5755073608

Następnie przechodzę do przekształceń i działań matematycznych powyżej wyprowadzonych równań. Różniczkując równanie (1.1) względem t otrzymuję:

dP(t)

dt

a

dN(t)

dt

+ N(t)■

da dt'

(1.5)

Przyrównując równania (1.4) i (1.5) otrzymuję:

c • I(t) — d ■ P(t) = a

dN(t) dt

+ N(t) ■

Uwzględniając (1.1) uzyskuję:

c ■ I(t) -da- N(t) = a ■    + N(t) ■

dt    dt

Przekształcając powyższą równość mogę wyprowadzić następujące równanie na przyrost zatrudnienia:

dt a    a dt

Wprowadzam kolejne uproszczenie modelu. Zakładam, że wydajność i efektywność siły pracowniczej jest stała w czasie oraz dopasowana do potrzeb przedsiębiorstwa. A zatem niech a będzie stałe, zoptymalizowane. Wtedy ^ = 0 i otrzymuję zależność:

dN(t)

dt

— - I(t) — d ■ N(t).

Wracam teraz do równania (1.3) i wstawiam zależności (1.1) i (1.2). Otrzymuję równanie dla dynamiki dochodu postaci

dY(t)

dt

a ■ N(t) - b ■ N(t) - G(t) - I{t).

W tym miejscu pomijam wartość G(t), gdyż wcześniej założyłam, iż jest dane, zoptymalizowane. Można więc przeskalować dochód

Y(t) ^ Y(t) - J G(s)ds,

0

co pozwala formalnie wyeliminować G(t) po prawej stronie równania.

Otrzymuję ostatecznie następujący liniowy układ równań różniczkowych opisujący przyrost dochodu oraz przyrost zatrudnienia w czasie:

( Y = {a - b) ■ N(t) - I(t)

| Ń = - ■ I(t) - d • 1V(t)    *^1,6*

v a

Sterowaniem są inwestycje J(f), a dokładniej intensywność inwestycji (środki na jednostkę czasu), zaś celem maksymalny dochód w końcowym czasie, czyli max Y(T). Zakładam, że w czasie to — 0 mam daną ilość pracowników N(0) = Nq oraz wartość początkową dochodu

9