plik


FUNKCJE MIERZALNE Oznaczenia i definicje. Funkcje mierzalne wzgledem -ciala S bedziemy czesto nazywa S-mierzalnymi. Funkcje, kt ra nie jest mierzalna (wzgledem -ciala) nazywamy niemierzalna. Niech (X, S, ) bedzie przestrzenia z miara, A " S oraz W (x) bedzie funkcja zdaniowa (warunkiem) okre[lona na A. M wimy, |e warunek W (x) zachodzi -prawie wszedzie lub (kr tko: -p.w.) je[li ({x " A : W (x)}) = 0. W szczeg lno[ci m wimy, |e funkcje f, g : A ! sa -prawie wszedzie r wne (f (x) = g (x) -p.w.) je[li ({x " A : f (x) = g (x)}) = 0 oraz, |e f jest -prawie wszedzie skoDczona je[li ({x " A : |f (x)| = "}) = 0. Przy ustalonej mierze , mo|na m wi prawie wszedzie (p.w.) zamiast -prawie wszedzie (-p.w.). Ciag funkcji mierzalnych fn : A ! nazywamy zbie|nym wed ug miary do funkcji mierzalnej f : A ! je|eli dla dowolnej liczby  > 0 lim ({x " A : |fn (x) - f (x)| e" }) = 0. n!" Piszemy wtedy fn ! f. Zadanie 4.1. Rozwa|my -cialo S = {", (-", 0) , [0, ") , } podzbior w zbioru . Sprawdzi czy funkcja f : ! jest S-mierzalna gdy: (1) f (x) = x. (2) f (x) = 2. (3) f (x) = [0,"). (4) f (x) = (0,"). Zadanie 4.2. Zal |my, |e |X| e" 2, A " X, " = A = X oraz S = {", A, X \ A, X}. Znalez wszystkie funkcje S-mierzalne f : X ! i wszystkie funkcje S-mierzalne g : A ! . Zadanie 4.3. Rozwa|my -cialo S = {A " : |A| d" 5!0 (" |X \ A| d" 5!0} podzbior w zbioru . Sprawdzi, czy funkcja f : ! jest S-mierzalna gdy: (1) f (x) = x. (2) f (x) = [0,"). (3) f (x) =  . (4) f (x) = x . Zadanie 4.4. Niech S = {A " : |A| d" 5!0 (" |X \ A| d" 5!0}. Znalez wszystkie funkcje S-mierzalne f : ! i wszystkie funkcje S-mierzalne g : ! . Zadanie 4.5. Rozwa|my -cialo S = {A " : A " (" A " \ } podzbior w zbioru . Sprawdzi, czy funkcja f : ! jest S-mierzalna gdy: (1) f (x) = x. 1 FUNKCJE MIERZALNE 2 (2) f (x) = [0,"). (3) f (x) =  . (4) f (x) = x . x ; x " , (5) f (x) = 0 ; x " . / Zadanie 4.6. Niech S = {A " : A " (" A " \ }. Znalez wszystkie funkcje S- mierzalne f : ! . Zadanie 4.7. Niech S bedzie -cialem podzbior w X, A " S oraz f : A ! . Udowodni, |e: (1) Rodzina SA = S )" P (A) = {E " S : E " A} jest -cialem podzbior w A. (2) Funkcja f jest S-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest SA-mierzalna. Zadanie 4.8. Niech S bedzie -cialem podzbior w X, A " S. Udowodni, |e je|eli f : A ! jest funkcja S-mierzalna to: (1) {x " A : f (x) < "} " S. (2) {x " A : f (x) > -"} " S. (3) {x " A : f (x) = a} " S dla a " . (4) {x " A : f (x) = a} " S dla a " . Zadanie 4.9. Niech S bedzie -cialem podzbior w X, A " S oraz f : A ! . Udowodni, |e: (1) Je|eli B " A, B " S i funkcja f jest S-mierzalna, to obciecie f|B jest funkcja S-mierzalna. " (2) Je|eli A = An, An " S i f|An jest S-mierzalna dla n " , to f jest S-mierzalna. n=1 Zadanie 4.10. Niech S bedzie -cialem podzbior w X, A " S oraz f : A ! . Udowod- ni, |e nastepujace warunki sa r wnowa|ne: (1) f jest S-mierzalna. (2) "a" {x " A : f (x) < a} " S. (3) "a" {x " A : f (x) > a} " S. (4) "a" {x " A : f (x) d" a} " S. (5) "a" {x " A : f (x) e" a} " S. Zadanie 4.11. Niech S bedzie -cialem podzbior w X oraz E " S. Przyjmijmy / " ; x " X \ E, f (x) = -" ; x " E. Udowodni, |e funkcja f jest niemierzalna, ale f-1 (G) = {x " X : f (x) " G} " S dla dowol- nego zbioru otwartego G " . Zadanie 4.12.Niech S bedzie -cialem podzbior w X, A " S oraz f : A ! . Udowodni, |e nastepujace warunki sa r wnowa|ne: FUNKCJE MIERZALNE 3 (1) f jest S-mierzalna. (2) f-1 (G) " S dla dowolnego zbioru otwartego G " . (3) f-1 (F) " S dla dowolnego zbioru domknietego F " . (4) f-1 (B) " S dla dowolnego zbioru borelowskiego B " . (5) f-1 ((a, b)) " S dla dowolnego przedzialu otwartego (a, b) " . (6) f-1 ([a, b]) " S dla dowolnego przedzialu domknietego [a, b] " . Zadanie 4.13. Zal |my, |e S jest -cialem podzbior w X, A " S, f : A ! jest funkcja niemierzalna oraz g : A ! funkcja mierzalna. Udowodni, |e: (1) Je|eli suma f + g jest okre[lona, to jest funkcja niemierzalna. (2) Je|eli a " \ {0}, to af jest funkcja niemierzalna. (3) Je|eli g (x) = 0 dla x " A, to fg jest funkcja niemierzalna. Zadanie 4.14. Znalez funkcje f : ! taka, |e (1) f jest niemierzalna w sensie Lebesgue a, a f2 jest mierzalna. (2) f jest niemierzalna w sensie Lebesgue a, a |f| jest mierzalna. Zadanie 4.15. Niech f : ! bedzie funkcja niemierzalna w sensie Lebesgue a. Udowodni, |e funkcje f3 i 2f te| sa niemierzalne. Zadanie 4.16. Niech S bedzie -cialem podzbior w X, A " S oraz fn : A ! beda funkcjami S-mierzalnymi. Udowodni, |e: (1) x " A : "a" limn!" fn (x) = a " S. (2) {x " A : "a" limn!" fn (x) = a} " S. (3) {x " A : limn!" fn (x) = a} " S dla a " . Zadanie 4.17. Niech S bedzie -cialem podzbior w X, A " S oraz f : A ! . Dla dowolnych liczb a, b " , a d" b przyjmijmy a ; f (x) < a, b fa (x) = f (x) ; a d" f (x) d" b, b ; b < f (x) . Udowodni, |e: b (1) Je|eli f jest mierzalna, to fa jest mierzalna dla dowolnych a d" b. n (2) Je|eli mierzalne sa funkcje f-n dla n " , to f jest mierzalna. Zadanie 4.18. Niech (X, S, ) bedzie przestrzenia z miara, A " S, f, g : A ! oraz f = g -prawie wszedzie. Udowodni, |e f jest S-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy g jest S-mierzalna. Zadanie 4.19. Niech (X, S, ) bedzie przestrzenia z miara, A " S oraz f, g : A ! , fn, gn : A ! (n " ) beda funkcjami mierzalnymi. Udowodni, |e: (1) Je|eli fn ! f , to f jest -p.w. skoDczona. (2) Je|eli fn ! f i f = g -p.w., to fn ! g. (3) Je|eli fn ! f i fn ! g, to f = g -p.w. FUNKCJE MIERZALNE 4 (4) Je|eli fn = gn -p.w. dla n " i fn ! f, to gn ! f. (5) Je|eli fn ! f , to fk ! f, dla dowolnego podciagu (fk ). n n (6) Je|eli fn ! f , to afn ! a f dla dowolnego a " . (7) Je|eli fn ! f i gn ! g, to fn + gn ! f + g. Uwaga. Wlasno[ci (2) i (3) pokazuja, |e granica w zbie|no[ci wedlug miary jest wyznac- zona z dokladno[cia do warto[ci funkcji na zbiorze miary zero. Z wlasno[ci (4) wynika z kolei, |e modyfikacja wyraz w ciagu na zbiorach miary zero nie wplywa na granice. Pozwala to na rozszerzenie definicji zbie|no[ci wedlug miary na ciagi prawie wszedzie skoDczone (zami- ast skoDczonych). M wimy, |e ciag (fn) funkcji mierzalnych p.w. skoDczonych jest zbie|ny wed ug miary do funcji mierzalnej f je[li dla dowolnego ciagu (gn) funkcji skoDczonych takiego, |e fn = gn -p.w., zachodzi gn ! f. Zadanie 4.20. [trudne] Niech (X, S, ) bedzie przestrzenia z miara, A " S, (A) < " oraz f : A ! , fn : A ! (n " ) beda funkcjami mierzalnymi. Udowodni, |e je|eli fn (x) ! f (x) dla x " A, to fn ! f (czyli, |e na zbiorze miary skoDczonej zbie|no[ punktowa pociaga za soba zbie|no[ wedlug miary). Zadanie 4.21. Przyjmijmy f = 0 i fn = [n,"] dla n " . Pokaza, |e fn (x) ! f (x) dla x " , ale fn 1 f ((fn) nie jest zbie|ny wedlug miary Lebesgue a do f). Zadanie 4.22. Dowolna liczbe naturalna n mo|na w spos b jednoznaczny przedstawi w postaci: n n n = 2k + rn gdzie kn " *" {0} i rn " 0, 1, . . . , 2k - 1 . (1 = 1 + 0, 2 = 2 + 0, 3 = 2 + 1, 4 = 4 + 0, 5 = 4 + 1, 6 = 4 + 2, 7 = 4 + 3, 8 = 8 + 0, ...). Przyjmijmy rn rn + 1 In = , oraz fn = I ,[0,1] dla n " . n n n 2k 2k 1 Udowodni, |e ciag (fn) nie jest zbie|ny w |adnym punkcie przedzialu [0, 1], ale fn ! 0. Zadanie 4.23. Zbada zbie|no[ wedlug miary (Lebesgue a) oraz zbie|no[ punktowa ciag w funkcyjnych: (1) fn (x) = xn dla x " [0, 1]. x (2) fn (x) = dla x " [0, 1]. n x (3) fn (x) = dla x " . n 1 (4) fn (x) = dla x " . n (5) fn (x) = n dla x " . (6) fn (x) = [n,n+1] dla x " . (7) fn (x) = [q ,qn+21 ] dla x " , gdzie (qn) jest r |nowarto[ciowym ciagiem wszyst- 1 n- 2n n kich liczb wymiernych. Zadanie 4.24. Przyjmijmy oznaczenia takie jak w zadaniu 3.25 oraz dodatkowo P" = 1 2 , (" - ciag pusty). Dla dowolnego ciagu zero-jedynkowego (t1, . . . , tk) (k " *" {0}) 3 3 oznaczmy przez at ,...,tk, bt ,...,tk koDce przedzialu Pt ,...,tk, tzn. Pt ,...,tk = (at ,...,tk,bt ,...,tk). 1 1 1 1 1 1 FUNKCJE MIERZALNE 5 (1) Udowodni, |e k " k " 2tn 0 2 2tn 2 0 at ,...,tk = + + oraz bt ,...,tk = + + , 1 1 3n 3k+1 3n 3n 3k+1 3n n=1 n=k+2 n=1 n=k+2 " " 0 2 2 0 (w szczeg lno[ci a" = + , b" = + ). n=2 n=2 3 3n 3 3n Zdefiniujmy funkcje c : [0, 1] ! [0, 1]: " " tn 2tn ; x " C, x = , n=1 n=1 2n 3n c (x) = k tn 1 + ; x " Pt ,...,tk, k " *" {0} . 1 n=1 2n 2n+1 Funkcje c nazywamy funkcja Cantora. (2) Pokaza, |e c jest poprawnie okre[lona, tzn. |e dla dowolnego x " [0, 1] powy|szy wz r jednoznacznie okre[la warto[ c (x). (3) Udowodni, |e dla dowolnego zero-jedynkowego ciagu (t1, . . . , tk), funkcja c jest stala na przedziale [at ,...,tk,bt ,...,tk]. Obliczy warto[ci funkcji na przedzialach [a",b"] = 1 1 1 2 1 2 7 8 , , [a0,b0] = , , [a1,b1] = , , [a00,b00], [a01,b01], [a10,b10], [a11,b11]. 3 3 9 9 9 9 (4) Udowodni, |e funkcja Cantora jest niemalejaca i ciagla oraz |e przeksztalca przedzial [0, 1] na siebie. (5) Udowodni, |e c (C) = [0, 1], czyli |e funkcja Cantora przeksztalca zbi r miary zero (zbi r Cantora) na zbi r miary dodatniej. (6) Pokaza, |e dla dowolnego x " [0, 1] \ C, funkcja Cantora ma pochodna w x oraz 1 c (x) = 0, tzn. ma ona prawie wszedzie pochoda r wna zero. Zauwa|y, |e c (x) dx = 0 0 < 1 = c (1) - c (0) (calka rozumiana jest jako calka Lebesgue a z funkcji okre[lonej p.w. na [0, 1]). 1 Zadanie 4.25. Przyjmijmy f (x) = (c (x) + x) dla x " [0, 1] (c oznacza funkcje Cantora). 2 (1) Udowodni, |e f jest rosnacym homeomorfizmem przedzialu [0, 1] na siebie. Pokaza, |e zbiory f (C) i f ([0, 1] \ C) sa mierzalne w sensie Lebesque a oraz  (f (C)) = 1  (f ([0, 1] \ C)) = . 2 (2) Niech g bedzie funkcja odwrotna do f (g = f-1). Pokaza, |e istnieje zbi r A miary Lebesgue a zero taki, |e zbi r g-1 (A) jest niemierzalny (czyli przeciwobraz zbioru mierzalnego nie musi by mierzalny nawet dla homeomorfizmu).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
funkcje mierzalne2
Własność różnicy w sensie De Bruijna dla rodzin funkcji mierzalnych R Filipów
Geneza i funkcjonowanie mitu arkadyjskiego
Fundacje i Stowarzyszenia zasady funkcjonowania i opodatkowania ebook
integracja funkcji
FUNKCJA CHŁODZENIE SILNIKA (FRIC) (ZESPOLONE Z KALKULATOREM
ciaglosc funkcji2
Znaczenie korytarzy ekologicznych dla funkcjonowania obszarów chronionych na przykładzie Gorców
Funkcjonowanie zbiornikow wodnych i Makrofity
Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe
09 funkcje zmiennej rzeczywistej 3 4 pochodna funkcji
C w6 zmienne dynamiczne wskazniki funkcji

więcej podobnych podstron