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lents par decomposition denombrable” '), A et B ou B et C le sont aussi; car on a le theoreme:

11 (L). Si AdBda A = A_X+Ay C=C₁ + C₂,

A\ • A₂ = 0— Cj • C_v A_x "ICp et A₂ avec C₂ appartiennent a une

classe K d’ensembles qui remplit les conditions:

si X £ K et X_x d X, alors X_] £ K; si X_t £ K (pour / = 0,1,2....),

alors I X:zK>; si Xs¥L et X~ Y, alors yeK; —

/=o

on a alors les decompositions:    A = A₃-f- A_v B = B₃-\- B_u

A₃. A_ą = 0 = B₃. B_v A₃'*¹ B_v A_a £ K, B_ą £ K (de meme, pour B et C on obtient une decomposition semblable).

12*. Si AfŚAp    A_l.A₂ = 0 = B_l.B₂ et A_x +

+ A₂ ^v 6, +S₂, on a: A_l

Un ensemble linćaire borne, comme on voit sans peine, n’est pas superposable avec son vrai sous-ensemble. Cependant:

13    (L). U existe un ensemble lineaire borne A dont un vrai sous-ensemble B remplit la formule; A Ł B.

(Soit, a cet effet, A — 1’ensemble de tous les points x_k=ka — Eka (k = 0, 1, 2...; a —irrationnel), B — 1’ensemble

obtenu de A, en y supprimant le point at₀ =0).

14    (L). Pour qu’un ensemble soit equivalent a son vrai sous-ensemble, il faut et il suffit qu'il contienne un sous-ensemble denombrable avec la meme propriete.

15    (T). Si A et B sont des ensembles lineaires bornes et superposables, on a: A — B = B — A.

Plus generalement;

16    (T). Si A et B sont des ensembles bornes dans 1’espace euclidien a 3 dimensions, et s'il existe une transformation isometrique de A en B qui n’est ni une rotation d’un angle incommensurable avec ni une telle rotation combinee avec la symetrie par rapport a un plan, — alors A — B-_f-B — A.

17    (T). Si A et B sont des ensembles compacts fermes et congruents, on a: A — B B — A.

C’est une generalisation du th. 8 de la notę citee de M. Lindenbaum. M. Tarski a obtenu, ayec le concours de

’) V. Banach et Tarski, 1. c., Def. 3, p. 270.