6218157031

4 Prawdopodobieństwo klasyczne

Ze schematem prawdopodobieństwa klasycznego mamy do czynienia, gdy przestrzeń probabilistyczna jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne mają takie samo prawdopodobieństwo.

Przykład

(a)    Doświadczenie losowe: „jednokrotny rzut kostką” można rozpatrywać jako schemat klasyczny, bo zdarzenia elementarne, poszczególne wyniki, są jednakowo proawdopodobne (przy uczciwej kostce).

(b)    Doświadczenie losowe: rejestracja płci następnego noworodka można rozpatrywać jako schemat klasyczny, bo zdarzenia elementarne (urodziła się dziewczynka, urodził się chłopiec) są jednakowo prawdopodobne.

(c)    Doświadczenie losowe: „kolor następnego przejeżdżającego samochodu” nie jest schematem klasycznym, bo prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego zależy od ilości samochodów w danym kolorze (żółtych jest znacznie mniej niż czarnych i srebrnych).

□

W schemacie klasycznym prawdodpodobieństwo dowolnego zdarzenia zależy od liczby jego elementów. Jeżeli A C & i przez n{A) oznaczamy liczbę elementów w zbiorze A to

P(A)-

n(A)

n(e)'

Przykład

(Paradoks de Mere) Chevalier de Mere twierdził, że: skoro szansa na dwie jedynki w rzucie dwiema kośćmi jest 6 razy mniejsza niż szansa na wyrzucenie jednej jedynki w jednokrotnym rzucie kostką (sprawdzić!) to, aby wyrównać szanse trzeba rzucić 6 razy dwiema kośćmi. Zatem szansa na wygraną w zakładach „jedynka w czterech rzutach jedną kością” jest taka sama jak „jedynki na obu kościach w 24 rzutach dwiem kośćmi”. Dlaczego przegrywał w zakładach na dwie kości?

W 4 rzutach kością mamy 6⁴ możliwych wyników. Stosujemy schemat klasyczny, a więc trzeba obliczyć liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu „co najmniej jedna jedynka w czterech rzutach”. Wygodniej będzie obliczyć liczbę wyników, w których nie ma żadanej jedynki - bo to jest po prostu 5⁴. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A: „nie ma żadnej jedynki w czterech rzutach” jest równe

P(A) = ~^0,48

Zdarzenie z gry de Mere: „co najmniej jedna jedynka w czterech rzutach” jest uzupełnieniem zdarzenia A, a więc

P{M_X) = 1 - P{A) = 1 - 0,48 = 0,52.

Prawdopodobieństwo wygranej w drugiej grze obliczamy podobnie. W dwóch rzucie dwiema kośćmi możliwych jest 36 wyników, a w 24 rzutach 36²⁴. Ponieważ tylko jeden układ kości sprzyja wygranej (jedynka na obu kościach) to mamy 35 wyników niesprzyjających, a więc w 24 rzutach w 35²⁴ przypadków przegrywamy. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia M₂: „w 24 rzutach przynajmniej raz wypadną jedynki na obu kościach” można obliczyć tak

35²⁴

P(M₂) = 1 - P(M₂') = 1 - — « 1 - 0,51 = 0,49.

n

Kawaler de Mere przegrywał bo gra była niesprawiedliwa: P(Mi) > P(M₂).