5469091777

Niech z = x + iO E IR. Wtedy

sinz = sinxchO + icosOshO = sinx + iO — sinx. cosz = cosxchO — icosxshO = cosx — iO = cosx.

sin2x    shO    2sinxcosx

tgz =

- -j-    _

cos2x + chO cos2x + chO 1 + (2 cos²x — 1)

= tgx.

e)    Funkcje trygonometryczne są okresowe tzn.

—    sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2tt.

—    tgz i ctgz o okresie podstawowym T = tt.

sin(z + 27r) =sin(x + iy + 2tt) = sin(x + 2n)chy + icos(x + 2'K)shy =sin{x)chy + icos{x)shy — sinz.

Dowód dla cosz jest analogiczny.

sin2(x + 7r)    . sh2y

^    ⁷¹ cos2(x + 7r) + ch2y ¹ cos2(x + tt) + ch2y

_ sin2x ^ ^ sh2y _ ^ cos2x + ch2y cos2x + ch2y

f) |s*7i2| = \Jsin²x + sh²y oraz |cosz| = y/cos²x + sh²y.

Ponieważ funkcja hiperboliczna shy jest nieograniczona, wynika stą, że w przeciwieństwie do funkcji rzeczywistych funkcje sinz i cosz są nieograniczone.

g)    sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcją parzystą tzn. sin(-z) — —sinz, coz(-z) = cosz.

h)    sin(ż) = sinz, cos(ż) = cósź tg{Ź) = tgz ctg(z) = ctgz.

i)    sin(z\ ± 22) — sinz\cosz-2 ± cosz\sinzi. cos{z\ + 22) = cosz\cosz-i — sinz\sinz2-cos(zi — 22) = COSZ1COSZ2 + sinzisinz2-

j)    Funkcje sinz oraz cosz przyjmują wszystkie wartości z płaszczyzny otwartej C.

Funkcje tgz i ctgz omijają dwie wartości i, —i, natomiast przyjmują wartość 00, tgz w punktach 2* = f + kn, ctgz w punktach 2*, = kir, k € Z.