4292417163

7 Całki powierzchniowe

Całka powierzchniowa nieskierowana to trójwymiarowy odpowiednik całki podwójnej. W przypadku całki podwójnej obszar całkowania to dwuwymiarowy podzbiór płaszczyzny, tutaj natomiast obszarem całkowania jest dwuwymiarowy podzbiór dowolnej (”porządnej”) powierzchni, nazywany piatem. ”Porządność” definiujemy w ten sposób, że jeśli powierzchnia dana jest równaniem 2 = h(x,y), to funkcja h ma ciągłe obie pochodne cząstkowe. O płacie będącym fragmentem takiej powierzchni mówimy, że jest regularny.

Całka powierzchniowa nieskierowana

Niech S będzie płatem regularnym. Całką powierzchniową nieskierowaną z funkcji / po płacie S nazwiemy wyrażenie:

JJ_sf(x,y,z)dS

Interpretacja fizyczna tej całki to masa płata S o gęstości w punkcie (x,y, z) równej f(x,y,z).

Praktyczny sposób liczenia takich całek jest podobny do sposobu dotyczącego całek krzywoliniowych nieskierowanych. Jeśli S jest płatem regularnym danym równością 2 = h{x, y) i takim, że jego rzutem na płaszczyznę OXY jest obszar D, to całkę powierzchniową nieskierowaną po tym płacie liczymy według wzoru:

JJ_sf(x,y,z)dS = ff_Df(^x>y’ h(x,y))\/l + (h'_x(x,y))² + (h'_y(x,y))²dxdy

Przykład.

Policzmy całkę JJ_s(x² + y²)zdS po górnej połówce sfery x² + y² + z² = 1.

Zauważmy najpierw, że z uwagi na to, że 2 > 0, łatwo możemy wyznaczyć 2 z równania sfery:

2 = \J\-x² - y². Tak więc h(x, y) = \J 1 - x² - y² oraz jak łatwo policzyć:

V) =    K(x, y) =    x/l + (K(x,y))²+l,h'_y(x,y))² =

Oczywiście też rzutem D naszej połówki sfery na płaszczyznę OXY jest koło x²+y² < 1. Podstawiając więc do głównego wzoru (za każde 2 z funkcji podcałkowej wstawiamy h(x,y)) dostajemy:

Jf_s(x² + y²)zdS = JJ_D(x² + y²) ■ s/l-x²- y² ■ -j=^=dxdy = Jf_D(x² + y²)dxdy a tę całkę już bardzo łatwo policzyć przechodząc na współrzędne biegunowe.

Zastosowania fizyczne

Dla płata S o gęstości f(x,y,z):

•    masa to M = Jj~ f(x, y, z)dS, a objętość V = JJ1 dS

•    moment statyczny:

—    względem płaszczyzny OYZ to M_x = JJ~ xf(x,y,z)dS

—    względem płaszczyzny OXZ to M_y = yf(x,y,z)dS

—    względem płaszczyzny OXY to M_z = JJ zf(x, y, z)dS

15