8331099814

2. Opanowanie przez uczniów klas początkowych szkoły specjalnej

pojęcia liczby naturalnej

Liczby naturalne są to liczby 1, 2, 3,... Niektóre definicje zaliczają do nich również 0. Zbiór liczb naturalnych oznacza się symbolem N. Należą one bezsprzecznie do podstawowych pojęć matematyki.

Badania ciągu liczb naturalnych oraz działań dodawania, mnożenia, potęgowania, jak też innych funkcji na liczbach naturalnych idą w dwóch kierunkach. Pierwszy dąży do wyjaśnienia natury liczb naturalnych i działań na nich opierając się na najprostszych pojęciach matematyki i logiki matematycznej. Badania te zalicza się do podstaw matematyki. Drugi kierunek zajmuje się wykrywaniem różnorodnych związków pomiędzy liczbą naturalną a działaniami i zalicza się do teorii liczb.

W odniesieniu do pierwszego kierunku badań na czoło wysuwa się arytmetyka teoretyczna, czyli aksjomatyczna teoria liczb naturalnych i działań.

W 1891 roku G. Peano sformułował 8 aksjomatów, z których wynikają wszystkie znane reguły arytmetyki liczb naturalnych. Była to niejako pierwsza próba zdefiniowania zbioru liczb naturalnych. Tak zatem:

1) 1 * x + 1;

2)    jeżeli x + 1 = y + 1, to x = y;

3)    aby wiedzieć, że jakaś własność przysługuje wszystkim liczbom naturalnym, wystarczy sprawdzić, że ma ją liczba 1 i że ma ją jakakolwiek liczba x, to ma ją też liczba x+1 (tzw. aksjomat indukcji);

4)    x + (y + 1) = (x + y) + 1;

5)    x ■ 1 = x;

6)    x • (y + 1) = x • y + x;

7)    x' = x;

8)    x ^y+l = x^y • x.

Na podstawie tych aksjomatów można definiować inne pojęcia arytmetyki, np. mówi się, że x jest mniejsze od y, symbolicznie x < y, jeżeli istnieje liczba naturalna „z" taka, że x + z = y.

Liczby naturalne i działania x + y, x • y, x^y, a także podane wyżej aksjomaty arytmetyki można zdefiniować i rozwijać dedukacyjnie za pomocą teorii mnogości. Każdemu zbiorowi (skończonemu lub nieskończonemu) przyporządkowuje się liczbę kardynalną i dowodzi się, że liczba ta zależy tylko od liczebności zbioru. W ten sposób uzyskuje się konstrukcję pojęcia liczby, wywodzącą się od pojęcia zbioru. Liczby naturalne są to więc skończone liczby kardynalne. Aby zdefiniować liczbę kardynalną, dzieli się ogół wszystkich zbiorów na maksymalne klasy złożone ze zbiorów równolicznych. Liczby kardynalne są wówczas wybranymi, w pewien określony sposób, reprezentantami poszczególnych klas. Dla zbiorów skończonych, o których jedynie mowa na etapie nauczania początkowego, liczba kardynalna jest liczbą jego elementów.

Powstanie i gwałtowny rozwój teorii mnogości (G. Cantor) miało ogromny wpływ na dalszy rozwój matematyki, a także intensywny rozwój badań w dziedzi-

126