274844698

2.1. Początki 13

>    # obiekty typu ,,list’’ przerobimy na wektory liczbowe:

>    D <- as.numeric(D); P <- as.numeric(D)

Symulacje dają okazję „namacalnego” przedstawienia twierdzeń probabilistycznych (i nie tylko twierdzeń, ale także stwierdzeń, przypuszczeń prawdziwych lub fałszywych).

Przykład 2.3 (Mocne Prawo Wielkich Liczb). Wylosujmy próbkę z „jakiegoś” rozkładu prawdopodobieństwa. Weźmy na przykład niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, X\,..., X_n Obliczmy średnie empiryczne

= ^ = -Y,Xi-

Zróbmy wykres ciągu średnich Si/1,52/2,..., S_n/n, —

>    nmax <- 1000 # komputerowy odpowiednik ,,n —ioo”

>    n <- (l:nmax)

>    lambda <- 2 > X <- rexp(nmax,rate=lambda)

>    S <- cumsum(X) # ciąg narastających sum

>    M <- S/n # działania w R (np. dzielenie) są wykonywane ,,po współrzędnych’’

>    plot(n,M,type="l") # ,,zaklęcie’’ type="l" powoduje narysowanie łamanej

Teraz spóbujmy podobne doświadczenie zrobić dla zmiennych Xi = 1/Ui — 1, gdzie Ui ~ U(0,1) (Xi są próbką z tak zwanego rozkładu Pareto).

>    # potrzebujemy dużej próbki, żeby się zorientować, co się dzieje...

>    nmax <- 100000

>    n <- (l:nmax)

>    X <- 1/runif(nmax)-l

>    M <- cumsum(X)/n

>    plot(log(n),M,type="l") # i zrobimy wykres w skali logarytmicznej

Przykład 2.4 (Centralne Twierdzenie Graniczne). CTG jest jednym ze „słabych” twierdzeń granicznych rachunku prawdopodobieństwa, to znaczy dotyczy zbieżności rozkładów. Symula-cyne „sprawdzenie” lub ilustracja takich twierdzeń wymaga powtarzania doświadczenia wiele razy, podobnie jak w Przykładzie 2.2. Pojedyncze doświadczenie polega na obliczeniu sumy gdzie X\,..., X_n jest próbką z „jakiegoś” rozkładu prawdopodobieństwa i n jest „duże”. Weźmy na przykład niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, jak w Przykładzie 2.3.

> m <- 10000

>    n <- 100

>    lambda <- 2

>    S <- replicate(m, sum(rexp(n,rate=lambda)))

>    hist(S,prob=TRUE)

>    curve(dnorm(x,mean=n/lambda,sd=sqrt(n)/lambda),col="blue",add=TRUE)

>    # wydaje się na podstawie obrazka, że dopasowanie jest znakomite

>    ks.test(S,pnorm,mean=n/lambda,sd=sqrt(n)/lambda)

>    # ale test Kołmogorowa-Smirnowa ,,widzi’’ pewne odchylenie od rozkładu normalnego