3754969714

19

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

Stwierdzenie 2.4.11. Jeżeli p € M, x ę. ST_PM, to U(x,x) = K_x.

Dowód. Niech c oznacza przekrój normalny w kierunku x taki, że c(0) = p. Wówczas d(0) = x. Ponieważ c leży na M więc (d,noc) =0. Różniczkując ostatnią równość otrzymujemy:

(c"(0), (n o e)(0)) + (c'(0), (n o c)'(0)> = 0 Ponieważ K_x = (d'(0), (n o c)(0)), mamy:

K_x =    = -<c'(0),dn_p(^(0))) = n(c'(0),c'(0)) = n(«,a;)

□

Definicja 2.4.12 (przekształcenie samosprzężone). Niech V dowolna przestrzeń z iloczynem sklaranym, oraz A: V —» V pewien operator. Przez A* oznaczmy taki operator, że: A*: V —> V oraz V_x,yęv(Ax,y) = (x,A*y). Jeśli A = A*, to mówimy, że A jest operatorem (przekształceniem) samosprzężonym.

Fakt 2.4.13. Jeśli A: V —*V odwzorowanie liniowe, samosprzężone, posiada dwie wartości własne X\, A2 oraz v\,    są wektorami własnymi odpowiadającymi tym war

tościom własnym, to {v\,vf) = 0.

Dowód. Odwzorowanie A jest samosprzężone, więc {Av\,v<f) = (fi, Aof). Z definicji Av{ = AiV{, czyli mamy (Aiią, vd) = (v\, \2V2)- Stąd ^(^1,^2) = (fi, vd), co znaczy, że albo Ai = A2, albo {v\,V2) = 0, ale pierwsza możliwość jest wykluczona, bo zakładamy Ai ^ A2.    □

Stwierdzenie 2.4.14. a) Niech U 3 (£1,2:2)    > r{x\,xd) € M będzie lokalną parametryzacją M, p 6 M. Niech Af: U    i a = (r_Xl,r_X2) będzie

bazą T_r(_Xlir2)A/. Ponadto oznaczmy przez M_Q(II) macierz II w bazie a. Wówczas M_q(II) ma postać:

M_a{U) = [{.Af,r_XiX.)].

b)    II: T_PM x T_PM —* R jest formą dwuliniową symetryczną.

c)    dn_p: T_PM —> T_PM jest przekształceniem samosprzężonym.

Dowód, a) Ponieważ wektory r_Xl i r_X2 są wektorami stycznymi, a wartości Af są wektorami normalnymi, więc (Af,r_x.) = 0 dla j = 1,2. Stąd:

o =    = (K..r_xi) + (M, r_XjXi).

Zatem:

{M’,r_XjXi) = ~(Af_Xi,r_x.) = ~{dn(r_x.),r_x.) = U(r_Xi,r_Xj).

b) Ponieważ r_XlX2 = r_X2Xl, więc z punktu poprzedniego: II{r_Xl,r_X2) = U(r_X2,r_Xl). Liniowość wynika natomiast z liniowości pochodnej.