9414913081

0		1		i
1	. fa =	i	, f3 =	1
2		—i		1

Odp.: W przypadku i) widać gołym okiem, że są liniowo zależne nad R¹ bo równanie Aiei + A2e2 + A3e3 + A4e4 = 0 ma rozwiązanie Ai = A2 = A4 = A, A3 = —2A dla dowolnego A, a skoro są liniowo zależne nad R¹ to i nad C¹ też, bo R^l C C^l. W przypadku ii) rozwiązujemy równanie £ifj + £jf₂ + ^3 = 0, czyli układ

£₂ + *& = 0 ,

6 + i& + £3 = 0 ,

26-*6 +& = 0.

Dodając pierwsze pomnożone przez i do trzeciego dostajemy = 0. Uwzględniając to z drugiego dodanego do trzeciego znajdujemy 2£₃ = 0 czyli £3 = 0 i wtedy (z pierwszego) £2 = 0 też. Zatem wektory fi, f2, f3 są linowo niezależne nad obydwoma ciałami.

Zadanie 4

Dowieść, że wektory

	2 '		2 i '		1'
W! =	i —i	w2 =	-1 1	w3 =	2 3

są liniowo zależne.

Odp.: Rozwiązujemy równanie XiWi + x₂W2 + I3W3 = 0, czyli układ

2x\ + 2ix2 + Xz = 0 , ix 1 — X2 + 2xs = 0 ,

—ix 1 + rr₂ + 3rc₃ = 0 .

Dodanie drugiego do trzeciego daje x₃ = 0. Wtedy pierwsze sprowadza się do X\ +ix₂ — 0, a drugie do ix\ — x₂ = 0, czyli do pierwszego pomnożonego przez i. Zatem szukanym rozwiązaniem jest X2 = ixi, = 0 i x\ dowolne. Ponieważ albo X\ albo x₂ jest zespolone (albo nawet oba) to wektory wi, W2 oraz W3 są liniowo zależne nad C¹, ale nie nad R¹.

Zadanie 5

Dowieść, że jeśli wektory e_l5 e₂ oraz e₃ są liniowo niezależne (nad R^l lub C¹) to takimiż są wektory

fi

f₂

f₃

= e! + e₂ + e₃ , = ej + e2 ,

= e₂ + e₃ .

2