Zadania na pierwsza kartkówke

1. Rzucono trzy razy kostka do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pewien wynik
wystapi dok dwa razy.
ladnie

2. Z liter A, A, A, B, B, R, R, R u losowo wyraz. Jakie jest prawdopodobieństwo,
lożono
że jest to s RABARBAR?
lowo
3. Dane jest n patyków. Każdy z patyków prze luższy lek.
lamano na d i krótszy kawa
Nastepnie otrzymane 2n kawa laczymy losowo w pary. Obliczyć prawdopodobieństwo
lków

tego, że d kawa zosta po aczone z krótszymi.
luższe lki ly l

4. Ile jest różnych podzbiorów S zbioru {1, 2, . . . , 2n} takich, że jeśli k, l " S, to k + l =

2n + 1?
5. W urnie znajduje sie 2n kul ponumerowanych liczbami od 1 do 2n. Losujemy z urny

kolejno kule bez zwracania aż do momentu, gdy wylosujemy kule z parzystym numerem. Niech

k " {1, 2, . . . , n}. Czy zdarzenia: A  losowano k razy, B  ostatnia kula mia numer 2, sa
la
niezależne?
6. Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart każdemu. Jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że ustalony gracz ma w każdym kolorze co najmniej dwie karty?
7. Liczby 1, 2, . . . , 2n ustawiono losowo w ciag a1, a2, . . . , a2n.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że a2k > a2k-1 dla wszystkich k = 1, 2, . . . , n?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że a2n > a1 pod warunkiem, że zachodzi zdarzenie
z punktu a)?
8. W urnie znajduje sie pieć prawid sześciennych kostek do gry oraz jedna fa
lowych lszywa,

z samymi szóstkami. Wyciagamy losowo kostke z urny a nastepnie wykonujemy nia dwa rzuty.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy dwie szóstki?
b) Za óżmy, że wypad dwie szóstki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciagnieta kostka
l ly

jest fa
lszywa?
9. Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart każdemu. Jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że gracze N, S, E maja co najmniej jednego pika, jeśli W nie ma żadnego pika?
2
10. Strzelec A trafia do celu z prawdopodobieństwem , a strzelec B - z prawdopodo-
3
3
bieństwem . Oddano 6 strza ów: za każdym razem strzelcy rzucaja symetryczna moneta i w
l
4
przypadku wypadniecia or A oddaje strza w przypadku wypadniecia reszki strzela B. Jakie
la l,

jest prawdopodobieństwo tego, że
a) cel zosta trafiony 4 razy;
l
b) strzela tylko strzelec A, jeśli cel zosta trafiony 4 razy?
l l
Jaka liczba trafień jest najbardziej prawdopodobna?
11. Wybieramy losowo trzy punkty A, B, C na okregu. Obliczyć prawdopodobieństwo

tego, że trójkat ABC jest ostrokatny.

12. Na odcinku AB wybrano losowo punkt X, a nastepnie z d
luższego z odcinków AX, XB

wylosowano punkt Y (w przypadku gdy AX i XB maja te sama d losujemy z odcinka
lugość,

AX). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że z powsta trzech odcinków da sie zbudować
lych

trójkat.

13. Liczby 1, 2, . . . , 2n ustawiono losowo w ciag. Rozstrzygna ć, czy zdarzenia Ak = {ak <

a2n-k+1}, k = 1, 2, . . . , n, sa niezależne.
14. W urnie znajduja sie cztery kule ponumerowane liczbami 1, 2, 3, 4. Losujemy 5 razy

po dwie kule ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każda kula zostanie
wyciagnieta z urny co najmniej raz?

15. Rzucamy 6 razy prawid kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
lowa
piatka wypad co najmniej 2 razy, jeśli jedynka, dwójka, trójka i czwórka wypad po tyle
la ly

samo razy?
2
Zadania na druga kartkówke

1. Rzucamy 5 razy kostka. Niech X oznacza liczbe oczek w piatym rzucie,

a Y oznacza numer rzutu, w którym po raz pierwszy wyrzucono szóstke (jeśli

szóstka nie wypad to przyjmujemy Y = ").
la,
a) Wyznaczyć rozk X, Y .
lady
b) Czy Ã(X) Ä…" Ã(Y )?
c) Czy zmienne X, Y sa niezależne?
2. Zmienna losowa X spe warunek P(X < -t) = P(X > t) dla
lnia
dowolnego t " R.
a) Udowodnić, że dla dowolnego zbioru borelowskiego A mamy
P(X " A) = P(X " -A).
Uwaga: -A = {x : -x " A}.
b) Niech µ bedzie zmienna niezależna od X, o rozk P(µ = -1) =
ladzie

1
P(µ = 1) = . Udowodnić, że zmienne X oraz µX maja ten sam rozk
lad.
2
3. W urnie znajduje sie jedna bia kula. Wykonujemy nieskończony
la

ciag losowań: w każdym losowaniu wyciagamy kule z urny, odk
ladamy ja

z powrotem, oraz dok
ladamy do urny jedna czarna kule. Jakie jest praw-

dopodobieństwo tego, że nieskończenie wiele razy wyciagniemy bia a kule?
l

4. Zmienne losowe X, Y sa niezależne, przy czym zmienna X ma rozk
lad
wyk lad
ladniczy z parametrem  > 0, a Y ma rozk Poissona z parametrem
µ > 0. Obliczyć P(X > Y ).
5. Dana jest funkcja g : R R dana wzorem
a
g(x) = 1[0,")(x).
ex + 1
a) Wyznaczyć takie a > 0, by g by gestoÅ›cia pewnego rozk µ.
lo ladu

b) Niech X bedzie zmienna o rozk µ. Wyznaczyć taka funkcje
ladzie

rosnaca f : [0, ") [0, "), by zmienna f(X) mia rozk wyk
la lad ladniczy z

parametrem 1.
6. Zmienne losowe X, Y maja nastepujaca w
lasność: dla dowolnej liczby

rzeczywistej t mamy
P(t d" X d" t + 1) = P(t d" Y d" t + 1).
a) Udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej t zachodzi
P(t < X d" t + 1) = P(t < Y d" t + 1).
b) Udowodnić, że zmienne X, Y maja ten sam rozk
lad.
7. Zmienne X, Y sa niezależne, przy czym X ma rozk wyk
lad ladniczy z
parametrem , a Y ma rozk zadany równościa P(Y = -1) = P(Y = 1) =
lad
1 
. Zmienna losowa Z ma rozk z gestościa gZ(t) = e-|x|. Udowodnić, że
lad
2 2
zmienne XY oraz Z maja ten sam rozk
lad.
8. Rzucamy moneta aż do momentu, gdy wyrzucimy lacznie dwa or
ly

badz
gdy liczba rzutów bedzie równa 4. Niech X oznacza liczbe rzutów.

Obliczyć EX.
9. Gracz otrzyma 13 kart z 52. Niech X oznacza liczbe czarnych asów i
l

czarnych króli, które mu przypad Obliczyć EX.
ly.
10. Zmienna losowa X ma te w
lasność, że X oraz eX-1 maja ten sam

rozk Udowodnić, że P(X = 1) = 1.
lad.
11. Zmienne losowe X, Y spe warunek P(X e" t) = P(Y > t) dla
lniaja
każdego t. Udowodnić, że X i Y maja ten sam bezatomowy rozk
lad.
12. Zmienna X ma rozk jednostajny na odcinku [0, 1]. Wyznaczyć
lad
gestość zmiennej arctgX.

13. Dana jest pewna klasa K podzbiorów borelowskich R oraz dwie
miary probabilistyczne µ, ½ na R. Wiadomo, że K generuja Ã-cia zbiorów
lo
borelowskich (czyli Ã(K) = Ã(R)) oraz dla każdego A " K mamy µ(A) =
½(A). Czy wynika stad, że µ = ½?

Zadania na druga kartkówke

1. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk jednostajny na trójkacie o wierz-
lad

cho (0, 0), (1, 0), (0, 1).
lkach
a) Obliczyć Cov(X, Y ). Czy X, Y sa niezależne?
b) Obliczyć VarX oraz EY .
c) Wyznaczyć rozk X + Y .
lad
2. Zmienne losowe X, Y sa niezależne, przy czym X ma rozk wyk
lad ladniczy
z parametrem 2, a Y ma rozk jednostajny na odcinku [-1, 1]. Wyznaczyć
lad
2 2
gestość zmiennych X + Y oraz XY . Obliczyć kowariancje Y oraz X + Y .

3. Zmienna losowa X spe warunek P(X > t) = P(X < -t) dla
lnia
każdego t " R oraz P(X = 0) = 0. Udowodnić, że zmienne X/|X| oraz |X|
sa niezależne.
4. Zmienne losowe X, Y maja rozk z gestościami
lady

c
gX(x) = 4x-51[1,")(x), gY (x) = ,
1 + x4
odpowiednio (c jest taka liczba dodatnia, że gY ca sie do 1). Dla jakich
lkuje

wartości p moment p-tego rzedu zmiennej X + Y jest skończony?

Wskazówka: Skorzystać z nierówności trójkata. Zmienne X, Y nie

musza być niezależne.
5. Zmienna losowa X ma rozk “(, r). Wyznaczyć jej wartość ocze-
lad
kiwana oraz wariancje.

6. Zmienne losowe X, Y , Z sa niezależne, przy czym X ma rozk jed-
lad
nostajny na odcinku [-1, 1], a Y i Z maja rozk wyk
lad ladniczy z parametrem
1. Udowodnić, że zmienne (1 + X)/(1 - X) oraz Y/Z maja ten sam rozk
lad.
Obliczyć jego wartość oczekiwana i wariancje.

7. Zmienna losowa (X, Y, Z) ma rozk z gestościa
lad

g(x, y, z) = c(y + z)e-(x+y+z)1D(x, y, z),
gdzie D = {(x, y, z) : x e" 0, y e" 0, z e" 0}.
a) Wyznaczyć c.
b) Wyznaczyć gestość Y oraz gestość zmiennej (X, Y ). Czy X, Y sa

niezależne?
c) Wyznaczyć wspó
lczynnik korelacji zmiennych Y , Z.
d) Obliczyć P(X > Z).
8. Zmienna losowa X ma rozk Poissona z parametrem 1. Udowodnić,
lad
że dla t > 0 zachodzi nierówność
P(X > t) d" exp(e - 1 - t).
9. Zmienne losowe X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n e" 1
zmienna Xn ma rozk zadany przez P(Xn = 0) = 1 - 2-n, P(Xn = 2n) =
lad
2-n. Niech
Ä = inf{n e" 2 : Xn > Xn-1},
gdzie przyjmujemy inf " = +". Wyznaczyć rozk zmiennej Ä.
lad
10. Niech Åš bedzie zmienna losowa o rozk jednostajnym na odcinku
ladzie

[0, 2Ä„].
a) Udowodnić, że tgŚ oraz tg(2Ś) maja ten sam rozk Co to za
lad.
rozk
lad?
b) Udowodnić, że jeśli X, Y sa niezależnymi zmiennymi o rozk
ladzie
X
N (0, 1), niezależnymi od Ś, to oraz tgŚ maja ten sam rozk
lad.
Y
11. Zmienne losowe X, Y1, Y2, . . ., Yn sa niezależne, przy czym X
ma rozk wyk lad
lad ladniczy z parametrem 1, a Yk ma rozk N (0, 1), k =
1, 2, . . . , n. Udowodnić, że zmienna X ma ten sam rozk co
lad
n 1 1 1 n-1
+ +...+
2 4 2n
X1/2 2 |Y1||Y2|1/2|Y3|1/4 . . . |Yn|1/2 .
Wskazówka: Skorzystać z indukcji.
12. Zmienne losowe X, Y sa niezależne i maja rozk “(1, r), “(1, s),
lady
odpowiednio (r, s > 0). Zmienne U, V sa niezależne, przy czym U ma rozk
lad
“(1, r + s), a V ma rozk z gestoÅ›cia
lad

g(t) = ctr-1(1 - t)s-11[0,1](t),
gdzie c jest pewna liczba dodatnia. Udowodnić, że zmienne

(X, Y ) oraz (UV, (1 - V )U)
maja ten sam rozk
lad.
13. Zmienne losowe X, Y sa niezależne, przy czym P(X = -1) = P(X =
1) = 1/2, a Y ma rozk z gestościa g(x) = 3x21[0,1](x). Wyznaczyć gestość
lad

zmiennej X + 2Y .
Zadania na czwarta kartkówke

1. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozk z gestościa
lad

g(x, y) = c(2x + y)e-x-y1D(x, y),
gdzie D = {(x, y) : x e" 0, y e" 0} i c jest pewna liczba dodatnia. Wyznaczyć

macierz kowariancji zmiennej (X, Y ).
2. Dane sa niezależne zmienne losowe X, Y1, Y2, Y3, . . ., przy czym dla
k = 1, 2, . . ., Yk ma rozk N (0, k) i wiadomo, że ciag (XYn) jest zbieżny
lad

p.n.. Udowodnić, że X = 0 p.n.
3. Dany jest ciag (Xn) (niekoniecznie niezależnych) zmiennych losowych

takich, że dla każdego n zmienna Xn ma rozk Bernoulliego z parametrami
lad
4, 1/3. Udowodnić, że szereg
"

Xn
n6
n=1
jest zbieżny p.n..
4. Zmienne losowe X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla k = 1, 2, . . .
Xk ma rozk normalny o średniej 3-k i wariancji 1. Udowodnić, że ciag
lad


X1 + X2 + . . . + Xn
n
jest zbieżny p.n.. Wyznaczyć granice.

5. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych takich, że dla

n = 0, 1, . . ., Xn ma rozk wyk
lad ladniczy z parametrem n. Udowodnić, że
Xn 0 wed prawdopodobieństwa. Czy (Xn) jest zbieżny p.n.? Czy (Xn)
lug
jest zbieżny w L2?
n6. Zdarzenia A1, A2, . . . sa niezależne. Niech pn = P(An) oraz Nn =
1A , n = 1, 2, . . .. Udowodnić, że
k=1 k
Nn p1 + p2 + . . . + pn
- 0
n n
wed prawdopodobieństwa, gdy n ".
lug
7. Zmienne losowe X1, X2, . . ., sa niezależne i maja rozk jednostajny
lad
na odcinku [0, 1]. Wykazać, że ciag zmiennych

X1X2 + X2X3 + X3X4 . . . + XnXn+1
, n = 1, 2, . . . ,
n
jest zbieżny prawie na pewno i wyznaczyć jego granice.

8. Dany jest ciag (Xn) niezależnych nieujemnych zmiennych losowych o

tym samym rozk takich, że EXn = ". Udowodnić, że
ladzie
X1 + X2 + . . . + Xn
" p.n..
n