3262347677

13

Wykłady z ckonpmclrii Jacka Osicwalskicgo

Żeby dowieść nieobciążoności potrzebujemy macierzy V(j5). Ogólnie macierz kowariancji wektorowej zmiennej losowej to wartość oczekiwana iloczynu wektora kolumny odchyleń (wartość zmiennej minus jej wartość oczekiwana) przez siebie po transpozycji:

V(P) = E[(P-E(P))(P - E(P))']

czyli po podstawieniu E(P) = (5 z definicji nieobciążoności i p = jł + Fy z konstrukcji klasy:

V(P) = E[(P + Fy-PKP + Fy-P)'] a wektor tworzący tą macierz to:

p + Fy-p = Cy + Fy-p = C(Xp + E) + F(Xp + E)-p = CXp + CE + FXp + F£-p = (C + F)e (bo CX=I z czego już korzystaliśmy, a FX=0 z konstrukcji klasy)

zapiszmy:

V(P) = E[((C + F)e)((C + F)e)'] = E[(C + F)e e '(C + F)'] = (C + F)E( ee')(C + F)' =

= (C + F)V(e )(C' + F') = (C + F)(o²I_x)(C' + F') = o²(C + F)(C' + F') = o²(C'C + CF' + FC + FF')

Tu drugi krok wynika z własności transpozycji iloczynu macierzy (AB)’=B’A’, następnie wyciąga się stałe poza wartość oczekiwanąa E(£E')to jest definicja V(e)( bo V(e)=E[(e-E(e))(e-E(e))’] a E(e)=0 na mocy 4°), która na mocy założenia 5° ma postać V(£) = (T I j

Wartości poszczególnych składników sumy w ostatnim nawiasie to:

CC’=(X’X)'^IX’X(X’X)'^I=(X’X)'¹ {z własności transpozycji iloczynu i ponieważ macierz symetryczna jest równa swej transpozycji}

CF’=(X’X)’^lX’F’=(X’X)''(FX)’=(X’X)'^l*0=0 (j.w. i z własności klasy: FX=0)

FC’=(CF’)’=0

Ostatecznie:

V(p) = a²(X’X)'' +a²FF'

Po podstawieniu macierz A=o" FF’ ,czyli jest nieujemnie określona na mocy konstrukcji.

Dla p = p macierz F jest macierzą zawierającą wyłącznie zera (patrz konstrukcja macierzy F).

( na wykładzie 2001/2002 czyli obecnym była podobno inna końcówka dowodu, co warto by uzupełnić.)

Z powyższego wzoru widać, że macierz kowariancji dowolnego estymatora liniowego i nieobciążonego to macierz kowariancji p plus pewna macierz mająca elementy większe lub równe zeru na przekątnych, czyli żaden estymator liniowy i nieobciążony nie może mieć mniejszej wariancji od p czyli QED.

1.2.3 Twierdzenie o wariancji resztowej w KMRL

W KMRL z T>k (T=k odrzucamy) nieobciążonym estymatorem parametru a² jest tzw. wariancja resztowa dana wzorem: