5792343802

• równanie optymalnego kostanu

-A^t(«)a1 - A^T(t) = 0,

•    równanie optymalnego stanu

x(t) — Ax(t) — Bu(t) = 0,

•    równanie optymalnego sterowania

-A ^T{t)B + K_u{u(t)) = 0.

Ostatnie równanie można przepisać w postaci układu równań skalarnych dla poszczególnych zmiennych sterujących

Tak więc optymalne przebiegi zmiennych sterujących określone są dla zależnościami

u°{t) = u¹?^axsign(^_j \j = 1, ...,m.

Ponieważ charakter rozwiązania równania sprzężonego

A (t) = —A^T\(t)

zależy od charakteru wartości własnych macierzy stanu A, więc również i postać sterowania optymalnego zależy od tych wartości.

• Jeśli wartości własne si,s_2l ...,s_n macierzy stanu A są rzeczywiste jednokrotne, to zmienne sprzężone są sumami eksponent

Ai(t) = Cne^Slt + C_i2e^S2t + ... + C_ine^Snt, t € [t₀, h], i = l,..., n.

Lemat: Suma n eksponent może zmieniać znak w przedziale [to^i] nie więcej niż n — 1 razy.

Wniosek: Sterowanie minimalnoczasowe dla układu liniowego, którego macierz stanu posiada wartości własne rzeczywiste jednokrotne, przyjmuje wartości +u^^iax lub —u¹j^iax i zmienia znak w przedziale [to, ti] nie więcej niż n — 1 razy. Mówimy, że sterowanie optymalne jest w tym przypadku typu przekaźnikowego lub typu bang- bang.

4