Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.
Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.
http://www.wszechwiedza.pl
tel. 0  44 738 00 00 tel. kom. 799 079 789 e-mail: [e-mail]
Zadanie
Funkcja produkcji ma postać:
k, z e" 0
f (k, z) = k1/ 4 + 4z1/ 4
a) Sformułuj zadanie minimalizacji kosztów  napisz, co jest zmienną a co parametrem
tego zadania. Czy para k = 16, z = 1 jest rozwiązaniem zadania przy cenach v = 3,
k
v = 4?
z
vk vz
b) Wiadomo, że przy pewnych cenach czynników produkcji , (niekoniecznie
takich, jak w poprzednim podpunkcie) minimalny koszt wytworzenia 4 jednostek
produktu wyniósł 23 j.p. Wyznacz funkcję kosztu przy założeniu, że ceny są ustalone
vk vz
na poziomach i .
c) Jaka cena produktu p gwarantuje, że optymalny poziom produkcji wynosi y = 10?
(o cenach czynników produkcji zakładamy, że są takie same, jak w poprzednim
podpunkcie)
Rozwiązanie
Funkcja kosztów ma postać:
c( y) = vk �" k( y) + vz �" z( y)
Zadanie minimalizacji kosztów ma postać:
min{vk k + vz z}
ńł
�ł
f (k, z) = y
�ł
�ł
k, z e" 0
ół
vk ,vz - ceny czynników produkcji są parametrami zadania;
y  poziom produkcji  jest zmienną zadania.
k, z  są to również zmienne, jednak nie występujące jawnie (ich funkcją jest y)
1
Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.
Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.
http://www.wszechwiedza.pl
tel. 0  44 738 00 00 tel. kom. 799 079 789 e-mail: [e-mail]
Warunki optymalności:
" f
vk
" k
Skz (k, z) = =
1)
" f
vz
" z
f (k, z) = y
2)
3 3
-
- 3 / 4
4 4
k 1 k 1 z
�ł �ł �ł �ł
Z 1): , zatem:
Skz (k, z) = = =
�ł �ł �ł �ł
4z- 3 / 4 4 z 4 k
�ł łł �ł łł
3
4
1 z vk
�ł �ł
=
�ł �ł
4 k vz
�ł łł
z3 / 4 vk
=
3 / 4
4k vz
vk 4 / 3
3 / 4
z3 / 4 = 4k �" /
vz
4
�ł �ł
vk 3
�ł �ł
z = 44 / 3 k �"
�ł �ł
vz
�ł łł
Podstawiamy do 2):
k1/ 4 + 4z1/ 4 = y
1
�ł �ł
vk 3
�ł �ł
k1/ 4 + 4 �" 41/ 3 k1/ 4 �" = y
�ł �ł
vz
�ł łł
1
�ł �ł
vk 3
�ł �ł
k1/ 4 + 44 / 3 k1/ 4 �" = y
�ł �ł
vz
�ł łł
1
�ł łł
�ł �ł
vk 3 śł
�ł �ł
k1/ 4 �ł1+ 44 / 3 �" = y
�ł �ł
�ł
vz śł
�ł łł
�ł śł
�ł �ł
2
Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.
Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.
http://www.wszechwiedza.pl
tel. 0  44 738 00 00 tel. kom. 799 079 789 e-mail: [e-mail]
y
k1/ 4 =
1
�ł �ł
vk 3
�ł �ł
1+ 44 / 3 �"
�ł �ł
vz
�ł łł
y
k1/ 4 =
v1/ 3
k
1+ 44 / 3 �"
v1/ 3
z
y
k1/ 4 =
44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3
k z
v1/ 3
z
v1/ 3 �" y
z 4
k1/ 4 = /
44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3
k z
4
vz / 3 �" y4
k =
4
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
4
4
vk 3
vz / 3 �" y4 �ł �ł
�ł �ł
z = 44 / 3 / 3 3 3 4 �"
�ł �ł
vz
(44 �" v1/ + v1/ ) �ł łł
k z
4
44 / 3 �" vk / 3 �" y4
z =
4
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
4
44 / 3 �" vk / 3 �" y4
z =
4
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
Funkcja warunkowego popytu na czynniki produkcji:
4 4
�ł
vz / 3 �" y4 44 / 3 �" vk / 3 �" y4 łł
Ś ( y,vk ,vz ) = �ł , śł
4 4
�ł (44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3) (44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3) śł
�ł k z k z �ł
Funkcja kosztu minimalnego:
c( y) = vk �" Ś ( y,vk ,vz ) + vz �" Ś ( y,vk ,vz )
k z
Podstawiamy do funkcji produkcji, oraz funkcji warunkowego popytu v = 3, v = 4.
k z
3
Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.
Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.
http://www.wszechwiedza.pl
tel. 0  44 738 00 00 tel. kom. 799 079 789 e-mail: [e-mail]
y = y(16;1) = 161/ 4 + 4 �" 11/ 4 = 2 + 4 = 6
�ł
44 / 3 �" 64 44 / 3 �" 34 / 3 �" 64 łł
Ś (6,3,4) = ,
�ł śł
4 4
�ł (44 / 3 �" 31/ 3 + 41/ 3) (44 / 3 �" 31/ 3 + 41/ 3) śł
�ł �ł
3
�ł łł
5184 �" 4 155523 12
Ś (6,3,4) = �ł , śł
4 4
3 3
�ł śł
(43 12 + 4) (43 12 + 4)
�ł �ł
Ś (6,3,4) = [0,617, 2,671]
Para k = 16, z = 1 nie jest rozwiązaniem zadania przy wskazanych cenach.
b)
Funkcja kosztu ma postać:
4 4
vz / 3 �" y4 44 / 3 �" vk / 3 �" y4
c( y) = vk �" + vz �"
4 4
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3) (44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z k z
4 4
vk �" vz / 3 �" y4 + 44 / 3 �" vk / 3 �" vz �" y4
c( y) =
4
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
(v1/ 3 + 44 / 3 �" v1/ 3)vk �" vz �" y4
z k
c( y) =
4
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
vk �" vz �" y4
c( y) =
3
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
Jak wiadomo z warunków zadania c(4) = 23. Warunek ten zostanie wykorzystany w pkt. c.
c)
z( y) = py - c( y)
4
Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna. Usługi edukacyjne przez Internet.
Rozwiązywanie zadań, pisanie prac.
http://www.wszechwiedza.pl
tel. 0  44 738 00 00 tel. kom. 799 079 789 e-mail: [e-mail]
Zadanie maksymalizacji zysku ma postać:
max{ py - c( y)}
ye" 0
Warunek optymalności ma postać:
p = c'( y)
U nas:
4vk �" vz �" y3
p =
3
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
256vk �" vz
= 23
A korzystając z tego, że c(4) = 23, skąd
3
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
W przypadku, gdy optymalny poziom produkcji wynosi y = 10 warunek optymalności:
p = c'( y)
4vk �" vz �" 103
p =
3
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
Skąd:
4000vk �" vz
p =
3
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
125
�" 256vk �" vz
8
p =
3
(44 / 3 �" v1/ 3 + v1/ 3)
k z
125
p = �" 23
8
p = 359,375
5