426907374

Wykład 3

17

Stąd

v(t) < U(t) < U(to)e'^r<‘-‘«>.

Jeśli C = O, to możemy je zastąpić dowolnym C\ > 0. Wtedy

v(t) < Ci + K ■ v(s)ds, Jt₀

zatem na mocy już udowodnionej części lematu v(t) < C_le^K(^{t to}\ Z dowolności Ci otrzymujemy v(t) < CeW-^ = 0.

□

Uwaga

Dla K < 0 lemat jest fałszywy. Dla przykładu rozpatrzmy funkcję stałą v: [0,1] —» R, ^v(t) = Funkcja ta spełnia założenia lematu Gronwalla dla C = 1, K = —1, gdyż

*>W ^{=    =} f_o ^v(^s)^ds’

dla t € [0,1]. Jednak dla t = 1 mamy

”(*) = \> e^_1.

Jeśli (3.1) zastąpimy analogiczną nierównością różniczkową, to lemat Gronwalla prawdziwy będzie w ogólniejszej wersji:

Lemat 3.2 (Gronwall - wariant różniczkowy) Załóżmy, że F: G —» R jest funkcją ciągłą, okreśłoną na zbiorze G C R x R, a v: [to,^i] —> R - funkcją różniczkowalną, spełniającą nierówność:

v(t) < F(t,v(t)) dla wszystkich t G [<o>^i] ^oraz    (3-3)

v(t₀) < x₀-

Niech x(t) będzie rozwiązaniem problemu Cauchy’ego:

x(t) = F(t,x(t)) dlat G [to,^i]j x(t₀) = x₀.

Wówczas, jeśli zachodzi jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy’ego (lokalna, tzn. dla każdych x, t istnieje zbiór K, jak w twierdzeniu Picarda-Lindelófa, na którym zachodzi jednoznaczność dla warunku początkowego x(t) = x, np. gdy F jest lipschitzowska względem x), to:

v(t) < x(t)