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theoremes, il sera commode de se servir de la notion auxiliaire suivante:

85.    Le nombre Cardinal m jouit de la propiete P, lorsque aucun nombre V ne satisfait a la formule: m < .V < 2^m.

Voici, maintenant, les resultats plus importants de MM. Lindenbaum et Tarski (obtenus, il est clair, sans l’axiome du choix):

86.    Si m jouit de la proprete P et m <1 n, on a 2^m < 2”.

87.    Si m jouit de la propriete P et n<2^m, on a it^m.

88.    Si ni et m -f- n jouissent de la propriete P, on a: ni •< n ou u < m.

89.    Si les nombres nt, 2^m et 2“ jouissent de P, ils sont des alephs.

90.    Si les nombres nr et 2^m'^! (m=ł=0) jouissent de P, ils sont des alephs (donc aussi iti et 2^m le sont).

91.    Si 2** jouit de la propriete P, on a: X_{/ t} l<C2^N«.

92.    Si K_a et 2*^Sr* jouissent de P, on a N_a__f_₁=2^s*.

93.    Si K_a et    jouissent de P, on a N_y>1 = 2‘^s*.

94. L’hypothese Dj entraine l’axiome du choix.

95. L’hypothese D_} equivaut au systeme (au produit logi-

que) de deux propositions: de l’axiome du choix et de I’hypothese D₂ (resp. D₃).

96.    Les hypotheses D₂ et D₃ sont equivalentes.

C. Resultats obtenus a l’a i d e de l’axiome du c h o i x.

En 1923 — 1926, M. Ta r s k i a obtenu les resultats suivants qui completent ses recherches anterieurement publiees ') sur la multiplication et sur les puissances des alephs.

97* (T). a et p etant des nombres ordinaux de seconde espece, si a = lim il existe un tel reste p du nombre ł3(p4=0)

S<P

que l’on a:

II = «!•

0 Fund. Math. 7 (1925), pp. 1-14.