9414913082

Odp.: Jak zwykle pytamy, czy z faktu, że Aifi + A2fh + Asfji = 0 wynika, że Ai = A2 = A3 = 0. Wiemy teraz także, iż równanie £iei + £₂e₂ + £363 = 0 ma tylko rozwiązanie £1 = £2 = £3 = 0. Piszemy więc:

0 = Ai fi 4- A2f2 + Asf3 = Ai(ei + e2 + 63) 4- A2(ei + 62) + A3(e2 + 63)

= (Ai + A2)ei 4- (Ai + A2 + As)e2 + (Ai + A3)e3

Zatem na mocy założenia musimy mieć Ai + A2 = 0, Ai + A2 + A3 = 0 i Ai + A3 = 0. Drugie z pierwszym daje A3 = 0, wtedy trzecie daje Ai = 0 i na koniez z drugiego wynika wtedy że i A2 = 0.

Zadanie 6

Dowieść, że następujące zbiory wektorów-funkcji (tj. wektorów z przestrzeni V — Map(R¹,R¹))

są liniowo niezależne
a)	sinx, cosx ,
b)	1, sinx, cos a; ,
c)	sinx, sin 2x,	, sin nx
d)	1, cos x, cos 2x,	..., cos nx
e)	1, cos x, sin x,	cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx .
Odp.:	W przypadku a) jest jasne, że	A sin x + £ cos x = 0 może dla wszystkich x €

(a, b) C R¹ zachodzić tylko dla A = £ = 0: jeśli x = kn i x = lir + ^tc należą do (a, b) to jest to trywialne, jeśli nie, to można zróżniczkować i ma się A cos x — £ sin x = 0 oraz A sin a:+£ cos x = 0 i znów jedynym rozwiązaniem obu dla wszystkich a;-ów jest A = 0£ = 0. To samo w przypadku b): 771 + A sin a; + £ cos a: = 0 dla wszystkich x € (o, b) C R¹ też wymaga 77 = A = £ = 0. W przypadku c) możemy posłużyć się indukcją. Zakładamy, że wektory te są liniowo niezależne dla jakiegoś n (dla n = 1 jest to oczywiste) i sprawdzamy, czy z tego wynika to samo dla n + 1, to znaczy, że

f(x) = Ai sin x + A2 sin 2x + ... + A„ sin nx + A_n+i sin(n 4- l)a: = 0 ,

(symbol = przypomina, że ma to być 0 dla wszystkich x) tylko dla Ai = A2 = A_n = A„+i = 0. Skoro ma to zachodzić dla wszystkich x to znaczy że i

(P

—r/(x) = —Ai sina: — 2²A₂ sin2a: + ... — n²A„ sin na: — (n 4- l)²A_n+i sin(n + l)x = 0 . aa4

Mnożymy f{x) przez (n + l)² i dodajemy do tego tu wyżej, co da

[(n 4-1)² — l]Ai sin x 4- [(n 4-1)² — 4]A₂ sin 2a: + ... 4- [(n 4-1)² — n²]A„ sin na; = 0 ,

To zaś na mocy założenia o liniowej niezależności wektorów sina:, sin2a:, ..., sin na: oznacza, ze [(n + l)² — 1]Ai = [(n + l)² — 4]A₂ = • • ■ = [(n + l)² — n²]A„ = 0. Stąd zeru muszą być wszystkie Aj o i = 1,... ,n z wyjątkiem ewentualnie /c-tej, o takim k,

3