8416072471

(1.15) Zadanie interpolacji (wielomianowej, globalnej) Hermite’a

Dla danej funkcji /, oraz danej tablicy węzłów i krotności

Xo X\    X2 • • • x_n

mo mi rri2 • • • m_n

znaleźć wielomian Pm stopnia < M = (Y)f=o^mj) ~ 1 taki, że (1.15). P^m (%j) = f^{a)(xj) j = 0,1, • • • ,n ; s = 0,1, • • • ,rrij — 1

Twierdzenie 1.5 Zadanie interpolacyjne Hermite’a (1.15) dla funkcji f dostatecznie regularnej ma jednoznaczne rozwiązanie.

Dowód. Zadanie 1.7 Udowodnić Twierdzenie 1.4.

Wskazówka: Zapiszmy: Pm{%) = UjxK Teraz widać, że zadanie (1.15) polega na rozwiązaniu układu równań liniowych algebraicznych, z którego należy wyznaczyć współczynniki ao, ai, • • •, Wypisz postać macierzy tego układu, oraz udowodnij, że przy przyjętych założeniach jest ona nieosobliwa. □

Uwaga

•    Z podobnych względów jak w przypadku interpolacji Lagrange’a, układ równań z zadania interpolacyjnego (1.15) przy większych wartościach n, nie jest na ogól używany do numerycznego wyznaczania wielomianu interpolacyjnego Pm-

•    Interpolacja Hermite’a może być uważana za graniczny przypadek interpolacji Lagrange’a, gdy pewne węzły interpolacji w granicy sklejają się. Stąd można łatwo wyprowadzić wnioski co do szacowania błędu tego rodzaju interpolacji.

Dość wygodny algortm realizujący zadanie interpolacji Hermite’a jest oparty na różnicach dzielonych. Aby go opisać musimy zdefiniować różnice dzielone z powtórzeniami.

Różnicę dzieloną o różnych węzłach xo, X\, • • •, x_n z powtórzeniami odpowiednio ko, k\, • • •, k_n razy oznaczamy symbolem:

f[x₀k₀,xiki, • • ■ ,x_nk_n].

14