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Alors f est une transformation isometrique (c.-a.-cL:p (f(a_x)₉ /M=

= p (a_v a₂)) et A = B.

Les resultats de MM. Kirszbraun et Lindenbaum conduisent aussi au theoreme suivant:

5 (£,). Soit A un ensemble borne dans 1’espace euclidien, et / — une fonction definie pour les points de A de faęon que l’on ait: I_f(A)dA et p    f (a₂))^> P (a_v a₂). Alors / est une

transformation isometrique et l_f(A) = A.

Pour aller plus loin, nous introduisons quelques notions:

A — B veut dire qu’il existe un nombre n ni tel que les ensembles A et B se decomposent en u parties disjointes (vides ou non) respectivement congruentes.

Donc A=LZ3 signifie que A = B.

A = B^]): il existe un nombre fini m tel que A = B-

On etablit aisement les proprietes fondamentales des rela-tions ainsi definies^{1 2}):

6.    ^mz est une relation symetrique et transformante. Pour m K₀, elle est encore transitive et completement additive³).

En utilisant les theoremes du § 2, on arrive aux proprietes plus profondes des relations considerees; donc, p. ex.:

7.    Si A*'.A + B_} et A"±A + B_v alors    + B_x + B₂

(si 6j-6₂ = 0, on peut remplacer m₂-f-2 par m₂ —j— 1).

8.    Si AŁMCLB et B±-NdA> alors A^B et M^N. D’ou, le cas special le plus important:

9.    Si AdBdC et A^=C, alors A^B^C.

On aura meme:

10.    Si AdBdCy A_xdC_v AŁA₁ et CiC_p alors il existe un ensemble 6, tel que Ton a: A_ldB_]dC_l et B ^m*tⁿ B_v

De plus, si AdBdC, et A et C sont „presque equiva-

1

^]) Banach et Tarski, 1. c., Def. 2, p. 246.

2

) L'axiome du choix intervient souvent dans les th. 6—12 dans un cas special, lorsqu’il s’agit des nombrcs m, u etc. non-finis. Cependant, nous n'en ferons mention que dans ces cas ou il intervient en outre d’une faęon plus essentielle.

3

») Cf. § 2.