5469091774

e) Vz € C, e^z^ 0.

Przypuśćmy, że

e^z = 0 e^x(cosy + isiny) — 0 •<=>■ e^xcosy — 0 A e^xsiny — 0.

Ponieważ e^x 7^ 0 to cosy = 0 i siny = 0. Pierwsza równość zachodzi dla y = | + /c7r, druga zaś dla y = /c7r, gdzie k E Z. Ponieważ obie równości nie mogą zachodzić jednocześnie, otrzymana sprzeczność dowodzi, że e^z ^ 0 dla każdego z E C.

f) funkcja e^z jest okresowa o okresie podstawowym T = 2iri.

Dla k EZ korzystając z okresowości funkcji trygonometrycznych sinx i cosx mamy _ez+2km _ _e2g2fc7rj _    + isin{2kn)) = e^z(l + i0) = e².

g) funkcja e^z jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wykładniczej e^x.

Niech z = x + iO E R. Wtedy e^z = e^x(cos0 4- isinO) = e^x(l + iO) = e^x.

Uwaga 3.1

Zostanie później udowodnione, że funkcja wykładnicza e^z rozwinie się w szereg Maclaurina tzn.    ^

e² =    — dla każdego z E C.

1.    1 ""

3.2 Funkcje trygonometryczne

Funkcje cos z i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy następująco:

cosz :	e^tz + e ^tz	e^,z -
	2
sinz	e^lz — e~^tz	cosz ctgz = —— stnz
cosz	i{e^iz + e~^iz)'

Własności

a) Są to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z E C,

tgz dla z E {z € C : z ^ kir + k E Z}, ctgz dla z E {z E C : z ^ kn, k E Z}.

18