plik


ÿþCigiem nieskoDczonym nazywamy funkcj f, która odwzorowuje zbiór N na pewien niepusty zbiór Y. Cig zbie|ny jest ograniczony. Cig zbie|ny jest to taki cig, który posiada granic skoDczon. Cig rozbie|ny nie posiada granicy lub granica istnieje, ale jest niewBa[ciwa (±"). Je|eli cig jest ograniczony to istnieje taka liczba, |e wszystkie wyrazy s wiksze od niej i druga liczba, |e wszystkie s mniejsze. Tw o 3 cigach. Je|eli lim (n’!") an = lim (n’!") cn = g , a ponadto istnieje taka liczba n0, |e dla ka|dego n>n0 speBniona jest nierówno[ and"bnd"cn to lim (n’!")bn=g. O zachowaniu nierówno[ci staBej.Je|eli lim (n’!") an=a i lim (n’!") bn=b oraz istnieje taka liczba n0 , |e dla ka|dego n>n0 speBniona jest nierówno[ and"bn , to ad"b. Cig monotoniczny jest zbie|ny. Tw (o dziaBaniach arytmetycz na granicach cigów zbie|nych): je|eli lim(n’!") an=a ; lim(n’!") bn=b, to: a) lim(n’!") (an + bn) = a + b b) lim(n’!") (an - bn) = a - b c) lim(n’!") (an * bn) = a * b d) lim(n’!") an / bn = a / b PRZESTRZEC METRYCZNA Przestrzeni metryczn Xd nazywamy ka|dy zbiór X, któremu przyporzdkowano funkcj d:X×X’!R+*"{0} speBniaj nastpujce warunki: 10 dla ka|dego x, y"X d(<x; y>)=0 Ô! x = y (to|samo[ci) 20 dla ka|dego x , y"X d(<x ; y>)=d(<y ; x>) (symetrii) 30 dla ka|dego x, y"X d(<x ; y>)d"d(<x; z>)+d(<z ; y>) (nierówno[ trójkta) GRANICE Def: Zbiór Q ( x0 ; r ) = {x"X : abs(x0 - x) < r } nazywamy otoczeniem punktu x0 liczb r natomiast promieniem otoczenia. W przestrzeni jednowymiarowej otoczeniem punktu jest przedziaB o dBugo[ci 2r. Def: Zbiór S (x0 ; r ) = Q (x0 ; r ) - {xo} nazywamy ssiedzTwem punktu. W przestrzeni jednowymiarowej ssiedzTwo jest to przedziaB S (x0 ; r ) = (x0 - r ; x0) *" (x0 ; x + r ). Def: Punkt x0"X nazywamy punktem skupienia zbioru A‚"X wtedy i tylko wtedy, gdy dla do ka|dego otoczenia Q (x0 ; r) nale|y co najmniej jeden ró|ny od x0 punkt x"A. Tw. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A‚"Xd wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje cig (Xn) o wyrazach nale|cych do zbioru A-{x0}i taki, |e lim(n’!") xn=x0. Def (Heinego): Mówimy, |e funkcja f ma w punkcie x0 granic g ( co zapisujemy lim(x’!x0)f(x)=g) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dego cigu (xn) o wyrazach ze zbioru Df - {x0} i zbie|nego do punktu x0 cig (f (xn)) jest zbie|ny do punktu g. Def (Cauchy ego): Mówimy, |e funkcja f ma w punkcie x0 granic g wtedy i tylko wtedy gdy dla ka|dego µ>0 istnieje takie r>0, |e dla ka|dego x"Df 0<abs(x - x0)<r Ò! abs(f(x) - g)< µ. Def: Punkt x0 przestrzeni X nazywamy punktem izolowanym zbioru A‚"X wtedy i tylko wtedy, gdy x0"A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbior A. LICZBY ZESPOLONE Niech a,b,c,d,... bd elementami ciaBa R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; bdzie nim uporzdkowana para liczb rzeczywistych speBniajca pewne definicje i nazywana liczb zespolon. Def. Liczbami zespolonymi nazywamy uporzdkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których okre[lamy równo[, dodawanie i mno|enie w sposób nastpujcy: (a,b) = (c,d) a = c '" b = d (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciaBem przemiennym wzgldem dodawania i mno|enia. Def. Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy dziaBanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania l. Zespolonych nazywamy ró|nic l. Zespolonych. Def. Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy dziaBanie odwrotne do mno|enia. Wynik dzielenia nazywamy ilorazem. Liczba (x,y) jest wic ilorazem liczby zespolonej (a,b) i liczby zespolonej (c,d), co oznaczamy (a,b): (c,d), gdy (x,y)(c,d) = (a,b). Z def. Mno¿enia i równoSci l. Zespolonych wynika, ¿e wtedy cx-dy=a i dx-cy=b. Def. ModuBem liczby z = a +jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywist liczb nieujemn, bdc pierwiastkiem sumy kwadratów cz[ci rzeczywistej i cz[ci urojonej tej liczby: |z| = "a2+b2 . Tw. Liczba zespolona jest wtedy i tylko wtedy zerem, gdy jej moduB jest równy zeru: (z=0) (|Z| = 0). Def. Liczb sprze|on z liczb z = a+jb, któr bdziemy oznacza przez (z-), nazywamy liczbami sprz|onymi. Def. Potg stopnia naturalnego n liczby z, oznaczan przez zn, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie. Trygonometryczna interpretacja l. zespolonych i jej pierwiastkowanie Def. Argumentem liczby z =x+jy `"0, oznaczanym przez Argz, nazywamy ka|d liczb rzeczywist ¦, speBniajc dwa warunki: cos¦=x/|z|, sin¦=y/|z|, gdzie |z|="x2+y2>0 jest moduBem liczby z. n Def. Liczb Z nazywamy pierwiastkiem naturalnego stopnia n z liczby z0, je|eli: Zn=z0. Pierwistek ten oznaczamy przez "z0; w przypadku n = 2 piszemy "z0. Nazywamy go tak|e pierwiastkiem algebraicznym. Je|eli z0=0, t n "0 = 0, Je|eli z0=r0(cos¦0+jsin¦0) `" 0, przy czym ¦0=argz0, to liczba Z = R(cos¦ +j sin¦) jest pierwiastkiem stopnia n z z0 wtedy i tylko n n wtedy, gdy Rn=r0 oraz n¦ = ¦0+2kÀ, gdzie k jest l. caBkowit. Std R = "r0 oraz ¦k=¦0/n + 2Àk/n, k=0,1,2..., przy czym przez "r0 oznaczyli[my pierwiastek arytmetyczny z liczby r0. Def (Wzór Eulera). Potg ex o podstawie w i wykBadniku z = x +jy, nale|cym do ciaBa liczb zespolonych , okre[lamy w sposób nastpujcy: ejy :=cosy+jsiny, ex:=exejy CIGAOZ FUNKCJI Niech f oznacza funkcj liczbow i niech x0"Df Def (Heinego cigBo[ci funkcji): Mówimy, |e funkcja jest cigBa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy dla ka|dego cigu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbie|nego do punktu x0 cig (f(xn)) jest zbie|ny do punktu f(x0). Def (Cauchy ego): Mówimy, |e funkcja f jest cigBa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dego µ>0 istnieje takie r>0, |e dla ka|dego x"Df abs(x - x0)<r Ò! abs( f(xn)-f(x0))< µ. Tw. Funkcja f jest cigBa w punkcie x0 bdcym punktem skupienia dziedziny Df wtedy i tylko wtedy, gdy lim(x’!x0) f(x) = f(x0). Def: Mówimy, |e funkcja f jest cigBa wtedy i tylko wtedy, gdy jest cigBa w ka|dym punkcie swej dziedziny. WAASNOZCI FUNKCJI CIGAYCH Tw. 1 (O cigBo[ci funkcji odwrotnej): Je[li funkcja f jest cigBa i rosnca (malejca) na przedziale A‚"R, to f(A) jest przedziaBem oraz funkcja f-1 jest cigBa i rosnca (malejca) na przedziale f(A). Tw. 2 (O cigBo[ci funkcji zBo|onej): Je|eli funkcja wewntrzna f jest cigBa w punkcie x0 i funkcja zewntrzna h jest cigBa w punkcie u0 = f(x0) to funkcja zBo|ona h(f(x)) jest cigBa w punkcie x0. Tw. 3 (O wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji cigBej): Je|eli istnieje granica wBa[ciwa lim(x’!x0) f(x) = g i funkcja h jest cigBa w punkcie u0 = g to lim(x’!x0) h[f(x)] = h[lim(x’!x0) f(x)] = h(g). Tw. 4 (O lokalnym zachowaniu znaku): Je|eli funkcja f jest cigBa w punkcie x0 oraz f(x0)>0 albo f(x0)<0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x0, |e dla ka|dego x"Q)"Df speBniona jest nierówno[: f(x)>0 albo f(x)<0. Tw. 5 (Weierstrassa): Je|eli funkcja f jest cigBa na przedziale domknitym <a ; b> to 1o f jest ograniczona na przedziale <a ; b>, 2o istniej takie liczby c1 i c2 , |e: f(c1)=Inf (x"<a ; b>) f(x) oraz f(c2) =Sup(x"<a ; b>) f(x). Tw. 6 (Darboux): Je|eli funkcja f jest cigBa na przedziale domknitym <a ; b> f(a)`" f(b) oraz liczba g jest zawarta midzy f(a) i f(b) to istnieje taki punkt c" (a ; b), |e f(c ) = g . POCHODNA FUNKCJI Def: Iloraz ró|nicowy funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu "x zmiennej niezale|nej jest to stosunek [f(x0 + "x) - f(x0)]/" x. Def: Granic wBa[ciw ilorazu ró|nicowego gdy "x’!0 nazywamy pochodn funkcji i oznaczamy symbolem f  (x0), f  (x0) = lim("x’!0) [f(x0 + "x) - f(x0)]/ " x. Def: Granic lewostronn funkcji f w punkcie x0 nazywamy f  (x0-) = lim("x’!0-) [f(x0+"x)-f(x0)]/" x. Def: Granic prawostronn funkcji f w punkcie x0 nazywamy f (x0+) = lim("x’!0+) [f(x0 +" x) - f(x0)]/ " x. Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Je[li funkcja x=g(y) jest [ci[le monotoniczna i posiada funkcj pochodn g (y) `" 0 to funkcja y = f(x) odwrotna do niej posiada funkcj pochodn, przy czym f  (x)= 1/ g (y) ; gdzie y= f(x) dla ka|dego x"Df. Tw. (O pochodnej funkcji zBo|onej): Je|eli funkcja h ma pochodn w punkcie x, a funkcja f ma pochodn w punkcie u= h(x) to funkcja zBo|ona f(h(x)) ma w punkcie x pochodn [f(h(x)] = f  [h(x)]*h (x). Def: Pochodn logarytmiczn funkcji f nazywamy pochodn jej logarytmu naturalnego [ln f(x)] = f  (x)/f(x). Tw. (O pochodnej funkcji okre[lonej parametrycznie): Je|eli funkcja y=g(x) jest okre[lona parametrycznie: x=f(t); y=h(t),dla t"(a,b). przy czym istniej pochodne dy/dt i dx/dt`"0 to istniej takie pochodne dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt). Def: Ró¿niczk¹ funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu "x zmiennej niezale¿nej x nazywamy iloczyn f  (x0)*("x). Ró¿niczkê oznaczmy symbolem df(x0) lub krótko df lub dy. Definicja przyrostu funkcji: f (x0+"x) - f (x0) H" f  (x0)*"x Def: Pochodn¹ n-tego rzêdu funkcji f w punkcie x okreSlamy nastêpuj¹co: f ( n) (x)= [f ( n-1)](x) ; n=1,2,...przy czym [f ( 0) ] (x)=f  (x). Def: Je¿eli funkcja f ma pochodn¹ rzêdu (n - 1) na otoczeniu punktu x0 oraz pochodn¹ rzêdu n w tym samym punkcie x0, to dnf(x0) = (d[d n. -1f(x)])x = x0 n.= 2,3... przy czym w ka¿dym ró¿niczkowaniu ten sam przyrost dx. St¹d pomijaj¹c proste rozumowanie indukcyjne mamy dnf(x0) = f ( n) (x0)dx n. Symbol dx n oznacza tu (dx) n. Tw. (Rolle a): Je¿eli funkcja f jest ci¹g³a na przedziale <a;b> i ró¿niczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c"(a;b), ¿e f  (c)=0. Tw. (O przyrostach, Lagrange a): Je¿eli funkcja f jest ci¹g³a na przedziale domkniêtym o koñcach x0 i x oraz ma pierwsz¹ pochodn¹ wewn¹trz tego przedzia³u, to istnieje taki punkt, le¿¹cy miêdzy x0 i x, ¿e f (x) - f (x0)=f  (c) (x -x0). Wnioski: 1) je¿eli dla ka¿dego x"<a;b> f  (x)=0 to dla ka¿dego x"<a;b> f(x) - f(x0)=0(x - x0)Ò! f(x)=f(x0). Je¿eli f (x0)=0 w ka¿dym punkcie przedzia³u (a;b), to funkcja f jest na tym przedziale sta³a. 2) je¿eli dla ka¿dego x" (a;b) f  (x)>0 to: a) x<x0 f(x) - f(x0)=f  (x)(x - x0)<0; f(x) - f(x0)<0Ò!f(x)<f(x0) b) x0<x f(x) - f(x0)=f(x0)(x - x0)>0 Ò! f(x)>f(x0). Je|eli f  (x)>0 w ka|dym punkcie przedziaBu (a;b), to funkcja f jest na tym przedziale rosnca 3) Je|eli f  (x)<0 w ka|dym punkcie przedziaBu (a;b), to funkcja f jest na tym przedziale malejca. Tw. (Taylora): Je|eli funkcja f ma cigBe pochodne do rzdu n-1 wBcznie na przedziale domknitym o koDcach x0 i x oraz ma pochodn rzdu n wewntrz tego przedziaBu, to istnieje taki punkt c, le|cy midzy x0 i x, |e f(x) - f(x0) = K=1£n-1 [(f K(x0))/k!]*(x -x0)K+[(f( n)(c))/n!]*(x- x0)n przy zaBo|eniu, |e dla n=1 pierwszy skBadnik po prawej stronie wzoru jest równy zeru. WZÓR MACLAURINA: We wzorze Taylora kBadc x0=0 otrzymamy K=0£n-1[(f (K) (0)) /k!]*xK +R n , gdzie Rn=[f (n) C/n!]* x n. Punkt c jest poBo|ony midzy 0 i x. EKSTREMUM FUNKCJI Niech Df zawiera pewne otoczenie Q punktu x0 . Def: Mówimy, |e funkcja f ma w punkcie x0 maksimum [minimum] lokalne, je|eli istnieje taka liczba dodatnia r, |e dla ka|dego x"S(x0;r) speBniona jest odpowiednia nierówno[: f(x)d"f(x0) [f(x)e"f(x0)]. Je|eli zamiast powy|szych nierówno[ci sBabych speBnione s odpowiednio nierówno[ci mocne f(x)<f(x0) albo f(x)>f(x0) to maksimum (minimum) lokalne nazywamy wBa[ciwym. Tw. (Fermata): Je|eli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwsz pochodn to f  (x0)=0. Warunek konieczny istnienia ekstremum: Funkcja f mo|e mie ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie istnieje bdz jest równa 0. Pierwszy warunek wystarczajcy ekstremum: Je|eli funkcja f jest cigBa w punkcie x0 , a ponadto posiada pochodn f na pewnym ssiedzTwie S(x0;r) przy czym f (x)<0 dla S(x0-;r) i f (x)>0 dla S(x0+ ;r) to funkcja f ma w punkcie x0 minimum wBa[ciwe, je|eli natomiast speBniony jest warunek f  (x)>0 dla S(x0- ;r) i f  (x)<0 dla S(x0+ ;r) to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum wBa[ciwe. Drugi warunek wystarczajcy ekstremum: Je|eli funkcja f ma na pewnym otoczeniu Q(x0;r) pochodn do rzdu n wBcznie, pochodna f( n) jest cigBa w punkcie x0, n jest liczb parzyst, a ponadto f ( k) (x0)=0 dla k=1,2,...,(n -1) oraz f( n) (x0)`" 0 to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum, gdy f( n) (x0)<0, natomiast minimum wBa[ciwe, gdy f( n) (x0)>0. WYPUKAOZ I WKLSAOZ WYKRESU FUNKCJI, PUNKTY PRZEGICIA Def: Mówimy, |e krzywa y=f(x) jest wypukBa (wklsBa) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r1>0, |e cz[ wykresu odpowiadajca x"S(x0 ; r1) znajduje si nad (pod) styczn do tej krzywej w punkcie (x0 ; f(x0)). Tw. Je|eli funkcja f ma pierwsz pochodn na otoczeniu Q(x0;r) oraz istnieje f  (x0)`"0 to krzywa y= f(x) jest wypukBa w punkcie x0 gdy f   (x0)>0, natomiast jest wklsBa w punkcie x0 gdy f   (x0)<0. Def: Mówimy, |e krzywa y=f(x) jest wypukBa (wklsBa) na przedziale oTwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukBa (wklsBa) w ka|dym punkcie tego przedziaBu. Wniosek: Je|eli f   (x)>0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wypukBa na (a;b), je[li natomiast f   (x)<0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wklsBa na (a;b). Def: Punkt P0(x0;f(x0)) nazywamy punktem przegicia krzywej y= f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy: 1) istnieje styczna do krzywej y= f(x) w punkcie P0. 2) krzywa y= f(x) jest wypukBa na pewnym lewostronnym ssiedzTwie punktu x0 i jest wklsBa na pewnym prawostronnym ssiedzTwie tego punktu albo na odwrót . Tw. Je|eli funkcja f jest dwukrotnie ró|niczkowalna w pewnym otoczeniu Q(x0;r) i speBnia dwa warunki : 1) druga pochodna w punkcie x0 jest równa zeru : f   (x0)=0, 2) druga pochodna zmienia znak w punkcie x0 . to punkt P0 (x0;f(x0)) jest punktem przegicia wykresu funkcji f . REGUAY DE L HOSPITALA Tw. Je|eli funkcje f i g ró|niczkowalne na ssiedzTwie punktu x0 speBniaj dwa nastpujce warunki: 1) obie d| do zera przy x’!x0 tzn. lim(x’!x0) f(x)=0 i lim(x’!x0) g(x)=0 2) istnieje granica g (wBa[ciwa lub niewBa[ciwa) ilorazu pierwszych pochodnych przy x’!x0 czyli lim(x’!x0)(f (x)/g (x))=g to istnieje granica ilorazu tych funkcji i równa si g czyli: lim(x’!x0) f (x) / g (x)=g. Tw. Je|eli funkcje f i g ró|niczkowalne na ssiedzTwie punktu x0 speBniaj dwa nastpujce warunki: 1) lim(x’!x0)f(x)=±" ,lim(x’!x0)f(x)=± " 2) istnieje granica (wBa[ciwa lub niewBa[ciwa) lim(x’!x0) f  (x) / g  (x) =g to istnieje granica lim(x’!x0)f(x) / g(x)=g. ASYMPTOTY Mówimy, |e prosta o równaniu x=x0 jest asymptot pionow krzywej o równaniu y=f(x) je|eli cho jedna granica jednostronna funkcji f w punkcie x0 jest niewBa[ciwa czyli gdy lim(x’!x0-) f(x)=± " lub lim(x’!x0+) f(x)=±". Mówimy, |e prosta o równaniu y=mx+n jest asymptot uko[n krzywej o równaniu y= f(x) gdy wspóBczynniki m i n s tak dobrane, |e lim(x’!")[f(x)-(mx+n)] =0 lub lim(x’!-")[f (x) - (mx+n)]=0 . Tw. Je|eli istniej jednocze[nie granice skoDczone lim (x’!-") f (x) / x = m )" lim(x’!-")[f(x)-mx]=n lub lim(x’!")f(x)/ x=m )" lim(x’!")[f (x)-mx]=n, to prosta o równaniu y= mx+n jest asymptot linii o równaniu y= f(x). SCHEMAT BADANIA FUNKCJI 1) Analiza funkcji a) okre[lenie dziedziny funkcji oraz sprawdzenie czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa b) znalezienie granic na koDcach dziedziny i wyznaczenie asymptot. 2) Analiza pierwszej pochodnej a) okre[lenie dziedziny pierwszej pochodnej i punktów stacjonarnych [ f  (x)=0] b) wyznaczenie przedziaBów monotoniczno[ci funkcji oraz ekstremów 3) Analiza drugiej pochodnej a) znalezienie dziedziny drugiej pochodnej i jej miejsc zerowych b) okre[lenie przedziaBów, w których funkcja jest wklsBa lub wypukBa oraz punktów przegicia wykresu funkcji 4) Sporzdzenie tabeli zmienno[ci funkcji 5) Wykonanie wykresu funkcji. RACHUNEK CAAKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Def: Funkcj pierwotn danej funkcji na przedziale X nazywamy ka|d ró|niczkowaln funkcj F, której pochodna F jest równa funkcji f na tym przedziale, tj. dla ka|dego x"X F (x)=f (x). Funkcj F majc w pewnym przedziale funkcj pierwotn nazywamy caBkowaln w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie funkcji pierwotnych danej funkcji f nazywamy caBkowaniem funkcji f. CaBkowanie to znajdowanie f.pierwotnej. PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwizanie 2) Ile ma rozwizaD 3) Jak je wyznaczy Tw. 1.1. (Warunek wystarczajcy caBkowalno[ci funkcji): Ka|da funkcja cigBa na przedziale X ma na tym przedziale funkcj pierwotn. Tw. 1.2. (O istnieniu nieskoDczenie wielu funkcji pierwotnych danej funkcji): Je[li F jest dowoln ustalon funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X to wszystkie funkcje postaci F(x)+C, gdzie C jest staB dowoln s równie| funkcjami pierwotnymi funkcji f na tym przedziale. Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji): Je[li F jest dowoln, ustalon funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X to ka|da inna funkcja pierwotna G funkcji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiedni do funkcji F i G dobran staB. Def: Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale X i tylko takich funkcji nazywamy caBk nieoznaczon funkcji f na przedziale X i oznaczamy symbolem +"f (x) dx. Z definicji caBki nieoznaczonej i TwierdzeD o funkcjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór +"f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowoln ustalon funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X, C jest staB dowoln, zwan tu staB caBkowania. METODY CAAKOWANIA Tw 2.1 (O pochodnej caBki): Pochodna caBki nieoznaczonej jest równa funkcji podcaBkowej: [+"f(x)dx] =f(x); +"f(x)dx=F(x)+C, F (x)=f(x); [+"f(x)dx] =(F(x)+C) =F (x)+f(x). Tw 2.2 (CaBka pochodnej): CaBka nieoznaczona pochodnej funkcji jest sum tej funcji i staBej dowolnej f (x)dx=f(x)+C Tw 2.3 (O caBce sumy): Je|eli funcje f i g s caBkowalne na pewnym wspólnym przedziale, to ich suma jest równie| caBkowalna na tym przedziale i przy tym +"[f(x)+g(x)]dx= +"f(x)dx+ +"g(x)dx. Tw 2.4 (O wyBczeniu czynnika staBego): Je|eli f jest funkcj caBkowaln na pewnym przedziale, k jest staB, to funkcja k * f jest równie| caBkowaln na tym przedziale, przy tym, gdy k`"0, speBniona jest równo[ +"k * f(x)dx= k * +"f(x)dx. METODY CAAKOWANIA 1) Metoda to|samo[ciowego przeksztaBcenia funkcji podcaBkowej 2) Metoda zmiany zmiennej 3) Metoda caBkowania przez cz[ci 4) Metoda rekurencyjna DW 2.5 Je|eli speBnione s nastpujce warunki 1) funkcja f jest cigBa na przedziale a<x<b 2) funkcja g ma cigB pochodn na przedziale ±<t<² 3) warto[ci funkcji g(t) le| w przedziale (a;b) , to sBuszny jest wzór +"f(g(t)) g (t)dt= +"f(x)dx dla g(t)=x. Tw 2.6 Je|eli speBnione s nastpujce warunki 1) funkcja jest cigBa na przedziale a<x<b 2) funkcja g ma cigB pochodn na przedziale ±<t<² oraz ró|niczkowaln funkcj odwrotn t=¨ (x) 3) warto[ci funkcji g(t) le| w przedziale (a;b) to sBuszny jest wzór +"f(x)dx= +"f(g(x)) g (t)dt dla t=¨ (x). AD 3: Tw 2.7 (O caBkowaniu przez cz[ci): Je|eli funkcje u i v s klasy C1 na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór +"u(x)*v (x)dx = u(x)*v(x) -+"u (x)*v(x)dx , który nazywamy wzorem na caBkowanie przez cz[ci. AD 4: Wzór rekurencyjny In=+"xn ex dx = xnex - nI n - 1 . CAAKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Funkcj wymiern jednej zmiennej nazywamy iloraz wielomianów tej zmiennej. Funkcja wymierna, której stopieD wielomianu licznika jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika nazywa si funkcj wymiern wBa[ciw. n 2 n UBamki proste, s to funkcje wymierne wBa[ciwe postaci: 1. A/(ax+b) 2. A/(ax+b) 3. (Bx+c) / (ax +bx+c) 4. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) gdzie a`"0, "= b2 - 4ac, n=2,3,4... ,a,b,c,A,B,C s liczbami rzeczywistymi. CAAKOWANIE NIEKTÓRYCH FUNKCJI WYMIERNYCH Funkcja P.(u1, u2, ..., u n ) zmiennych u1, u2 ... nazywa si funkcj wymiern tych zmiennych, je|eli we wzorze okre[lajcym t funkcj na zmiennych u1, u2 ... wykonane s skoDczon liczb razy tylko dziaBania wymierne (dodawanie, odejmowanie, mno|enie, dzielenie, potgowanie o wykBadniku naturalnym). Je[li z kolei zmienne u1, u2 ... s funkcjami jednej zmiennej x : u1=g1(x), u2=g2(x) ... to funkcj zmiennej x postaci P.(g1(x), g2 (x) ...) bdziemy nazywa wymiern wzgldem funkcji g1(x), g2 (x) ... g m.(x). CAAKI OZNACZONE Suma caBkowa Riemanna funkcji f na przedziale <a;b> ´n = i=1£K f (xi)*" xi Def: Je|eli wszystkie cigi (´n) sum caBkowych funkcji f na przedziale <a;b> odpowiadajce wszystkim mo|liwym cigom normalnym podziaBów tego przedziaBu i wszystkim mo|liwym sposobom wyboru punktów po[rednich x i ( n) w przedziaBach cz[ciowych tych podziaBów, s zbie|ne i to do tej samej granicy wBa[ciwej, to t granic nazywamy CAAK OZNACZON w sensie Riemanna funkcji f w granicach od a do b i oznaczamy symbolem a+"bf(x)dx. Funkcj f, dla której istnieje caBka oznaczona nazywamy caBkowaln (w sensie Riemanna) na przedziale <a;b>. Tw 6.1 (O ograniczono[ci funkcji podcaBkowej): Funkcja podcaBkowa na przedziale domknitym jest ograniczona na tym przedziale. Tw 6.2 (O caBkowaniu funkcji cigBej): Funkcja cigBa na przedziale domknitym jest caBkowalna na tym przedziale. Tw 6.3 Funkcja ograniczona na przedziale domknitym i majca w nim skoDczon liczb punktów niecigBo[ci jest caBkowalna na tym przedziale. W interpretacji geometrycznej caBka oznaczona jest to pole powierzchni trapezu krzywoliniowego. WAASNOZCI CAAKI OZNACZONEJ I JEJ OBLICZANIE Tw 7.1 (Newtona - Leibniza): Je|eli " jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f cigBej na przedziale <a;b>, to a +"b f(x)dx=" (b) -" (a) WBasno[ci caBki oznaczonej: 1) Warto[ caBki oznaczonej nie zale|y od oznaczenia zmiennej caBkowania 2) Funkcja caBkowalna na pewnym przedziale domknitym jest tak|e caBkowalna na ka|dym podprzedziale tego przedziaBu. 3) Je|eli funkcje f i g s caBkowalne na przedziale <a;b>, to równie| funkcja (f+g) jest caBkowalna na tym przedziale oraz +"b[f(x)+g(x)]dx= a+"b f(x)dx+ a+"b g(x)dx. 4) Je|eli funkcja f jest caBkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const równie| funkcja A*f jest caBkowalna na tym przedziale i a+"b a Af(x)dx= A a+"b f(x)dx. 5) Je|eli funkcje f i g s caBkowalne na przedziale <a;b>, to równie| iloczyn jest funkcj caBkowaln na tym przedziale. 6) Zmiana warto[ci funkcji w skoDczonej liczbie punktów przedziaBu nie wpBywa ani na caBkowalno[ tej funkcji w tym przedziale ani na warto[ caBki, je[li funkcja ta jest caBkowalna. 7) Je|eli a,b,c s dowolnymi punktami pewnego przedziaBu, na którym funkcja f jest caBkowalna, to +"c f(x)dx +c+"b f(x)dx= a+"b f(x)dx 8) Niech f i g bd funkcjami a caBkowalnymi na przedziale <a;b>, wówczas f(x)d"g(x); dla x"<a,b>Ò!a+"bf(x)dxd"a+"bg(x)dx 9) Niech f bdzie funkcj na przedziale <a;b>, wówczas:md"f(x)d"M dla x"<a,b>Ò!m.(b-a)d"a+"bf(x)dxd"M.(b -a). Tw 7.2 (O caBkowaniu przez podstawienie dla caBki oznaczonej): Je|eli: 1) funkcja g(t) jest cigBa na przedziale <±,²> 2) funkcja t= h(x) jest klasy C1 <a;b> 3) zbiorem warto[ci funkcji t= h(x) jest przedziaB <±,²>, i przy tym ±=h(a) i ²=h(b) to prawdziwy jest nastpujcy wzór na caBkowanie przez podstawienie dla caBki oznaczonej a+"bg[h(x)]h (x)dx= ±+"² g(t)dt. Tw 7.3 (O caBkowaniu przez cz[ci dla caBki oznaczonej): Je|eli funkcje U i V s klasy C1<a;b> to a+"b U(x)*V (x)dx= U(x)*V(x) æøab - a+"b U (x)*V(x)dx. ZASTOSOWANIE GEOMETRYCZNE CAAKI OZNACZONEJ Tw 8.1 Je|eli cigBe na przedziale <a;b> funkcje f1 i f2 speBniaj na tym przedziale nierówno[ f1(x)d" f2(x) to pole æøDæø figury D ograniczonej wykresami tych funkcji i prostymi x= a i x= b wyra|a si wzorem æøDæø = a+"b [f2(x) - f1(x)]dx. Tw 8.2 Je[li krzywa l jest okre[lona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t"<±,².> gdzie y(t) jest funkcj cigB na przedziale <±,²> a x(t) jest monotoniczn funkcj klasy c1 <±,²>, to pole æøDæø trapezu krzywoliniowego D ograniczonego t lini, osi ox oraz prostymi x= a, x= b gdzie x(±)=a, x(²)=b, dane jest caBk æøDæø =±+"²æøy(t)*x (t)æø dt. Tw 8.3 Auk AB okre[lony równaniem jawnym y= f(x) ad"xd"b, gdzie f jest funkcj klasy C1<a;b> ma dBugo[ l wyra|ajc si wzorem l= a+"b "(1+f  2(x)) dx. Tw 8.4 Je|eli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t"<±,²> jest Bukiem zwykBym oraz funkcje x(t), y(t) s klasy C1<±,²> to jej dBugo[ l wyra|a si caBk l= ±+"² "( x  2(t)+y  2(t))dt Tw 8.5 Objto[ æøVæø bryBy V powstaBej w wyniku obrotu dookoBa osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadajcego cigBej na przedziale <a;b> funkcji f, wyra|a si caBk æøVæø =" a+"b f 2 (x)dx. Tw 8.6 Je|eli równanie Buku AB dane jest w postaci parametrycznej x= x(t), y= y(t), t"<±,²> oraz funkcje x= x(t) i y= y(t) s klasy C1<±,²>,funkcja x(t) jest [ci[le monotoniczna i y(t) nieujemna, to objto[ bryBy obrotowej powstaBej w wyniku obrotu dookoBa osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem æøVæø =" ±+"² y 2 (t)*x (t)dt. Tw 8.7 Pole æøSæø powierzchni obrotowej S powstaBej w wyniku obrotu dookoBa osi ox krzywej y= f(x) ad"xd"b, gdzie f jest funkcj klasy C1<a;b> wyra|a si caBk æøSæø=2" a+"b æøf(x)æø"(1+f  2(x) dx. CAAKI NIEWAAZCIWE PRZEDZIAA NIEOGRANICZONY Def: Niech funkcja f jest caBkowalna na ka|dym przedziale <a;b>, gdzie a<b<+" i okre[lona na przedziale <a;+"). Je|eli istnieje granica lim(b’!+") a+"b f(x)dx to nazywamy j caBk niewBa[ciw funkcji f na przedziale nieskoDczonym <a;+") i oznaczamy a+""f(x)dx= lim(b’!") a+"b f(x)dx FUNKCJA NIEOGRANICZONA Def: Je|eli funkcja f jest okre[lona na przedziale <a;b> oraz caBkowalna na ka|dym przedziale <a;b-µ> i nieograniczona na ka|dym przedziale <b-µ;b), a ponadto je|eli istnieje granica lim(µ’!0+) a+"b-µ f(x)dx to nazywamy j caBk niewBa[ciw funkcji f nieograniczonej na <a;b> i oznaczamy +"b f(x)dx= lim(µ’!0+) a+"b-µf(x)dx. a SZEREGI Niech (an) bdzie dowolnym cigiem liczb rzeczywistych. Cig (Sn) sum Sn = £ od k=1 do n ak nazywa bdziemy szeregiem liczbowym . Liczb an nazywamy n- tym wyrazem szeregu, a liczb Sn nazywamy n-t sum cz[ciow tego szeregu. Szereg jest cigiem sum cz[ciowych. Szereg nazywamy zbie|nym, gdy istnieje granica skoDczona limSn=S, natomiast rozbie|nym, gdy nie istnieje. Szereg zbie|ny ma sum, Warunek konieczny zbie|no[ci szeregu: liman=0. Tw1: Je|eli cig sum cz[ciowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbie|ny. Tw2. Je|eli wyrazy szeregów £(od n=1 do ") an oraz £ (od n=1 do ") bn s nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., |e dla ka|dego n>m. Jest speBniona nierówno[ an<=bn to z e zbie|no[ci szeregu bn wynika zbie|no[ an i odwrotnie. Tw3. (kryteruim d Alemberta). Je|eli wyrazy szeregu s dodatnie oraz istnieje gralica lim an+1/an = g to szereg jest zbie|ny, gdy g<1, natomiast rozbie|ny, gdy 1<1<=+". Tw4. (Cauchy ego o iloczynie). Je|eli szeregi £an i £bn s zbie|ne, przy czym co najmniej jeden z nich jest zbie|ny bezwzgldnie, to ich iloczyn jest zbie|ny, przy czym suma szeregu jest równa iloczynowi sum szeregów. SZEREGI FUNKCYJNE Niech (fn(x)) bdzie dowolnym cigiem funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, okre[lonej na zbiorze X. Cig (Sn(x)) sum Sn(x)=£(od k =1 do n) fk(x) nazywamy szeregiem funkcyjnym. Szereg £(od n=1 do ")fn(x) (1) nazywamy zbie|nym na zbiorze X do sumy S(x) i piszemy £fn(x)=s(x) , gdy Sn(x)->S(x). Szereg nazywamy rozbie|nym na zbiorze X , gdy cig (Sn(x)) jest na tym zbiorze rozbie|ny. Szereg nazywamy jednostajnie zbie|nym na zbiorze X do sumy s(x) , gdy Sn(x) Ò! S(x). Je|eli szereg jest zbie|ny na zbiorze X, a ponadto zbie|ny jest na tym zbiorze szereg £(n=1 ") |fn(x)| (*) to szereg nazywamy bezwzgldnie zbie|nym na zbiorze X. Tw1. Je|eli szereg (*) jest zbie|ny na zbiorze X, to szereg (1) jest tak|e zbie|ny na tym zbiorze. Tw2 (kryterium Weierstrassa). Je|eli istnieje taka liczba m"N, |e dla ka|dego n>=m. I dla ka|dego x"X speBniona jest nierówno[ |fn(x)|<=an, przy czym szereg £ (n=1,")an jest zbie|ny, to szereg (1) jest zbie|ny na zbiorze X jednostajnie i bezwzgldnie. (£cosnx/n2+x2 ). SZEREGI POTGOWE Posta: £(n=0,") an(x-x0)don, czyli szereg a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)do2+...+an(x-x0)don+... Litera x oznacza tu zmienn rzeczywist, symbol x0-ustalon warto[ tej zmiennej, a symb. a0,a1,... s to l. rzeczywiste zwane wspóBczynnikami szeregu. Tw1. Je|eli R=0 (promien zbie|no[ci-kres górny zbioru wart. X, dla których szereg jest zbie|ny) to szereg jest zbie|ny tylko w p.=0. Je|eli 0<R<", to szereg jest zbie| w przedz. (-R;R), rozbie|ny w przeciw. Tw.2 Je|eli instn, gran. Lin(n->")|an+1/an| = » to prom. Zbie|n. R szeregu = 0 dla » =+", 1/», gdy 0<»<+", za[ " gdy » = 0. Tw3. Je|eli szereg ma prom. zbie|ny R > 0, to dla ka|dego r " (0;R) szereg ten jest zbie|ny jednostajnie i bezwzgldnie na przedziale <-r;r> (Suma szeregu jest cigBa na przedziale (-R;R)).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
analiza istrumentalna, opracowanie bartkiewicz dobre
Opracowanie wyników analizy chemicznej wody
Analiza Matematyczna 2 Zadania
analiza
ANALIZA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW POMIAROWYCH — MSE
Analiza stat ścianki szczelnej
Analiza 1
Analiza?N Ocena dzialan na rzecz?zpieczenstwa energetycznego dostawy gazu listopad 09
Analizowanie działania układów mikroprocesorowych
Analiza samobójstw w materiale sekcyjnym Zakładu Medycyny Sądowej AMB w latach 1990 2003
Elektroenergetyka opracowanie1
przetworniki II opracowane
Mechanika Techniczna I Opracowanie 06
Marketing Opracowane Pytania Egzaminacyjne 2009 Furtak (46)
grice opracowaniE Cooperative Principle, Maxims of Conversation

więcej podobnych podstron