4292417172

• Sposób 3: pozbycie się jednej ze zmiennych.

Jeśli x² + y² = 1, to y² = 1 - x² i rzecz jasna x € [-1,1], więc:

2x² - y² = 3x² - 1

Na przedziale [-1,1] największa wartość tej funkcji to 2, a najmniejsza -1, więc wynik jest jak poprzednio

Uwaga: przy badaniu ekstremów globalnych metodą mnożników Lagrange’a trzeba zadbać o to by obszar na którym badamy funkcję rzeczywiście był domknięty i ograniczony.

Ćwiczenia

2.1

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

a) /(x,y) = 8x² + y² -x²y³ -y+ 1 b) f(x,y) = x² + xy + y² -4x-6y c) /(x,y) = x³ + 3xy² + 12xy 2.2

Wyznacz ekstrema globalne funkcji:

^a)    /(x, y) = 3xy w obszarze x² +y² <2

b)    /(x, y) = x³ + y³ - 9 xy + 27 w obszarze 0<x<1,0<j/<1

c)    /(x, y) = x + 3y w obszarze x² + y² < 1

d)    /(x, y) = 2y - x w obszarze x² + 3y² < 4

3 Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji /(x,y) nazywamy wyrażenie: df = f'_xdx + f'_ydy

df to przyrost wartości funkcji, a dx i dy przyrosty argumentów. Różniczka zupełna daje nam zatem informacje jak zmiana argumentów wpływa na zmianę wartości funkcji.

Inną wersją tego wzoru jest przybliżenie (dla małych dx,dy):

f (x + dx,y + dy) *» /(x, y) + /'(x, y) • dx + fy(x, y) ■ dy

Pierwsza wersja służy przede wszystkim do szacowania błędu pomiaru, a druga do znajdowania przybliżonej wartości funkcji.

Przykład:

Znaleźć błąd pomiaru przyśpieszenia w ruchu jednostajnym a = |f jeśli przy pomiarach drogi i czasu wyszło s = 20m, t = 2s i znamy maksymalne błędy pomiarów: 0, lm dla drogi oraz 0,02s dla czasu. Mamy: a'_s = £ a'_t = -ff, czyli aś(20,2) = 0,5 i a{(20,2) = -5, a zatem: da = 0,5ds - 5dt

Jeśli chcemy oszacować maksymalny błąd pomiaru przyśpieszenia, to musimy oszacować wartość \da\ korzystając z nierówności trójkąta i faktu, że |ds| < 0,1 i \dt\ < 0,02:

|da| = 0,5ds - 5dt < 0,5\ds\ + 5\dt\ = 0,5 • 0,1 + 5 • 0,02 = 0,15

Oznacza to, że zmierzona wartość a(20,2) = 10 jest obarczona błędem co najwyżej 0,15

6