3262347676

12

Wykłady /. ckonomclrii Jacka Osicwalskicgo

(2) =(X'X) ¹X' (korzystamy z założenia 2, że X jest znaną macierzą nielosową)( 2°)

<kxT)

Macierz C spełnia warunki macierzy G, a za wektor d przyjmujemy wektor zerowy, wobec czego P spełnia warunki estymatora liniowego.

Zajmijmy się nieobciążonością: chcemy dowieść że E(p) = p czyli że wartość oczekiwana estymatora MNK p to wartość nieznanego parametru wektorowego P.

E(P)₌E(Cy )₌C* E(y )₌C* E(Xp+£)₌C[E(Xp) + E(e)]₌C*E(XP)₌:CXp-I_kp-p

Kolejne przejścia mają następujące uzasadnienie:

Pierwsza równość jest z definicji i z zapisu p =Cy.

Druga równość to wyciągnięcie stałej przed wartość oczekiwaną :(2° ) X jest znany więc C = (X' X)^-1 X' j est stałą i można j ą wyprowadzić przed operator wartości oczekiwanej. frzecia równość jest z założenia 1° - podstawiamy za y.

Czwarta równość wynika z tego, że wartość oczekiwana sumy to suma wartości oczekiwanych, (suma musi być skończona, ale tu jest)

Piąta równość to z 4° E(£)=0.

Szósta bo wartość oczekiwana stałej to stała, X jest znany, a p nieznany, ale też stały.

Siódma równość wynika z tego, że CX = I tożsamościowo (X’X)''(X,X) to macierz razy swoja odwrotność, macierz jednostkowa to element neutralny w mnożeniu macierzy; CBDO.

Uwaga: dowód nieobciążoności p nie wykorzystuje założenia 5°, estymator MNK jest nieobciążony niezależnie od postaci macierzy kowariancji składników losowych.

Przystąpmy do wyprowadzenia zapisu klasy estymatorów liniowych nieobciążonych:

Element tej klasy to P = Gy + d, ale chcemy to zapisać jako P plus pewna poprawka.

Bierzemy macierz F taką, że F = G - C Czyli G = F + C

P = Gy + d = (F + C)y + d = p + Fy+d czyli zapisaliśmy estymator liniowy jako 0 + Fy + d Teraz szukamy warunków na F i d żeby był on nieobciążony:

E(p) = E(p) + E(Fy) + E(d) = p + E(Fy) + E(d) = p + F*E(y) + d

= P + FE(Xp + c) + d = p + FXp + d

F i d są stałe, skorzystano z dowodu nieobciążoności 0 w drugim kroku, reszta wnioskowania jak w poprzednio.

Wniosek:

Żeby p był nieobciążony FXp + d musi być równe 0 (wymagamy, byE(p) = P), by 0 był nieobciążony niezależnie od konkretnej wartości X, trzeba by FX = 0 i d = 0

Wobec tego klasę estymatorów liniowych i nieobciążonych zapiszemy:

B =