��Cigiem nieskoDczonym nazywamy funkcj f, kt�ra odwzorowuje zbi�r N na pewien niepusty zbi�r Y.
Cig zbie|ny jest ograniczony. Cig zbie|ny jest to taki cig, kt�ry posiada granic skoDczon. Cig rozbie|ny nie posiada granicy lub granica istnieje, ale jest
niewBa[ciwa (� "). Je|eli cig jest ograniczony to istnieje taka liczba, |e wszystkie wyrazy s wiksze od niej i druga liczba, |e wszystkie s mniejsze.
Tw o 3 cigach. Je|eli lim (n�! ") an = lim (n�! ") cn = g , a ponadto istnieje taka liczba n0, |e dla ka|dego n>n0 speBniona jest nier�wno[ and"bnd"cn to lim (n�! ")bn=g.
O zachowaniu nier�wno[ci staBej.Je|eli lim (n�! ") an=a i lim (n�! ") bn=b oraz istnieje taka liczba n0 , |e dla ka|dego n>n0 speBniona jest nier�wno[ and"bn , to ad"b.
Cig monotoniczny jest zbie|ny.
Tw (o dziaBaniach arytmetycz na granicach cig�w zbie|nych): je|eli lim(n�! ") an=a ; lim(n�! ") bn=b, to:
a) lim(n�! ") (an + bn) = a + b
b) lim(n�! ") (an - bn) = a - b
c) lim(n�! ") (an * bn) = a * b
d) lim(n�! ") an / bn = a / b
PRZESTRZEC METRYCZNA
Przestrzeni metryczn Xd nazywamy ka|dy zbi�r X, kt�remu przyporzdkowano funkcj d:X�X�!R+*"{0} speBniaj nastpujce warunki:
10 dla ka|dego x, y"X d(<�x; y>)=0 �! x = y (to|samo[ci)
20 dla ka|dego x , y"X d(<�x ; y>)=d(<�y ; x>) (symetrii)
30 dla ka|dego x, y"X d(<�x ; y>)d"d(<�x; z>)+d(<�z ; y>) (nier�wno[ tr�jkta)
GRANICE
Def: Zbi�r Q ( x0 ; r ) = {x"X : abs(x0 - x) <� r } nazywamy otoczeniem punktu x0 liczb r natomiast promieniem otoczenia. W przestrzeni jednowymiarowej otoczeniem
punktu jest przedziaB o dBugo[ci 2r.
Def: Zbi�r S (x0 ; r ) = Q (x0 ; r ) - {xo} nazywamy ssiedzTwem punktu. W przestrzeni jednowymiarowej ssiedzTwo jest to przedziaB S (x0 ; r ) = (x0 - r ; x0) *" (x0 ; x
+ r ).
Def: Punkt x0"X nazywamy punktem skupienia zbioru A�"X wtedy i tylko wtedy, gdy dla do ka|dego otoczenia Q (x0 ; r) nale|y co najmniej jeden r�|ny od x0 punkt
x"A.
Tw. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A�"Xd wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje cig (Xn) o wyrazach nale|cych do zbioru A-{x0}i taki,
|e lim(n�! ") xn=x0.
Def (Heinego): M�wimy, |e funkcja f ma w punkcie x0 granic g ( co zapisujemy lim(x�!x0)f(x)=g) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dego cigu (xn) o wyrazach ze
zbioru Df - {x0} i zbie|nego do punktu x0 cig (f (xn)) jest zbie|ny do punktu g.
Def (Cauchy ego): M�wimy, |e funkcja f ma w punkcie x0 granic g wtedy i tylko wtedy gdy dla ka|dego �>0 istnieje takie r>0, |e dla ka|dego x"Df 0<�abs(x - x0)<�r
�! abs(f(x) - g)<� �.
Def: Punkt x0 przestrzeni X nazywamy punktem izolowanym zbioru A�"X wtedy i tylko wtedy, gdy x0"A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbior A.
LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... bd elementami ciaBa R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uog�lnienie liczby rzeczywistej; bdzie nim uporzdkowana para liczb
rzeczywistych speBniajca pewne definicje i nazywana liczb zespolon.
Def. Liczbami zespolonymi nazywamy uporzdkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla kt�rych okre[lamy r�wno[, dodawanie i mno|enie w spos�b
nastpujcy:
(a,b) = (c,d) a = c '" b = d
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Tw. Zbi�r wszystkich liczb zespolonych jest ciaBem przemiennym wzgldem dodawania i mno|enia.
Def. Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy dziaBanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania l. Zespolonych nazywamy r�|nic l. Zespolonych.
Def. Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy dziaBanie odwrotne do mno|enia. Wynik dzielenia nazywamy ilorazem. Liczba (x,y) jest wic ilorazem liczby zespolonej
(a,b) i liczby zespolonej (c,d), co oznaczamy (a,b): (c,d), gdy (x,y)(c,d) = (a,b). Z def. Mno�enia i r�wnoSci l. Zespolonych wynika, �e wtedy cx-dy=a i dx-cy=b.
Def. ModuBem liczby z = a +jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywist liczb nieujemn, bdc pierwiastkiem sumy kwadrat�w cz[ci rzeczywistej i cz[ci
urojonej tej liczby: |z| = "a2+b2 .
Tw. Liczba zespolona jest wtedy i tylko wtedy zerem, gdy jej moduB jest r�wny zeru: (z=0) (|Z| = 0).
Def. Liczb sprze|on z liczb z = a+jb, kt�r bdziemy oznacza przez (z-), nazywamy liczbami sprz|onymi.
Def. Potg stopnia naturalnego n liczby z, oznaczan przez zn, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.
Trygonometryczna interpretacja l. zespolonych i jej pierwiastkowanie
Def. Argumentem liczby z =x+jy `"0, oznaczanym przez Argz, nazywamy ka|d liczb rzeczywist �, speBniajc dwa warunki: cos�=x/|z|, sin�=y/|z|, gdzie
|z|="x2+y2>0 jest moduBem liczby z.
n
Def. Liczb Z nazywamy pierwiastkiem naturalnego stopnia n z liczby z0, je|eli: Zn=z0. Pierwistek ten oznaczamy przez "z0; w przypadku n = 2 piszemy "z0.
Nazywamy go tak|e pierwiastkiem algebraicznym.
Je|eli z0=0, t n "0 = 0, Je|eli z0=r0(cos�0+jsin�0) `" 0, przy czym �0=argz0, to liczba Z = R(cos� +j sin�) jest pierwiastkiem stopnia n z z0 wtedy i tylko
n n
wtedy, gdy Rn=r0 oraz n� = �0+2k�, gdzie k jest l. caBkowit. Std R = "r0 oraz �k=�0/n + 2�k/n, k=0,1,2..., przy czym przez "r0 oznaczyli[my pierwiastek
arytmetyczny z liczby r0.
Def (Wz�r Eulera). Potg ex o podstawie w i wykBadniku z = x +jy, nale|cym do ciaBa liczb zespolonych , okre[lamy w spos�b nastpujcy: ejy :=cosy+jsiny,
ex:=exejy
CIGAOZ FUNKCJI
Niech f oznacza funkcj liczbow i niech x0"Df
Def (Heinego cigBo[ci funkcji): M�wimy, |e funkcja jest cigBa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy dla ka|dego cigu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbie|nego do
punktu x0 cig (f(xn)) jest zbie|ny do punktu f(x0).
Def (Cauchy ego): M�wimy, |e funkcja f jest cigBa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dego �>0 istnieje takie r>0, |e dla ka|dego x"Df abs(x - x0)<�r �!
abs( f(xn)-f(x0))<� �.
Tw. Funkcja f jest cigBa w punkcie x0 bdcym punktem skupienia dziedziny Df wtedy i tylko wtedy, gdy lim(x�!x0) f(x) = f(x0).
Def: M�wimy, |e funkcja f jest cigBa wtedy i tylko wtedy, gdy jest cigBa w ka|dym punkcie swej dziedziny.
WAASNOZCI FUNKCJI CIGAYCH
Tw. 1 (O cigBo[ci funkcji odwrotnej): Je[li funkcja f jest cigBa i rosnca (malejca) na przedziale A�"R, to f(A) jest przedziaBem oraz funkcja f-1 jest cigBa i rosnca
(malejca) na przedziale f(A).
Tw. 2 (O cigBo[ci funkcji zBo|onej): Je|eli funkcja wewntrzna f jest cigBa w punkcie x0 i funkcja zewntrzna h jest cigBa w punkcie u0 = f(x0) to funkcja zBo|ona
h(f(x)) jest cigBa w punkcie x0.
Tw. 3 (O wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji cigBej): Je|eli istnieje granica wBa[ciwa lim(x�!x0) f(x) = g i funkcja h jest cigBa w punkcie u0 = g to
lim(x�!x0) h[f(x)] = h[lim(x�!x0) f(x)] = h(g).
Tw. 4 (O lokalnym zachowaniu znaku): Je|eli funkcja f jest cigBa w punkcie x0 oraz f(x0)>0 albo f(x0)<�0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x0, |e dla ka|dego
x"Q)"Df speBniona jest nier�wno[: f(x)>0 albo f(x)<�0.
Tw. 5 (Weierstrassa): Je|eli funkcja f jest cigBa na przedziale domknitym <�a ; b> to
1o f jest ograniczona na przedziale <�a ; b>,
2o istniej takie liczby c1 i c2 , |e: f(c1)=Inf (x"<�a ; b>) f(x) oraz f(c2) =Sup(x"<�a ; b>) f(x).
Tw. 6 (Darboux): Je|eli funkcja f jest cigBa na przedziale domknitym <�a ; b> f(a)`" f(b) oraz liczba g jest zawarta midzy f(a) i f(b) to istnieje taki punkt c" (a ; b), |e
f(c ) = g .
POCHODNA FUNKCJI
Def: Iloraz r�|nicowy funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu "x zmiennej niezale|nej jest to stosunek [f(x0 + "x) - f(x0)]/" x.
Def: Granic wBa[ciw ilorazu r�|nicowego gdy "x�!0 nazywamy pochodn funkcji i oznaczamy symbolem f (x0), f (x0) = lim("x�!0) [f(x0 + "x) - f(x0)]/ " x.
Def: Granic lewostronn funkcji f w punkcie x0 nazywamy f (x0-) = lim("x�!0-) [f(x0+"x)-f(x0)]/" x.
Def: Granic prawostronn funkcji f w punkcie x0 nazywamy f (x0+) = lim("x�!0+) [f(x0 +" x) - f(x0)]/ " x.
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Je[li funkcja x=g(y) jest [ci[le monotoniczna i posiada funkcj pochodn g (y) `" 0 to funkcja y = f(x) odwrotna do niej
posiada funkcj pochodn, przy czym f (x)= 1/ g (y) ; gdzie y= f(x) dla ka|dego x"Df.
Tw. (O pochodnej funkcji zBo|onej): Je|eli funkcja h ma pochodn w punkcie x, a funkcja f ma pochodn w punkcie u= h(x) to funkcja zBo|ona f(h(x)) ma w punkcie
x pochodn [f(h(x)] = f [h(x)]*h (x).
Def: Pochodn logarytmiczn funkcji f nazywamy pochodn jej logarytmu naturalnego [ln f(x)] = f (x)/f(x).
Tw. (O pochodnej funkcji okre[lonej parametrycznie): Je|eli funkcja y=g(x) jest okre[lona parametrycznie: x=f(t); y=h(t),dla t"(a,b). przy czym istniej pochodne
dy/dt i dx/dt`"0 to istniej takie pochodne dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).
Def: R��niczk� funkcji f w punkcie x0 i dla przyrostu "x zmiennej niezale�nej x nazywamy iloczyn f (x0)*("x). R��niczk� oznaczmy symbolem df(x0) lub kr�tko df
lub dy.
Definicja przyrostu funkcji:
f (x0+"x) - f (x0) H" f (x0)*"x
Def: Pochodn� n-tego rz�du funkcji f w punkcie x okreSlamy nast�puj�co:
f ( n) (x)= [f ( n-1)](x) ; n=1,2,...przy czym
[f ( 0) ] (x)=f (x).
Def: Je�eli funkcja f ma pochodn� rz�du (n - 1) na otoczeniu punktu x0 oraz pochodn� rz�du n w tym samym punkcie x0, to dnf(x0) = (d[d n. -1f(x)])x = x0 n.= 2,3... przy
czym w ka�dym r��niczkowaniu ten sam przyrost dx. St�d pomijaj�c proste rozumowanie indukcyjne mamy dnf(x0) = f ( n) (x0)dx n. Symbol dx n oznacza tu (dx) n.
Tw. (Rolle a): Je�eli funkcja f jest ci�g�a na przedziale <�a;b> i r��niczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c"(a;b), �e f (c)=0.
Tw. (O przyrostach, Lagrange a): Je�eli funkcja f jest ci�g�a na przedziale domkni�tym o ko�cach x0 i x oraz ma pierwsz� pochodn� wewn�trz tego przedzia�u, to
istnieje taki punkt, le��cy mi�dzy x0 i x, �e f (x) - f (x0)=f (c) (x -x0). Wnioski:
1) je�eli dla ka�dego x"<�a;b> f (x)=0 to dla ka�dego x"<�a;b> f(x) - f(x0)=0(x - x0)�! f(x)=f(x0). Je�eli f (x0)=0 w ka�dym punkcie przedzia�u (a;b), to funkcja f jest na
tym przedziale sta�a.
2) je�eli dla ka�dego x" (a;b) f (x)>0 to:
a) x<�x0 f(x) - f(x0)=f (x)(x - x0)<�0;
f(x) - f(x0)<�0�!f(x)<�f(x0)
b) x0<�x f(x) - f(x0)=f(x0)(x - x0)>0 �! f(x)>f(x0). Je|eli f (x)>0 w ka|dym punkcie przedziaBu (a;b), to funkcja f jest na tym przedziale rosnca
3) Je|eli f (x)<�0 w ka|dym punkcie przedziaBu (a;b), to funkcja f jest na tym przedziale malejca.
Tw. (Taylora): Je|eli funkcja f ma cigBe pochodne do rzdu n-1 wBcznie na przedziale domknitym o koDcach x0 i x oraz ma pochodn rzdu n wewntrz tego
przedziaBu, to istnieje taki punkt c, le|cy midzy x0 i x, |e f(x) - f(x0) = K=1�n-1 [(f K(x0))/k!]*(x -x0)K+[(f( n)(c))/n!]*(x- x0)n przy zaBo|eniu, |e dla n=1 pierwszy
skBadnik po prawej stronie wzoru jest r�wny zeru.
WZ�R MACLAURINA: We wzorze Taylora kBadc x0=0 otrzymamy K=0�n-1[(f (K) (0)) /k!]*xK +R n , gdzie Rn=[f (n) C/n!]* x n. Punkt c jest poBo|ony midzy 0 i x.
EKSTREMUM FUNKCJI
Niech Df zawiera pewne otoczenie Q punktu x0 .
Def: M�wimy, |e funkcja f ma w punkcie x0 maksimum [minimum] lokalne, je|eli istnieje taka liczba dodatnia r, |e dla ka|dego x"S(x0;r) speBniona jest
odpowiednia nier�wno[: f(x)d"f(x0) [f(x)e"f(x0)]. Je|eli zamiast powy|szych nier�wno[ci sBabych speBnione s odpowiednio nier�wno[ci mocne f(x)<�f(x0) albo
f(x)>f(x0) to maksimum (minimum) lokalne nazywamy wBa[ciwym.
Tw. (Fermata): Je|eli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwsz pochodn to f (x0)=0.
Warunek konieczny istnienia ekstremum: Funkcja f mo|e mie ekstremum tylko w tych punktach, w kt�rych pochodna nie istnieje bdz jest r�wna 0.
Pierwszy warunek wystarczajcy ekstremum: Je|eli funkcja f jest cigBa w punkcie x0 , a ponadto posiada pochodn f na pewnym ssiedzTwie S(x0;r) przy czym
f (x)<�0 dla S(x0-;r) i f (x)>0 dla S(x0+ ;r) to funkcja f ma w punkcie x0 minimum wBa[ciwe, je|eli natomiast speBniony jest warunek f (x)>0 dla S(x0- ;r) i f (x)<�0 dla
S(x0+ ;r) to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum wBa[ciwe.
Drugi warunek wystarczajcy ekstremum: Je|eli funkcja f ma na pewnym otoczeniu Q(x0;r) pochodn do rzdu n wBcznie, pochodna f( n) jest cigBa w punkcie x0, n
jest liczb parzyst, a ponadto f ( k) (x0)=0 dla k=1,2,...,(n -1) oraz f( n) (x0)`" 0 to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum, gdy f( n) (x0)<�0, natomiast minimum wBa[ciwe,
gdy f( n) (x0)>0.
WYPUKAOZ I WKLSAOZ WYKRESU FUNKCJI, PUNKTY PRZEGICIA
Def: M�wimy, |e krzywa y=f(x) jest wypukBa (wklsBa) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r1>0, |e cz[ wykresu odpowiadajca x"S(x0 ; r1)
znajduje si nad (pod) styczn do tej krzywej w punkcie (x0 ; f(x0)).
Tw. Je|eli funkcja f ma pierwsz pochodn na otoczeniu Q(x0;r) oraz istnieje f (x0)`"0 to krzywa y= f(x) jest wypukBa w punkcie x0 gdy f (x0)>0, natomiast jest
wklsBa w punkcie x0 gdy f (x0)<�0.
Def: M�wimy, |e krzywa y=f(x) jest wypukBa (wklsBa) na przedziale oTwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukBa (wklsBa) w ka|dym punkcie tego
przedziaBu. Wniosek: Je|eli f (x)>0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wypukBa na (a;b), je[li natomiast f (x)<�0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest
wklsBa na (a;b).
Def: Punkt P0(x0;f(x0)) nazywamy punktem przegicia krzywej y= f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy:
1) istnieje styczna do krzywej y= f(x) w punkcie P0.
2) krzywa y= f(x) jest wypukBa na pewnym lewostronnym ssiedzTwie punktu x0 i jest wklsBa na pewnym prawostronnym ssiedzTwie tego punktu albo na odwr�t .
Tw. Je|eli funkcja f jest dwukrotnie r�|niczkowalna w pewnym otoczeniu Q(x0;r) i speBnia dwa warunki :
1) druga pochodna w punkcie x0 jest r�wna zeru : f (x0)=0,
2) druga pochodna zmienia znak w punkcie x0 .
to punkt P0 (x0;f(x0)) jest punktem przegicia wykresu funkcji f .
REGUAY DE L HOSPITALA
Tw. Je|eli funkcje f i g r�|niczkowalne na ssiedzTwie punktu x0 speBniaj dwa nastpujce warunki: 1) obie d| do zera przy x�!x0 tzn. lim(x�!x0) f(x)=0 i
lim(x�!x0) g(x)=0 2) istnieje granica g (wBa[ciwa lub niewBa[ciwa) ilorazu pierwszych pochodnych przy x�!x0 czyli lim(x�!x0)(f (x)/g (x))=g to istnieje granica ilorazu
tych funkcji i r�wna si g czyli:
lim(x�!x0) f (x) / g (x)=g.
Tw. Je|eli funkcje f i g r�|niczkowalne na ssiedzTwie punktu x0 speBniaj dwa nastpujce warunki: 1) lim(x�!x0)f(x)=� " ,lim(x�!x0)f(x)=� " 2) istnieje granica
(wBa[ciwa lub niewBa[ciwa) lim(x�!x0) f (x) / g (x) =g to istnieje granica lim(x�!x0)f(x) / g(x)=g.
ASYMPTOTY
M�wimy, |e prosta o r�wnaniu x=x0 jest asymptot pionow krzywej o r�wnaniu y=f(x) je|eli cho jedna granica jednostronna funkcji f w punkcie x0 jest
niewBa[ciwa czyli gdy lim(x�!x0-) f(x)=� " lub lim(x�!x0+) f(x)=� ".
M�wimy, |e prosta o r�wnaniu y=mx+n jest asymptot uko[n krzywej o r�wnaniu y= f(x) gdy wsp�Bczynniki m i n s tak dobrane, |e lim(x�! ")[f(x)-(mx+n)] =0
lub lim(x�!- ")[f (x) - (mx+n)]=0 .
Tw. Je|eli istniej jednocze[nie granice skoDczone lim (x�!- ") f (x) / x = m )" lim(x�!- ")[f(x)-mx]=n lub lim(x�! ")f(x)/ x=m )" lim(x�! ")[f (x)-mx]=n, to prosta o
r�wnaniu y= mx+n jest asymptot linii o r�wnaniu y= f(x).
SCHEMAT BADANIA FUNKCJI
1) Analiza funkcji a) okre[lenie dziedziny funkcji oraz sprawdzenie czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa b) znalezienie granic na koDcach dziedziny i
wyznaczenie asymptot. 2) Analiza pierwszej pochodnej a) okre[lenie dziedziny pierwszej pochodnej i punkt�w stacjonarnych [ f (x)=0] b) wyznaczenie
przedziaB�w monotoniczno[ci funkcji oraz ekstrem�w 3) Analiza drugiej pochodnej a) znalezienie dziedziny drugiej pochodnej i jej miejsc zerowych b) okre[lenie
przedziaB�w, w kt�rych funkcja jest wklsBa lub wypukBa oraz punkt�w przegicia wykresu funkcji 4) Sporzdzenie tabeli zmienno[ci funkcji 5) Wykonanie
wykresu funkcji.
RACHUNEK CAAKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcj pierwotn danej funkcji na przedziale X nazywamy ka|d r�|niczkowaln funkcj F, kt�rej pochodna F jest r�wna funkcji f na tym przedziale, tj. dla
ka|dego x"X F (x)=f (x).
Funkcj F majc w pewnym przedziale funkcj pierwotn nazywamy caBkowaln w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie funkcji pierwotnych danej
funkcji f nazywamy caBkowaniem funkcji f. CaBkowanie to znajdowanie f.pierwotnej.
PYTANIA:
1) Kiedy zagadnienie ma rozwizanie 2) Ile ma rozwizaD 3) Jak je wyznaczy
Tw. 1.1. (Warunek wystarczajcy caBkowalno[ci funkcji): Ka|da funkcja cigBa na przedziale X ma na tym przedziale funkcj pierwotn.
Tw. 1.2. (O istnieniu nieskoDczenie wielu funkcji pierwotnych danej funkcji): Je[li F jest dowoln ustalon funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X to
wszystkie funkcje postaci F(x)+C, gdzie C jest staB dowoln s r�wnie| funkcjami pierwotnymi funkcji f na tym przedziale.
Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji): Je[li F jest dowoln, ustalon funkcj pierwotn funkcji f na przedziale X to ka|da
inna funkcja pierwotna G funkcji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiedni do funkcji F i G dobran staB.
Def: Zbi�r wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale X i tylko takich funkcji nazywamy caBk nieoznaczon funkcji f na przedziale X i oznaczamy
symbolem +"f (x) dx.
Z definicji caBki nieoznaczonej i TwierdzeD o funkcjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wz�r +"f(x)dx= F(x)+C, w kt�rym F dowoln ustalon funkcj
pierwotn funkcji f na przedziale X, C jest staB dowoln, zwan tu staB caBkowania.
METODY CAAKOWANIA
Tw 2.1 (O pochodnej caBki): Pochodna caBki nieoznaczonej jest r�wna funkcji podcaBkowej:
[+"f(x)dx] =f(x); +"f(x)dx=F(x)+C, F (x)=f(x); [+"f(x)dx] =(F(x)+C) =F (x)+f(x).
Tw 2.2 (CaBka pochodnej): CaBka nieoznaczona pochodnej funkcji jest sum tej funcji i staBej dowolnej f (x)dx=f(x)+C
Tw 2.3 (O caBce sumy): Je|eli funcje f i g s caBkowalne na pewnym wsp�lnym przedziale, to ich suma jest r�wnie| caBkowalna na tym przedziale i przy tym
+"[f(x)+g(x)]dx= +"f(x)dx+ +"g(x)dx.
Tw 2.4 (O wyBczeniu czynnika staBego): Je|eli f jest funkcj caBkowaln na pewnym przedziale, k jest staB, to funkcja k * f jest r�wnie| caBkowaln na tym
przedziale, przy tym, gdy k`"0, speBniona jest r�wno[ +"k * f(x)dx= k * +"f(x)dx.
METODY CAAKOWANIA
1) Metoda to|samo[ciowego przeksztaBcenia funkcji podcaBkowej 2) Metoda zmiany zmiennej 3) Metoda caBkowania przez cz[ci 4) Metoda rekurencyjna
DW 2.5 Je|eli speBnione s nastpujce warunki 1) funkcja f jest cigBa na przedziale a<�x<�b 2) funkcja g ma cigB pochodn na przedziale �<�t<�� 3) warto[ci funkcji
g(t) le| w przedziale (a;b) , to sBuszny jest wz�r +"f(g(t)) g (t)dt= +"f(x)dx dla g(t)=x.
Tw 2.6 Je|eli speBnione s nastpujce warunki 1) funkcja jest cigBa na przedziale a<�x<�b 2) funkcja g ma cigB pochodn na przedziale �<�t<�� oraz r�|niczkowaln
funkcj odwrotn t=� (x) 3) warto[ci funkcji g(t) le| w przedziale (a;b) to sBuszny jest wz�r +"f(x)dx= +"f(g(x)) g (t)dt dla t=� (x).
AD 3: Tw 2.7 (O caBkowaniu przez cz[ci): Je|eli funkcje u i v s klasy C1 na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wz�r +"u(x)*v (x)dx =
u(x)*v(x) -+"u (x)*v(x)dx , kt�ry nazywamy wzorem na caBkowanie przez cz[ci.
AD 4: Wz�r rekurencyjny
In=+"xn ex dx = xnex - nI n - 1 .
CAAKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcj wymiern jednej zmiennej nazywamy iloraz wielomian�w tej zmiennej. Funkcja wymierna, kt�rej stopieD wielomianu licznika jest mniejszy od stopnia
wielomianu mianownika nazywa si funkcj wymiern wBa[ciw.
n 2 n
UBamki proste, s to funkcje wymierne wBa[ciwe postaci: 1. A/(ax+b) 2. A/(ax+b) 3. (Bx+c) / (ax +bx+c) 4. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) gdzie a`"0, "= b2 - 4ac,
n=2,3,4... ,a,b,c,A,B,C s liczbami rzeczywistymi.
CAAKOWANIE NIEKT�RYCH FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcja P.(u1, u2, ..., u n ) zmiennych u1, u2 ... nazywa si funkcj wymiern tych zmiennych, je|eli we wzorze okre[lajcym t funkcj na zmiennych u1, u2 ... wykonane
s skoDczon liczb razy tylko dziaBania wymierne (dodawanie, odejmowanie, mno|enie, dzielenie, potgowanie o wykBadniku naturalnym). Je[li z kolei zmienne u1, u2
... s funkcjami jednej zmiennej x : u1=g1(x), u2=g2(x) ... to funkcj zmiennej x postaci P.(g1(x), g2 (x) ...) bdziemy nazywa wymiern wzgldem funkcji g1(x), g2 (x) ...
g m.(x).
CAAKI OZNACZONE
Suma caBkowa Riemanna funkcji f na przedziale <�a;b> �n = i=1�K f (xi)*" xi
Def: Je|eli wszystkie cigi (�n) sum caBkowych funkcji f na przedziale <�a;b> odpowiadajce wszystkim mo|liwym cigom normalnym podziaB�w tego przedziaBu i
wszystkim mo|liwym sposobom wyboru punkt�w po[rednich x i ( n) w przedziaBach cz[ciowych tych podziaB�w, s zbie|ne i to do tej samej granicy wBa[ciwej, to t
granic nazywamy CAAK OZNACZON w sensie Riemanna funkcji f w granicach od a do b i oznaczamy symbolem a+"bf(x)dx. Funkcj f, dla kt�rej istnieje caBka
oznaczona nazywamy caBkowaln (w sensie Riemanna) na przedziale <�a;b>.
Tw 6.1 (O ograniczono[ci funkcji podcaBkowej): Funkcja podcaBkowa na przedziale domknitym jest ograniczona na tym przedziale.
Tw 6.2 (O caBkowaniu funkcji cigBej): Funkcja cigBa na przedziale domknitym jest caBkowalna na tym przedziale.
Tw 6.3 Funkcja ograniczona na przedziale domknitym i majca w nim skoDczon liczb punkt�w niecigBo[ci jest caBkowalna na tym przedziale. W interpretacji
geometrycznej caBka oznaczona jest to pole powierzchni trapezu krzywoliniowego.
WAASNOZCI CAAKI OZNACZONEJ I JEJ OBLICZANIE
Tw 7.1 (Newtona - Leibniza): Je|eli " jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f cigBej na przedziale <�a;b>, to a +"b f(x)dx=" (b) -" (a) WBasno[ci caBki oznaczonej:
1) Warto[ caBki oznaczonej nie zale|y od oznaczenia zmiennej caBkowania 2) Funkcja caBkowalna na pewnym przedziale domknitym jest tak|e caBkowalna na
ka|dym podprzedziale tego przedziaBu. 3) Je|eli funkcje f i g s caBkowalne na przedziale <�a;b>, to r�wnie| funkcja (f+g) jest caBkowalna na tym przedziale oraz
+"b[f(x)+g(x)]dx= a+"b f(x)dx+ a+"b g(x)dx. 4) Je|eli funkcja f jest caBkowalna na przedziale <�a;b> oraz A=const r�wnie| funkcja A*f jest caBkowalna na tym przedziale i a+"b
a
Af(x)dx= A a+"b f(x)dx. 5) Je|eli funkcje f i g s caBkowalne na przedziale <�a;b>, to r�wnie| iloczyn jest funkcj caBkowaln na tym przedziale. 6) Zmiana warto[ci
funkcji w skoDczonej liczbie punkt�w przedziaBu nie wpBywa ani na caBkowalno[ tej funkcji w tym przedziale ani na warto[ caBki, je[li funkcja ta jest caBkowalna. 7)
Je|eli a,b,c s dowolnymi punktami pewnego przedziaBu, na kt�rym funkcja f jest caBkowalna, to +"c f(x)dx +c+"b f(x)dx= a+"b f(x)dx 8) Niech f i g bd funkcjami
a
caBkowalnymi na przedziale <�a;b>, w�wczas f(x)d"g(x); dla x"<�a,b>�!a+"bf(x)dxd"a+"bg(x)dx 9) Niech f bdzie funkcj na przedziale <�a;b>, w�wczas:md"f(x)d"M dla
x"<�a,b>�!m.(b-a)d"a+"bf(x)dxd"M.(b -a).
Tw 7.2 (O caBkowaniu przez podstawienie dla caBki oznaczonej): Je|eli: 1) funkcja g(t) jest cigBa na przedziale <��,�> 2) funkcja t= h(x) jest klasy C1 <�a;b> 3)
zbiorem warto[ci funkcji t= h(x) jest przedziaB <��,�>, i przy tym �=h(a) i �=h(b) to prawdziwy jest nastpujcy wz�r na caBkowanie przez podstawienie dla caBki
oznaczonej a+"bg[h(x)]h (x)dx= �+"� g(t)dt.
Tw 7.3 (O caBkowaniu przez cz[ci dla caBki oznaczonej): Je|eli funkcje U i V s klasy C1<�a;b> to a+"b U(x)*V (x)dx= U(x)*V(x) ��ab - a+"b U (x)*V(x)dx.
ZASTOSOWANIE GEOMETRYCZNE CAAKI OZNACZONEJ
Tw 8.1 Je|eli cigBe na przedziale <�a;b> funkcje f1 i f2 speBniaj na tym przedziale nier�wno[ f1(x)d" f2(x) to pole ��D�� figury D ograniczonej wykresami tych funkcji i
prostymi x= a i x= b wyra|a si wzorem ��D�� = a+"b [f2(x) - f1(x)]dx.
Tw 8.2 Je[li krzywa l jest okre[lona r�wnaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t"<��,�.> gdzie y(t) jest funkcj cigB na przedziale <��,�> a x(t) jest monotoniczn
funkcj klasy c1 <��,�>, to pole ��D�� trapezu krzywoliniowego D ograniczonego t lini, osi ox oraz prostymi x= a, x= b gdzie x(�)=a, x(�)=b, dane jest caBk ��D��
=�+"���y(t)*x (t)�� dt.
Tw 8.3 Auk AB okre[lony r�wnaniem jawnym y= f(x) ad"xd"b, gdzie f jest funkcj klasy C1<�a;b> ma dBugo[ l wyra|ajc si wzorem l= a+"b "(1+f 2(x)) dx.
Tw 8.4 Je|eli krzywa dana r�wnaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t"<��,�> jest Bukiem zwykBym oraz funkcje x(t), y(t) s klasy C1<��,�> to jej dBugo[ l wyra|a
si caBk l= �+"� "( x 2(t)+y 2(t))dt
Tw 8.5 Objto[ ��V�� bryBy V powstaBej w wyniku obrotu dookoBa osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadajcego cigBej na przedziale <�a;b> funkcji f, wyra|a si
caBk ��V�� =" a+"b f 2 (x)dx.
Tw 8.6 Je|eli r�wnanie Buku AB dane jest w postaci parametrycznej x= x(t), y= y(t), t"<��,�> oraz funkcje x= x(t) i y= y(t) s klasy C1<��,�>,funkcja x(t) jest [ci[le
monotoniczna i y(t) nieujemna, to objto[ bryBy obrotowej powstaBej w wyniku obrotu dookoBa osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem ��V�� =" �+"� y 2
(t)*x (t)dt.
Tw 8.7 Pole ��S�� powierzchni obrotowej S powstaBej w wyniku obrotu dookoBa osi ox krzywej y= f(x) ad"xd"b, gdzie f jest funkcj klasy C1<�a;b> wyra|a si caBk
��S��=2" a+"b ��f(x)��"(1+f 2(x) dx.
CAAKI NIEWAAZCIWE
PRZEDZIAA NIEOGRANICZONY
Def: Niech funkcja f jest caBkowalna na ka|dym przedziale <�a;b>, gdzie a<�b<�+ " i okre[lona na przedziale <�a;+ "). Je|eli istnieje granica lim(b�!+ ") a+"b f(x)dx to
nazywamy j caBk niewBa[ciw funkcji f na przedziale nieskoDczonym <�a;+ ") i oznaczamy a+" "f(x)dx= lim(b�! ") a+"b f(x)dx
FUNKCJA NIEOGRANICZONA
Def: Je|eli funkcja f jest okre[lona na przedziale <�a;b> oraz caBkowalna na ka|dym przedziale <�a;b-�> i nieograniczona na ka|dym przedziale <�b-�;b), a ponadto je|eli
istnieje granica lim(��!0+) a+"b-� f(x)dx to nazywamy j caBk niewBa[ciw funkcji f nieograniczonej na <�a;b> i oznaczamy +"b f(x)dx= lim(��!0+) a+"b-�f(x)dx.
a
SZEREGI
Niech (an) bdzie dowolnym cigiem liczb rzeczywistych. Cig (Sn) sum Sn = � od k=1 do n ak nazywa bdziemy szeregiem liczbowym . Liczb an nazywamy n-
tym wyrazem szeregu, a liczb Sn nazywamy n-t sum cz[ciow tego szeregu. Szereg jest cigiem sum cz[ciowych.
Szereg nazywamy zbie|nym, gdy istnieje granica skoDczona limSn=S, natomiast rozbie|nym, gdy nie istnieje. Szereg zbie|ny ma sum, Warunek konieczny
zbie|no[ci szeregu: liman=0.
Tw1: Je|eli cig sum cz[ciowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z g�ry, to szereg jest zbie|ny.
Tw2. Je|eli wyrazy szereg�w �(od n=1 do ") an oraz � (od n=1 do ") bn s nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., |e dla ka|dego n>m. Jest speBniona
nier�wno[ an<�=bn to z e zbie|no[ci szeregu bn wynika zbie|no[ an i odwrotnie.
Tw3. (kryteruim d Alemberta). Je|eli wyrazy szeregu s dodatnie oraz istnieje gralica lim an+1/an = g to szereg jest zbie|ny, gdy g<�1, natomiast rozbie|ny, gdy
1<�1<�=+ ".
Tw4. (Cauchy ego o iloczynie). Je|eli szeregi �an i �bn s zbie|ne, przy czym co najmniej jeden z nich jest zbie|ny bezwzgldnie, to ich iloczyn jest zbie|ny, przy
czym suma szeregu jest r�wna iloczynowi sum szereg�w.
SZEREGI FUNKCYJNE
Niech (fn(x)) bdzie dowolnym cigiem funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, okre[lonej na zbiorze X. Cig (Sn(x)) sum Sn(x)=�(od k =1 do n) fk(x)
nazywamy szeregiem funkcyjnym.
Szereg �(od n=1 do ")fn(x) (1) nazywamy zbie|nym na zbiorze X do sumy S(x) i piszemy �fn(x)=s(x) , gdy Sn(x)->S(x).
Szereg nazywamy rozbie|nym na zbiorze X , gdy cig (Sn(x)) jest na tym zbiorze rozbie|ny. Szereg nazywamy jednostajnie zbie|nym na zbiorze X do sumy s(x)
, gdy Sn(x) �! S(x).
Je|eli szereg jest zbie|ny na zbiorze X, a ponadto zbie|ny jest na tym zbiorze szereg �(n=1 ") |fn(x)| (*) to szereg nazywamy bezwzgldnie zbie|nym na zbiorze X.
Tw1. Je|eli szereg (*) jest zbie|ny na zbiorze X, to szereg (1) jest tak|e zbie|ny na tym zbiorze.
Tw2 (kryterium Weierstrassa). Je|eli istnieje taka liczba m"N, |e dla ka|dego n>=m. I dla ka|dego x"X speBniona jest nier�wno[ |fn(x)|<�=an, przy czym szereg �
(n=1, ")an jest zbie|ny, to szereg (1) jest zbie|ny na zbiorze X jednostajnie i bezwzgldnie. (�cosnx/n2+x2 ).
SZEREGI POTGOWE
Posta: �(n=0, ") an(x-x0)don, czyli szereg a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)do2+...+an(x-x0)don+... Litera x oznacza tu zmienn rzeczywist, symbol x0-ustalon warto[ tej
zmiennej, a symb. a0,a1,... s to l. rzeczywiste zwane wsp�Bczynnikami szeregu.
Tw1. Je|eli R=0 (promien zbie|no[ci-kres g�rny zbioru wart. X, dla kt�rych szereg jest zbie|ny) to szereg jest zbie|ny tylko w p.=0. Je|eli 0<�R<� ", to szereg jest zbie|
w przedz. (-R;R), rozbie|ny w przeciw.
Tw.2 Je|eli instn, gran. Lin(n-> ")|an+1/an| = � to prom. Zbie|n. R szeregu = 0 dla � =+ ", 1/�, gdy 0<��<�+ ", za[ " gdy � = 0.
Tw3. Je|eli szereg ma prom. zbie|ny R > 0, to dla ka|dego r " (0;R) szereg ten jest zbie|ny jednostajnie i bezwzgldnie na przedziale <�-r;r> (Suma szeregu jest cigBa
na przedziale (-R;R)).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
analiza istrumentalna, opracowanie bartkiewicz dobreOpracowanie wyników analizy chemicznej wodyAnaliza Matematyczna 2 ZadaniaanalizaANALIZA KOMPUTEROWA SYSTEMÓW POMIAROWYCH — MSEAnaliza stat ścianki szczelnejAnaliza 1Analiza?N Ocena dzialan na rzecz?zpieczenstwa energetycznego dostawy gazu listopad 09Analizowanie działania układów mikroprocesorowychAnaliza samobójstw w materiale sekcyjnym Zakładu Medycyny Sądowej AMB w latach 1990 2003Elektroenergetyka opracowanie1przetworniki II opracowaneMechanika Techniczna I Opracowanie 06Marketing Opracowane Pytania Egzaminacyjne 2009 Furtak (46)grice opracowaniE Cooperative Principle, Maxims of Conversationwięcej podobnych podstron