1907968069

3

Laboratorium Podstaw Robotyki - 5

gdzie n_x,n_y,n_z stanowią składowe wersora n wzdłuż odpowiednich osi układu {B}. Powyższe równania można zapisać w postaci następującej ortonormalnej macierzy rotacji:

	Ttx Ox Ux		n^Ti o^Ti a^Ti
O a] =	^ny °y ^ay	=	n^Tj o^Tj a^Tj
	nz oz az		n^rk o^1 k a^Tk

Powyższa macierz może być interpretowana na trzy sposoby [4]:

•    jako reprezentacja orientacji osi układu {A} względem osi układu {B},

•    jako operator obrotu wektora d w nowy wektor Rd w tym samym układzie współrzędnych,

•    jako operator przekształcenia współrzędnych punktu d^A we współrzędne w układzie {i?} (po uzgodnieniu początków układów {.A} i {B}).

Macierz rotacji (1) jest nadmiarową (redundantną) reprezentacją rotacji. Minimalna reprezentacja rotacji w przestrzeni 3D składa się z trzech niezależnych parametrów zwanych kątami Eulera odpowiadających złożeniu sekwencji trzech elementarnych obrotów układu {A} względem wybranych osi w przestrzeni. Reprezentacja taka zwana jest także lokalną parametryzacją grupy SO(3), której elementami są macierze rotacji¹. Opis taki nie jest jednoznaczny - istnieje dwanaście różnych zbiorów kątów Eulera odpowiadających możliwym sekwencjom rotacji elementarnych. W robotyce najbardziej popularne są następujące dwie kowencje:

1. kąty XYZ (zwane kątami RPY z ang. Roll-Pitch- Yaw - kołysanie boczne, kołysanie wzdłużne, zbaczanie): wyjściowa macierz rotacji wynika ze złożenia następującej sekwencji obrotów realizowanych wokół osi ustalonego układu odniesienia {B}: obrót o kąt ip wokół osi Xb, obrót o kąt d wokół osi Yg, obrót o kąt p wokół osi Zb-

Ra ^R= RazMRayMRaxM) =    (2)

cos p — sin 95 0		COSI?	0	sini?	'1 0	0
sin 1p cos	p 0	0	1	0	0 cos ip	— sin ip	=
^0 0	1	— sini?	0	COSI?	0 sin^>	cos ip
cos p cos d	cos p sin dsinip -		sin p cos ip cos p sin			d cos ip	sin p sin ip
sin p cos d	sin p sin d sin rp +		cos ip cos 1/		sin p sin	d cos ip —	cos p sin ip
— sini?		cos d sin				cos 1? cos

2. kąty ZYZ (zwane kątami precesji, nutacji, obrotu własnego): wyjściowa macierz rotacji Rą wynika ze złożenia następującej sekwencji obrotów realizowanych wokół osi bieżącego układu odniesienia {A}: obrót o kąt p wokół osi Za, obrót o kąt d wokół osi Ya', obrót o kąt ip wokół osi Z a"'-

Ra ^z=^z RAzAv)RAY_A,mRAz_A„('l>) =    (4)

cosp	— sin p 0		COSI?	0 sini?		cos ip — sin ip	0'
sin p	cosip 0		0	1 0		sin ip cos ip	0		=
0	^0 1		- sini?	0 cosi?		^0 0	1
cos p cos 1? cos ip —		sin p sin ip		— cos pcos		1? sin ip — sin p cos ip			cos p sin 1?
sin p c	isdcosip +		p sin ip	— sinęjc		d sin ip + cos p c	os ip		sin p sin 1?
	— sin 1? cos				sin 1? sin ip				COSI?

1

Chodzi tutaj o grupę w sensie struktury algebraicznej. Symbol SO(3) oznacza grupę specjalnych macierzy ortogonalnych o wymiarze 3 x 3 (z ang. Special Orthogonal Group)