = 0 , to cet . Szukamy wie c rozwia zania równania (D - 1)y(t) = 6tet w postaci c(t)et . Podstawiamy do równania i otrzymujemy 6tet = (D - 1) c(t)et = c(t)et - c(t)et = c (t)et + c(t)et - c(t)et = c (t)et . Trzeba rozwia za równanie 6tet = c (t)et , po skróceniu c (t) = 6t . Sta d c(t) = 3t2 + c1 , gdzie c1 jest pewna liczba (dowolna ). Teraz zajmiemy sie równaniem (D + 4)x(t) = 3t2 + c1 et . Szukamy rozwia zania w postaci c(t)e-4t , bo funkcja ce-4t jest rozwia zaniem równania jednorod- nego (D + 4)x(t) = 0 . Ma wie c by (3t2 + c1)et = (D + 4) c(t)e-4t = c (t)e-4t - 4c(t)e-4t + 4c(t)e-4t = c (t)e-4t . W skrócie wygla da to tak c (t) = (3t2 + c1)e5t . Po scalkowaniu 3 6 6 c1 c(t) = t2e5t - te5t + e5t + e5t + c2 . 5 25 125 5 Teraz mo|emy napisa 234 3 6 6 c1 3 6 6 c1 x(t) = t2e5t - te5t + e5t + e5t + c2 e-4t = t2et - tet + et + et + c2e-4t . 5 25 125 5 5 25 125 5 c1 Ü Oczywi[cie liczbe mo|emy zasta pi np. przez c1 , bo |adnych ograniczeD na c1 nie ma  to po 5 c1 prostu dowolna liczba, zatem równie| c1 = jest dowolna liczba . Ü 5 Jest jasne, |e w przypadku równania drugiego rzedu prawdziwe jest Twierdzenia o rozwia zaniach równania liniowego drugiego rzedu Równanie x + ax + bx = w(t)e»t ma rozwia zanie, które jest quasiwielomianem o wykladniku » przy czym je[li » nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to stopieD rozwia zania równy jest stopniowi w(t) , je[li » jest pierwiastkiem jednokrotnym, to stopieD rozwia zania jest o 1 wie kszy od stopnia w(t) , je[li » jest pierwiastkiem dwukrotnym, to stopieD rozwia zania jest o 2 wiekszy od stopnia w(t) . Studenci bez trudu uogólnia to twierdzenie na przypadek równaD wy|szego rzedu o stalych wspólczynnikach, których prawa strona jest quasiwielomianem w(t)e»t . StopieD rozwia zania szcze- gólnego jest wiekszy od stopnia w(t) o krotno[ » jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego lewej strony. Przyklad 6. Znajdziemy rozwia zania równania x + x = 2 cos t + 12t sin t . Tym razem prawa strona nie jest quasiwielomianem, ale 2 cos t = Re 2eit i 12t sin t = Im12 eit . Zajmiemy sie równaniami pomocniczymi x + x = 2eit oraz x + x = 12teit . W obu przypadkach równanie charakterystyczne równania jednorodnego to »2 + 1 = 0 . Ma ono dwa pierwiastki i oraz -i . Wobec tego jednym z rozwia zaD równania x +x = 2eit jest quasiwielomian stopnia pierwszego, a równania x + x = 12teit  quasiwielomian stopnia drugiego . W pierwszym przypadku powinien wie c by spelniony wzór 2eit = (At + B)eit + (At + B)eit = 2Aieit + i2(At + B)eit + (At + B)eit = 2Aieit . Sta d wynika, |e A = -i . B mo|e by dowolne. Znalezli[my rozwia zanie ogólne pierwszego równania -iteit + c1eit + c2e-it . W drugim przypadku musi zachodzi równo[ 12teit = (At2 + Bt + C)eit + (At2 + Bt + C)eit = = 2Aeit + 2i(2At + B)eit + i2(At2 + Bt + C)eit + (At2 + Bt + C)eit = 4Aiteit + (2A + 2Bi)eit . Wynika sta d, |e A = -3i oraz B = 3 . C mo|e by dowolne. Rozwia zaniem ogólnym drugiego równania jest -3it2eit + 3teit + c1eit + c2e-it . Rozwia zaniem ogólnym równania x + x = 2 cos t jest funkcja t sin t + c1 cos t + c2 sin t . Ma to by rozwia zanie rzeczywiste, zatem tym razem stale c1, c2 musza by rzeczywiste. Rzeczywistym rozwia zaniem ogólnym równania x + x = 12t sin t jest funkcja Im - 3it2eit + 3teit + c1 cos t + c2 sin t = -3t2 cos t + 3t sin t + c1 cos t + c2 sin t . Znów zainteresowani jeste[my rozwia zaniem rzeczywistym, zatem i w tym przypadku c1, c2 " IR . 235 Przyklad 7. Omówimy teraz równanie oscylatora harmonicznego (wahadla matematycznego) uwzgle dniaja c czyn- niki, które do tej pory lekcewa|yli[my. W tym przykladzie uwzglednimy tarcie. Fizycy zwykli za- klada, |e przy niezbyt du|ych pre dko[ciach tarcie jest proporcjonalne do pre dko[ci. Wobec tego zamiast równania x (t) + É2x(t) = 0 rozwa|a bedziemy równanie x (t) + kx (t) + É2x(t) = 0 , k oznacza tu dodatnia stala  wspólczynnik tarcia, É = 0 jest cze sto[cia wlasna oscylatora har- monicznego. Równanie charakterystyczne ma posta »2 + k» + É2 = 0 , wiec jego pierwiastkami k k2 k2 k2 sa liczby - ± - É2 . Wida od razu, |e sa trzy przypadki: - É2 < 0 , - É2 = 0 i 2 4 4 4 k2 k - É2 > 0 . W dalszym cia gu dla wygody przyjmujemy º = 4 2 Zacznijmy od ostatniego z nich. Wspólczynnik tarcia jest w tym przypadku  du|y . Tarcie k2 powinno mie istotny wplyw na ruch. Dla uproszczenia oznaczamy ´2 = - É2 = º2 - É2 . 4 Rozwia zania sa postaci c1e(-º-´)t + c2e(-º+´)t . Obie liczby -º - ´ i -º + ´ sa ujemne. Wynika sta d od razu, |e c1e(-º-´)t + c2e(-º+´)t - ’! 0 , co wiecej funkcja ta jest od pewnego momentu --- t’!" monotoniczna, bo jej pochodna zeruje sie w co najwy|ej jednym punkcie. Oznacza to, |e wspólczynnik tarcia jest tak du|y, |e |adnych wahaD (drgaD) nie ma. Tarcie hamuje ruch tak skutecznie, |e  wahadlo da |y monotonicznie do swego dolnego polo|enia. Przypadek º2 - É2 = 0 ró|ni sie z punktu widzenia matematyka od poprzedniego, ale ta ró|nica nie ma wplywu na rezultat. Rozwia zanie jest teraz postaci c1e-ºt + c2te-ºt , bo równanie charakterystyczne ma jeden podwójny pierwiastek. Jest on ujemny, wiec podobnie jak w poprzednim przypadku mamy c1e-ºt+c2te-ºt - ’! 0 , je[li kto[ nie widzi tego od razu, mo|e poslu|y sie regula --- t’!" de l Hospitala. Pora na ostatni przypadek º2 - É2 < 0 . Zmienimy nieco oznaczenia: teraz -´2 = º2 - É2 , zatem równanie ma posta x (t) + 2ºx (t) + Éx(t) = 0 , a pierwiastkami jego równania charakterystycznego sa liczby -º ± ´i . Rozwia zania ogólne ma wiec posta c1e(-º-´i)t + c2e(-º+´i)t = e-ºt c1e-´it + c2e´it , º i ´ sa liczbami rzeczywistymi, zatem e-ºt - ’! 0 i e-´it = 1 = e´it . Wynika sta d, |e c1e-´it + c2e´it d" |c1| + |c2| i wobec tego --- t’!" c1e(-º-´i)t + c2e(-º+´i)t - ’! 0 . Wida wiec , |e równie| w tym przypadku wahania zanikaja , --- t’!" jednak jest istotna ró|nica. Zaló|my, |e rozwia zanie jest rzeczywiste, tzn. c1e-´it + c2e´it = c1e-´it + c2e´it = c1e´it + c2e-´it . Musi wie c by (c1 - c2)e-´it = (c1 - c2)e´it , czyli (c1 - c2) = (c1 - c2)e2´it . Poniewa| jedna strona (lewa) nie zale|y od t , wiec druga te| nie zale|y od zmiennej t . Wynika sta d, |e c1 - c2 = 0 , wiec równie| c2 = c1 . W tej sytuacji funkcja c1e-´it + c2e´it = c2e´it + c2e´it = 2Re(c2e´it) przyjmuje warto[ 0 w nieskoDczenie wielu punktach: jej warto[ci sa liczbami rzeczywistymi, zmiana argumentu o À powoduje zmiane znaku funkcji. Oznacza to, |e w tym przypadku wahadlo nieskoDczenie wiele 236 razy znajdzie sie w dolnym polo|eniu, mamy wie c do czynienia z wahaniami o maleja cej amplitudzie. To oczywisty i oczekiwany wynik tarcia. Tarcie trzeba przezwycie |y. Wymaga to zu|ycia energii, której strat nic nie równowa|y. Przyklad 8. Rozwa|ymy nieco ogólniejsza sytuacje. Zaló|my, |e na wahadlo dziala okresowo zewnetrzna sila. Równanie ma wie c np. posta x (t)+2ºx (t)+É2x(t) = c cos ½t , gdzie c, ½ " . Poniewa| u|ywamy liczb zespolonych, wiec wygodniej bedzie zaja  sie równaniem x (t) + 2ºx (t) + É2x(t) = ceiwt . Bez trudu mo|na przekona sie, |e cze[ rzeczywista znalezionego rozwia zania oka|e sie rozwia zaniem równania x (t) + 2ºx (t) + É2x(t) = c cos ½t . Poszukamy rozwia zania w postaci dei½t . Podstawiwszy te funkcje w miejsce x do równania otrzymujemy -d½2ei½t +2ºdi½ei½t +dÉ2ei½t = cei½t . Je[li liczba i½ nie jest pierwiastkiem równania c »2 + 2º» + É2 = 0 , to funkcja ei½t jest jednym z rozwia zaD równania ró|niczkowego, -w2+2ºi½+É2 czyli jest rozwia zaniem szczególnym. Rozwia zanie ogólne ma wobec tego posta c ei½t + e-ºt c1e´it + c2e-´it . É2-w2+2ºi½ Jest wiec ono ograniczone. Skladnik pochodza cy od równania jednorodnego da |y do 0 , ale skladnik pochodza cy od sily zewne trznej do 0 nie da |y. Rozwia zanie na ogól nie jest okresowe, nawet w przypadku º = 0 , czyli braku tarcia. Zwia zane jest to z tym, |e suma funkcji okresowych na ogól " nie jest okresowa. Studenci moga przekona sie bez trudu np. o tym, |e funkcja sin t + sin(t 2) nie jest okresowa, a tego rodzaju funkcje mo|na uzyska dobieraja c odpowiednio c1 , c2 , É i ½ . Mo|na tu zaobserwowa jeszcze jedno zjawisko. Ciekawe mo|e by zadanie sobie pytania: co sie dzieje, gdy ½ -’! É ? Sens fizyczny tego pytania jest oczywisty. Chodzi o to, co sie dzieje, gdy zewnetrzna sila ma okres prawie równy czesto[ci drgaD wlasnych wahadla. c Nale|y znalez granice lim ei½t + e-ºt c1e´it + c2e-´it . By ten problem mial É2-½2+2ºi½ ½’!É c sens nale|y ustali warunek pocza tkowy. Mo|na np. przyja , |e 0 = x(0) = + c1 + c2 É2-½2+2ºi½ c½i (startujemy z dolnego polo|enia) oraz 1 = x (0) = + c1(-º + ´i) + c2(-º - ´i) (pre dko[ É2-½2+2ºi½ pocza tkowa równa jest 1). Nie zakladamy wie c, |e mie dzy sila zewne trzna i pre dko[cia pocza tkowa jest jaka[ relacja. Liczby c1, c2 sa wiec powia zane równo[ciami: -c c1 + c2 = É2 - ½2 + 2ºi½ cwi (º - ´i)c1 + (º + ´i)c2 = - 1 É2 - ½2 + 2ºi½ Rozwia zujemy ten uklad równaD i otrzymujemy 237 1 c1 = ºc + ½2 - É2 i + (2º½ - c½ - c´) 2´(É2 - ½2 + 2ºi½) 1 c2 = -ºc - ½2 + É2 i + (-2º½ + c½ - c´) 2´(É2 - ½2 + 2ºi½) Mamy wiec c e-ºt x(t) = ei½t + ºc + ½2 - É2 i + (2º½ - c½ - c´) e´it + É2-½2+2ºi½ 2´(É2-½2+2ºi½) e-ºt + -ºc - ½2 + É2 i + (-2º½ + c½ - c´) e-´it . 2´(É2-½2+2ºi½) Je[li º = 0 , to w granicy przy ½ -’! É otrzymujemy: c e-ºt e-ºt x(t) = eiÉt + ºci + (2ºÉ - cÉ - c´) e´it + - ºci + (-2ºÉ + cÉ - c´) e-´it . 2ºiÉ 4ºÉ´i 4ºÉ´i Otrzymali[my zatem funkcje ograniczona nieokresowa , podobnie jak w poprzednio w dlugim okresie czasu tarcie nieomal likwiduje wplyw drgaD wlasnych wahadla. Ostatnia mo|liwo[ to brak tarcia, czyli º = 0 , ale sila zewne trzna jest obecna. Poniewa| º = 0 , wiec ´ = ±É . Mo|emy przyja  ´ = É . Wtedy x(t) = c 1 1 = ei½t + ½2 - É2 i-(cw +c´) e´it + -½2 + É2 i+(cw -c´) e-´it = É2-½2 2´(-½2+É2) 2´(-½2+É2) 2Éewit-(w+É)eÉit i i c = e-Éit - eÉit - e-Éit + c = 2É 2É 2É(É+w) 2É(É2-½2) 2É ewit-eÉit +(É-w)eÉit i i c = e-Éit - eÉit - e-Éit + c - ’! --- 2É 2É 2É(É+w) 2É(É2-½2) w’!É eÉit-e-Éit c cti c cti -’! - eÉit - eÉit + eÉit = sin(Ét) - eÉit . 2Éi 4É2 2É 4É2 2É Tym razem otrzymali[my funkcje nieograniczona . Oznacza to, |e je[li sila zewnetrzna bedzie dziala na wahadlo z okresem bliskim cze sto[ci wlasnej, to wahanie be da mie coraz wie ksza amplitude , w granicy ruch jest nieograniczony (wahadlo mo|e obraca sie wokól punktu umocowania). Ob- serwujemy tu rezonans. Omówili[my ten przyklad, by podkre[li zwia zek równaD ró|niczkowych z mechanika klasyczna . Zadanka 1. Rozwia za równania a. x - 2x - 3x = e4t ; b. x - 2x = 2et - t2 ; c. x - 5x + 4x = 4t2e2t ; d. x - 6x + 9x = t2e3t ; e. x - 5x + 4x = 4t2et ; f. x + 2x - 3x = t2et ; g. x + x = 4t sin t ; h. x - 2x + x = 0 , x(2) = 1 , x (2) = -2 ; i. x + x = 4tet , x(0) = 4 , x (0) = -3 ; i. x + 2x + 2x = te-t , x(0) = 0 , x (0) = 0 ; 238 2. Znalez rozwia zanie ogólne równania: 1æ% x - 6x + 4x = 0 ; 2æ% x - 8x + 16x = 0 ; 3æ% x - 6x + 4 = 0 ; 4æ% x - 6x + 13x = 0 ; 5æ% x(3) - 6x + 11x - 6x = 0 ; 6æ% x(3) - x = 0 ; 7æ% x(4) - 6x + 4x = 0 ; 8æ% x(4) - 2x + x = 0 ; 9æ% x(4) - 4x(3) + 6x - 4x + x = 0 ; 10æ% x(4) - 2x(3) + 2x - 2x + x = 0 ; 11æ% x(4) - 6x + 4x = 0 ; 3. Rozwia za równanie et 1 1æ% x - 2x + x = 2æ% x + 3x + 2x = t et+1 1 3æ% x + x = 4æ% x + 4x = 2 tg t sin t " 1 5æ% x + 2x + x = 3e-t 1 + t 6æ% x + x = cos3 t 7æ% x - 2x + x = et 8æ% x + 3x + 2x = tet + t2e-t + e3t 9æ% x + x = sin t + t cos 2t 10æ% x + 4x = cos 2t + e-4t 11æ% x + 2x + x = 3t2e-t 12æ% x + x = sin t + t sin 2t + t2 cos t . 13æ% x(4) - 4x(3) + 16x - 16x = te-2t . 14æ% x(4) + 4x(3) + 8x + 8x + 4x = e-t cos t . 15æ% x(6) + 12x(4) + 48x + 64x = 2 cos2 t . 16æ% x(6) - 12x(4) + 48x - 64x = 2 sin2 t . 239

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
algebra kolokwium (liczby zespolone)
Algebra1p Ciała, Liczby zespolone
Liczby zespolone
CPP Liczby zespolone i obwod trojkata
liczby zespolone moodle
Liczby Zespolone html
Trygonometria i liczby zespolone teoria
010 Liczby zespolone
liczby zespolone

więcej podobnych podstron