8416072483

Uwaga. Mamy tu jeszcze jedno przedstawienie wielomianu P_n przy pomocy bazy newtonowskiej podprzestrzeni wielomianów stopnia < n:

1,

X — Xq,

(x - x₀)(x ~ Xi), (x — Xo)(x — X\) • • • (x — X_n-i).

Współczynnikami rozwinięcia są w tym przypadku, różnice dzielone. Dowód. (Indukcja względem n.)

Sprawdźmy najpierw, że wzór (1.6) wyznacza wielomian interpolacyjny La-grange’a dla n = 1.

Pl(x) = f(x o) +

Xi - *0

(x - Xo).

Stąd

P\(x o) = f{x o),

Pi{xi) = f(xo) +    —£^-{xi - Xo) = f(xi).

Xi - x₀

Ponieważ Pi jest stopnia < 1, jest to zatem wielomian interpolacyjny dla węzłów #o i X\.

Zadanie 1.2

Wykonać krok indukcyjny. Wskazówka: Zakładamy, że wzór (1.6) zachodzi dla dowolnego układu k węzłów Xi₀, x^ • • ■, Xi_k_₁. Udowodnić, że wzór ten przedstawia też wielomian interpolacyjny dla węzłów Xo,X\, • • • ,Xk■ Trzeba zauważyć najpierw że

P_k{x) = P_k-i(x) + /[x₀,xi, • • • ,x_k-i,x_k](x - x₀)(x — o?i) — (a? — x_k-₁),

i następnie sprawdzać, że P_k(xj) = f(xj), najpierw dla j = 0,l,2,---,fc—l,w końcu dla j = k, wykorzystując to, że różnice dzielone nie zależą od porządku argumentów.

7