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Otton Nikodym.

Przykład zbioru zamkniętego w przestrzeni trójwymiarowej, dla Którego zbiór jego punktów odcinkowo dostępnyck jest niemierzalny

w sensie Borela.

Przedstawił W. Sierpiński dn. 11 listopada 1926 r.

Sur un ensemble ferme (a 3 dimensions), dont les points accessibles forment un ensemble qui n’est

pas mesurable (B).

§ 1. Dans le tome VII des Fundamenta Matfpematicae ') j ai indique un exemple d’un ensemble ferme, situe dans 1’espace a 3 dimensions, cet exemple etant tel que tout ses points qui sont rectilineairement accessibles, forment un ensemble qui n’est pas mesurable (B). Le but de cette communication est d'en donner la demonstration ~). Je demontrerai de plus que l'ensemble en question fournit en meme temps un exemple d'un ensemble ferme, pour lequel 1'ensemble de tous ses points, qui sont accessibles par des arcs simples, n'est pas mesurable (B).

§ 2. Soit E un ensemble (A) borne mais quelconque, situe sur l'axe r= 0 d'un systeme des coordonneescylindriques (x,r/*)

^!) Sur les points rectilineairement accessibles des ensembles (A)plans.

-) Pendant les corrections des epreuves de mon article cite ci — dessus, M. P. Alexandroff communiqua dans une lettre ecrite a M. Sierpiński (comparez la notę en bas de page dans mon article en ce qui concerne une lettre de M. P. A 1 e x a n d r o f f, envoye anterieu-rement, avant que le travail cite ne fut donnę a Pimpression) un exemple presque identique avec le mień. Je ne pas pu citer le contenu de cette lettre a cause du manque de place et surtout, parce que rexemple ne m’a pas paru suffisamment clair. Cet exemple du a P. Urysohn est a present publie par M. Alexandroff dans les Koninklijke Aeademie Van Weten-scbappen Te Amsterdam, Proceeding Vol XXVIII Nr. 10. P. Urysohn: Sur les points accessibles des ensembles fermes p. 984—993. Dans une notę en bas p. 984 dans cet article, redige par M. Alexandroff, on trouve que P. Urysohn connaissait avant moi l’exemple en question et meme en 1923. M. Alexandroff a indique l’exemple en question sans en avoir donnę la demonstration.

On y lit: p. 992 ligne 4—7: „une analyse facile montre que les deux ensembles L et L^ coincident dans notre cas et que Tensemble de ceux-la parmi les points accessibles de Pensemble F, qui sont situes sur l’axe OZ, est precisement Pensemble (A) que nous venons de placer sur cette axe”.