9414912336

Wstawiamy on, A_n, ai₂, A_l2, a_i3, A_l3 do wzoru :

d etA = 3 • 10 + 0 • (-4) +1 • 23 = 53

ad. 3) Wzór przybiera postać:

detA = Oj3 • A\3 + 023 ’ -^23 + O33 • A₃₃

Wystarczy tylko obliczyć dopełnienie algebraiczne A₃₃, bo 023 = 0, a A_i3 = 23 (por. 2). Ponieważ ^33 = (-l)^³ • | 2 5 | = ¹⁵’ ^wi?^c

deU = 1-23 + 2-15 = 53

Przykład 2. Obliczyć wyznacznik n-tego stopnia, n ^ 2,

1    2    3    ...    n

0    2    3    ...    n

0    0    3    ...    n

0    0    0    ... n

Rozwiązanie. Zastosujemy rozwinięcie Laplace’a względem n-tego wiersza tego wyznacznika, a następnie - w kolejno otrzymywanych wyznacznikach - względem ostatniego wiersza:

1    2    3    ...    n

0    2    3    ...    n

0    0    3    ...    n

0    0    0    ... n

1    2    3    ...    n -1

0    2    3    ...    n —    1

= n •    0    0    3    ...    n —    1 =

0    0    0    ...    n —    1

= n-(n- !)•

2    3

2    3

0    3

n — 2 n— 2 n- 2

= n-(n— l)-...-l = n!

Twierdzenie (własności wyznaczników)

1.    Jeżeli w wyznaczniku występuje wiersz zerowy (złożony z samych zer), to wyznacznik jest równy

0.

2.    Jeżeli wszystkie elementy danego wiersza zawierają wspólny czynnik, to ten czynnik można wyłączyć przed wyznacznik.