5469091783

2 Funkcje zespolone

Definicja 2.1

Odwzorowanie

f:D=> C, DcC

z => w = f(z)

nazywamy funkcję zespoloną zmiennej zespolonej.

Argument 2 funkcji / i jej wartość w = /(z) rozkładamy na część rzeczywistą i urojoną tzn. z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten sposób rozkład funkcji

w — f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

na część rzeczywistą Re/(z) := u(x,y) i część urojoną Im/(z) := v(x, y).

Część rzeczywista i urojona funkcji zespolonej / jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych x,y.

Przykład 2.1

Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji /(z) =iz².

f(z) = iz² = i(x + iy)² = i(x² + 2 ixy — y²) = ix² — 2 xy — iy² = —2 xy + i(x² — y²).

Zatem

Re/(z) = u(x, y) = -2xy, Im/(z) = v(x, y)=x²-y².

Przykład 2.2

Dane są część rzeczywista u(x, y) = x — y i ui'ojona v(x, y) = 4xy funkcji zespolonej /. Przedstawić funkcję / jako funkcję zmiennej zespolonej z.

z + z    z — z

z = x + iy, z — x iy =>•    x=—^—,    y=—^—.

Podstawiamy

/(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x-y) + i4xy =    - (^r) ⁺ i4 (^T^) (^r)

8