4292417165

W szczególnym wypadku gdy nasz płat S jest brzegiem bryły B i jest zorientowany na zewnątrz, a ponadto bryła B jest obszarem normalnym względem wszystkich płaszczyzn układu współrzędnych - istnieje prostszy sposób policzenia całki powierzchniowej zorientowanej.

Zachodzi bowiem twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że w takim wypadku:

JJ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = JJJ (P!_c + Q'_y + R'_z)dxdydz

Przykład:

Policzmy całkę jf_sx³dydz + y³dxdz + z³dxdy po zewnętrznym brzegu sfery x² + y² + z² = 1.

Zauważmy, że spełnione są założenia tw. Gaussa - płat ogranicza pewną bryłę (kulę) i jest to bryła będąca obszarem normalnym względem wszystkich płaszczyzn. Ponadto: P"_x = 3x², Q'_y = 3y², R'_z = 3z². Stąd na podstawie twierdzenia dostajemy:

Jf_s x³dydz + y³dxdz + z³dxdy = 3 JJf_B (x² + y² + z²)dxdydz

a tę całkę potrójną już bardzo łatwo policzyć przechodząc na współrzędne sferyczne.

Ćwiczenia

7.1

Oblicz całki powierzchniowe niezorientowane:

a)    JJ + xyz)ds gdzie S jest częścią płaszczyzny x + y + z = 4, dla której x>0,y>0, z>0

b)    Jj^xyzds gdzie S jest górną połówką sfery x² + y² + z² = 1.

Oblicz całki powierzchniowe zorientowane:

a)    xydydz + xzdxdz gdzie S jest górną częścią płaszczyzny x + y + z = 4, dla której x>0,y>0,z>0

b)    JJ~ zdxdy gdzie L jest zewnętrzną częścią sfery x² + y² + z² = 1.

7.3

Oblicz całki powierzchniowe stosując twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego:

a)    JJ x²dydz + y²dxdz + z²dxdy gdzie S jest zewnętrzną częścią kostki 0<x<l,0<y<l,0<z<l.

b)    / / xdydz + ydxdz + zdxdy gdzie S jest zewnętrzną częścią sfery x² + y² + z² < 4.

17