1629289595

14 Wielościany

Dowód. Niech p G dW

Istnieje zatem ciąg punktów pi,p2, ■■■ $ W taki że g(pi,p) < \-

Z każdym z tych punktów związujemy pewną hiperpłaszczyznę rozdzielającą wyznaczoną przez wektory o* oraz liczby bi spełniające warunki:

1°    Pi •cti > h

2°    Vqęw q*(*i <;bi

({x G Rⁿ | x • cti < bi] jest półprzestrzenią zawierającą W, której brzeg jest hiperpłaszczy-zną rozdzielającą pi oraz W)

3° cti • di + bf = 1 Przyjmijmy ai = (cą, bi) G Rⁿ⁺¹.

Zbiór aj, ... jest zwarty w kuli jednostkowej AT(0,1) C R^n+l. Ponieważ K(0,1) jest zwarta, to w ciągu aj możemy wybrać podciąg zbieżny (ze względów redakcyjnych przyjmujemy, bez zmniejszenia ogólności, że ai jest zbieżny ).

Oznacza to, że zbieżne też są ciągi o* oraz bi.

Przyjmijmy: lim ai — a lim bi = b

Ponadto lim aj — a implikuje ||o|| - 1.

i—*oo

Badamy H = {x\a • x < b}.

Dla dowolnego punktu q G W ai»q < ó, więc o • q < b (bo nierówności tępe zachowują się przy przejściu do granicy). Więc W C H.

Aby wykazać, że dH jest hiperpłaszczyzną podpierającą W w punkcie p wystarczy pokazać a»p = b. Ponieważ p G W więc o • p < b. Ponadto p • a = limp • a_t ^ lim bi = b □ 2.2. Wielościany

Definicja 2.8. Wielościanem (uogólnionym) w Rⁿ nazywamy część wspólną skończonej rodziny półprzestrzeni.

W szczególności zbiór pusty 0 i Rⁿ jako przecięcie pustej rodziny półprzestrzeni są wielo-ścianami.

Ponieważ każdy zbiór wypukły i domknięty jest przecięciem półprzestrzeni, patrz twierdzenie 1.7, więc może być aproksymowany wielościanami z dowolną dokładnością. Szukanie ekstremów funkcji tylko na wielościanach nie jest więc poważnym ograniczeniem.

Tak jak trójkąt jest trójkątem niezależnie czy traktujemy go jako podzbiór płaszczyzny, przestrzeni 3 - wymiarowej czy większej tak też następne twierdzenie pokazuje, że pojęcie wielościanu nie zależy od wymiaru przestrzeni.

Twierdzenie 2.4. Definicja wielościanu nie zależy od przestrzeni w której go rozpatrujemy. W szczególności jeżeli W jest niepustym podzbiorem w przestrzeniach afinicz-nych V\ <Z V2- Wówczas W jest wielościanem w V\ wtedy i tylko wtedy, gdy W jest wielościanem w V~2.