5851989579

4.2. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

. 2n +1    ..    n    .    n!

^{a) =} ir+T^:    =

10"’

^d)«n = ;

e) fl„ =

f) a„

² + l-

6n + 10’    2"+3"’

4.3.    Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:

Q    Oj. _l i

a) lim ——- = — 1;    b) lim -^—= 0;    c) lim ln (2ⁿ — 5) = oo.

4.4.    Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:

3n — 1

a) lim -d) lim g) lim

i + 4 ’

b) lim

2n² + 1 ’

(n²⁰ + 2j (n³ +1)²⁰ (tt² + l) n! + 1

t- (2n — 1)

c) lim f) lim

n — 3 n³ 5ⁿ - 4”

5" - 3" ’

h) lim^ ^\fn² + 4n+l — \/n² + 2 nj; i) lim^ ^\Jn + 6 \/n + 1 — \/n^J.

(2n + l)(n+l)

4.5. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice:

a) lim

2n + (—1)" .

„fi 2    3~

d)    y- + ^2 + ^3 ;

g) lim

l-^l

[n/3\'

b) lim

n—oo n

e) lim \/n2ⁿ + 1; ,/ 3"+ 2"

c) lim 1/3 + si

f) lim |

² + l n² + 2

h) lim

i) lim "⁺v/3ⁿ + 4^nH

4.6. Korzystając z definicji liczby e ,    . \ 3n—2

a) lim (1 + — d) lim

Lista 5

b) lim

V 5" + 4"

twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:

/ 5n + 2 \

\ 5n + 1 /

5.1*. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć granice:

a) lim Vnⁿ + 5;    b) lim (4ⁿ + (—3)ⁿ);    c) lim (sinn—2)n²;

^d^n^o[(l⁺^) (^5_n) ]^{:    e}) («⁵-10n⁶+l);    f) Jh^ (-^= + -^=+.. .+-^)

5.2. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:

a) lim -d) lim l g) lim -

b) lim (n⁴ - 3n³ - 2n² - 1);

e) lim ^:

h*) lim -

L1H.

[ln(n + 1) — Inn

c) _nliin_o(l + 2ⁿ-3ⁿ); f) lim ^\/3 — cos —^ ; arctg2^,‘

') Jm, —=—■