9414912958

Zadanie 33 [5.8.7]

a)    W wierzchołkach podstawy sześcianu o krawędzi a = 2 umieszczono jednakowe masy m = 1,

a w pozostałych wierzchołkach jednakowe masy M = 3. Obliczyć moment bezwładności tego układu względem pionowej osi symetrii sześcianu.

b)    W wierzchołkach czworościanu foremnego o krawędzi a= 1 umieszczono jednakowe masy m. Obliczyć moment bezwładności tego układu względem prostej łączącej środki skośnych krawędzi czworościanu.

c*)Wykazać, że moment bezwładności względem dowolnej prostej układu punktów materialnych o łącznej masie równej m wyraża się wzorem Steinera I = Io + md², gdzie /o jest momentem bezwładności tego układu względem prostej przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do początkowej prostej, a d jest odległością obu prostych.

d*)Tensorem bezwładności układu punktów materialnych w przestrzeni o wektorach wodzących r\,

7*2, r„ i masach równych odpowiednio m \, wi2..... m„ nazywamy macierz symetryczną postaci

" h /„ /„"

1= I„ 1, I_n •

. U I„ 'z .

gdzie I_x, I_y, I_z są momentami bezwładności tego układu względem osi Ox,Oy,Oz oraz Ixy = —Z/Li ntiXiyi, I_xz = —L/L| mjXjZi, Iyz = —EJL1    . Uzasadnić, że moment bezwładności

tego układu względem prostej / o unormowanym wektorze kierunkowym v^T = [a, b, c] przechodzącej przez początek układu współrzędnych wyraża się wzorem I_v = v^rI v.

Uwaga. Dla dowolnego wektora niezerowego v jest spełniona nierówność v^T\ v > 0 oznaczająca z definicji, źe macierz I jest nieujemnie określona.

Zadanie 34 [5.8.9]

—>    —>    —> —>

a)    Obliczyć moment siły F = 3 i + 5 j — k przyłożonej w punkcie P = ( 1,0,—1 ), względem punktu Q = ( 2,0, — 3 ).

b)    Obliczyć moment siły F = 5 N działającej stycznie do obwodu koła rowerowego o średnicy d— lm, względem osi obrotu.

Zadanie 35 [5.8.11,5.8..12]

a) Obliczyć siłę, z jaką masy m 1 = 1, rti2 — 2, m-s = 3, mą = 4 rozmieszczoe w wierzchołkach kwadratu o boku a = 2 przyciągają masę punktową M= 1 znajdującą się na wysokości h = 1 nad środkiem tego kwadratu..

b*) Zbadać, czy siła przyciągania grawitacyjnego masy punktowej przez układ punktów materialnych jest równoległa do wektora łączącego masę punktową ze środkiem masy tego układu.

Zadanie 36 [5.31P] W punktach P\ = ( 0,1,— 3 ), P2 = ( 7,—3,2 ), Pj=( 1,4,2 ) są umieszczone odpowiednio masy m 1 — 3, n%2 = 1, ffl3 = 2.

a)    Wyznaczyć położenie środka masy tego układu.

b)    Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem osi Ox.

c)    Obliczyć moment bezwładności podanego układu mas względem prostej lX = y = 3z-

d)    Obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego masy M = 4 znajdującej się w początku układu współrzędnych przez podany układ mas.

Zadanie 37 [5.3 IZ] W wierzchołkach sześcianu o krawędzi a =10 są umieszczone punkty materialne o masach odpowiednio m 1 = 1, rri2 = 2,    = 3, m\ =4, m$ = 5, me = 6, m? = 7, m% = 8. Masy