Wykład nr 6
Wykład nr 6
Obliczanie sił wewnętrznych w
Obliczanie sił wewnętrznych w
układach prętowych.
układach prętowych.
Kratownice.
Kratownice.
1
1
Układ prętów prostoliniowych:
Układ prętów prostoliniowych:
 połączenia przegubowe w węzłach;
 połączenia przegubowe w węzłach;
 obciążenia w postaci sił skupionych
 obciążenia w postaci sił skupionych
przyłożonych w węzłach.
przyłożonych w węzłach.
20kN
20kN
10kN
10kN
3m 3,5m
3m 3,5m
2
2
3m
3m
 Węzeł doznaje przesuwu (dwie
Węzeł doznaje przesuwu (dwie
składowe), obrót jest nieistotny;
składowe), obrót jest nieistotny;
W prętach dwustronnie przegubowych,
W prętach dwustronnie przegubowych,
nieobciążonych poprzecznie występuje
nieobciążonych poprzecznie występuje
jedynie siła osiowa (normalna).
jedynie siła osiowa (normalna).
3
3
Pas dolny (D)
Pas dolny (D)
Pas górny (G)
Pas górny (G)
Krzyżulce (K)
Krzyżulce (K)
G G
1 2
Słupki (S)
Słupki (S)
S S S
1 K 2 3
K
1
2
D D
1 2
4
4
 Najprostsza kratownica złożona z trzech
Najprostsza kratownica złożona z trzech
prętów połączonych przegubowo jest
prętów połączonych przegubowo jest
statycznie wyznaczalna.
statycznie wyznaczalna.
Każda kratownica budowana przez
Każda kratownica budowana przez
dostawianie pól zamkniętych
dostawianie pól zamkniętych
tworzonych za pomocą kolejnych dwóch
tworzonych za pomocą kolejnych dwóch
prętów jest statycznie wyznaczalna.
prętów jest statycznie wyznaczalna.
5
5
Statyczna wyznaczalność:
Statyczna wyznaczalność:
 zewnętrzna  możliwość policzenia reakcji:
 zewnętrzna  możliwość policzenia reakcji:
nz =� r -� 3
 wewnętrzna  możliwość policzenia sił w
 wewnętrzna  możliwość policzenia sił w
prętach:
prętach:
nw =� p -� 2�� w
 całkowita:
 całkowita:
n =� p -� 2�� w -� 3
6
6
(1)
(1)
Kratownice statycznie wyznaczalne
Kratownice statycznie wyznaczalne
7
7
(2)
(2)
Kratownice statycznie niewyznaczalne
Kratownice statycznie niewyznaczalne
8
8
(3)
(3)
Kratownice geometrycznie zmienne
Kratownice geometrycznie zmienne
9
9
Metoda równoważenia węzłów.
Metoda równoważenia węzłów.
Metoda Rittera.
Metoda Rittera.
Inne:
Inne:
 wykreślna metoda Cremony;
 wykreślna metoda Cremony;
 metoda Culmana;
 metoda Culmana;
 metoda Hanneberga (wymiany prętów).
 metoda Hanneberga (wymiany prętów).
10
10
 Każdy z węzłów oddzielony zostaje od
Każdy z węzłów oddzielony zostaje od
prętów za pomocą przekroju
prętów za pomocą przekroju
przywęzłowego.
przywęzłowego.
W węzłach otrzymuje się układy sił
W węzłach otrzymuje się układy sił
zbieżnych, w których można zapisać
zbieżnych, w których można zapisać
dwa równania równowagi  sumy
dwa równania równowagi  sumy
rzutów sił na dwie osie.
rzutów sił na dwie osie.
11
11
Zalety:
Zalety:
 łatwość zapisania równań  sumy rzutów
 łatwość zapisania równań  sumy rzutów
sił;
sił;
 kontrola wyników: ostatnie trzy równania
 kontrola wyników: ostatnie trzy równania
są sprawdzeniami;
są sprawdzeniami;
Wady:
Wady:
 propagacja błędu;
 propagacja błędu;
 duży nakład pracy wymagany do
 duży nakład pracy wymagany do
policzenia siły w wybranym pręcie.
policzenia siły w wybranym pręcie.
12
12
 Kratownicę należy przeciąć przekrojem
Kratownicę należy przeciąć przekrojem
takim, aby można było zapisać
takim, aby można było zapisać
równanie, w którym jedyną niewiadomą
równanie, w którym jedyną niewiadomą
będzie szukana siła w pręcie.
będzie szukana siła w pręcie.
Otrzymany układ sił jest niezbieżny.
Otrzymany układ sił jest niezbieżny.
Równanie równowagi to zazwyczaj
Równanie równowagi to zazwyczaj
suma momentów (czasem suma rzutów
suma momentów (czasem suma rzutów
sił).
sił).
13
13
Zalety:
Zalety:
 szukana siła może zostać wyznaczona za
 szukana siła może zostać wyznaczona za
pomocą tylko jednego równania;
pomocą tylko jednego równania;
 brak propagacji błędu;
 brak propagacji błędu;
Wady:
Wady:
 konieczność zapisania równań sum
 konieczność zapisania równań sum
momentów;
momentów;
 brak kontroli błędów (możliwa np. za
 brak kontroli błędów (możliwa np. za
pomocą metody równoważenia węzłów).
pomocą metody równoważenia węzłów).
14
14
20kN
20kN
10kN
10kN
3m 3,5m
3m 3,5m
15
15
3m
sina� =� cosa� =� =� 0,707
20kN
2 2
3m +� 3m 10kN
(� )� (� )� 2 3 4
3m
sin b� =�=� 0,651
22
3m +� 3,5m
(� )� (� )�
a�
3,5m b�
cos b� =�=� 0, 759
H
A B
A
22
3m +� 3,5m
(� )� (� )�
1
V
3m 3,5m
A R
B
X : HA +�10kN =� 0
��
HA =�-�10kN
��Y :VA +� RB -� 20kN =� 0
VA =� 6,154kN
RB =�13,846kN
��M : RB ��6,5m -�10kN ��3m -� 20kN ��3m =� 0
A
16
16
3m
20kN
N2-3 N2-3 N3-2 3 N3-4 N4-3 N4-3 4
10kN
2
N3-2 N3-4
N4-B
N2-A N2-1
N4-1
N3-1
N4-1
N4-B
N2-1
N2-A
N3-1
N1-3
N1-2
NA-2
NB-4
N1-4
N1-2 N1-3
NA-2
N1-4
NB-1 NB-4
HA
NA-1 N1-A
NA-1
B
A
N1-A 1 N1-B N1-B NB-1
VA
RB
17
17
X : HA +� NA-�1 =� 0
��
NA-2
NA-1
HA
NA-�1 =�-�HA =�10kN
A
VA
��Y :VA +� NA-�2 =� 0
NA-�2 =�-�VA =�-�6,154kN
18
18
10kN N2-3
2 ��Y : N2-� +� N2-�1 ��sina� =� 0
A
a�
N2-� A
N2-1
N2-A N2-�1 =�-� =� 8,704kN
0,707
X : N2-�3 +� N2-�1 ��cosa� +�10kN =� 0
��
N2-�3 =�-�10kN -�8,704kN ��0,707 =�-�16,154kN
19
19
20kN
��Y : N3-�1 +� 20kN =� 0
3
N3-�1 =�-�20kN
N3-2 N3-4
N3-1
X : N3-�2 -� N3-�4 =� 0
��
N3-�4 =� N3-�2 =� -�16,154kN
20
20
��Y : N1-�2 ��sina� +� N1-�3 +� N1-�4 ��sin b� =� 0
8,704kN ��0,707 -� 20kN
N1-�4 =�-� =� 21, 269kN
0,651
N1-2 N1-3
N1-4
a�
b�
N1-A 1 N1-B
X : -�N1-� A -� N1-�2 ��cosa� +� N1-�4 ��cos b� +� N1-�B =� 0
��
N1-�B =� 10kN +� 8,704kN ��0,707 -� 21, 269kN ��0,759 =� 0,011kN
21
21
N4-3 4
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
b�
N4-B
N4-1
X : N4-�3 +� N4-�1 ��cos b� =� 0
��
N4-�3 +� N4-�1 ��0,759 =� -�16,154kN +� 21, 269kN ��0,759 =� -�0,011kN � 0
��Y : N4-�B +� N4-�1 ��sin b� =� 0
N4-�B =�-�21, 269kN ��0,651 =�-�13,846kN
22
22
NB-4
NB-1
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
B
X : NB-�1 =� 0
��
RB
NB-�1 =� 0,011kN � 0
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
��Y : NB-�4 +� RB =� 0
NB-�4 +� RB =� -�13,864 +�13,864 =� 0
23
23
(z lewej)
(z lewej)
l
��Y :VA -� N2-�1 ��sina� =� 0
l
��M :VA ��3m +�10kN ��3m +� N2-�3 ��3m =� 0
1
l
��M : HA ��3m +� NA-�1 ��3m =� 0
2
20kN
N
2-3
6,154kN
10kN 2 3 4
N2-�1 =�=� 8,704kN
N
3-2
0,707
N
2-1
N
1-2
N2-�3 =�-�6,154kN -�10kN =�-�16,154kN
b�
a�
H
A B
A
1
N
N
1-A
A-1
NA-�1 =�10kN
V
3m 3,5m
A R
B
24
24
3m
(z prawej)
(z prawej)
p
��Y : RB +� N1-�2 ��sina� -� 20kN =� 0
p
��M : RB ��3,5m +� N3-�2 ��3m =� 0
1
p
��M : RB ��6,5m -� N1-� ��3m -� 20kN ��3m =� 0
2 A
20kN
20kN -�13,846kN
N
2-3
10kN
2 3 4
N1-�2 =�=� 8,704kN
N 0,707
3-2
N
2-1
N
-�13,846kN ��3,5m
1-2
N3-�2 =�=� -�16,154kN
b�
a�
H
A B 3m
A
1
N
N
1-A
A-1
13,846��6,5m -� 20kN ��3m
V
3m 3,5m
A R
B N1-� A =�=�10kN
3m
25
25
p
��Y : RB -� N4-�1 ��sin b� =� 0
p
��M : RB ��3,5m +� N4-�3 ��3m =� 0
1
p
��M : NB-�1 ��3m =� 0
4
20kN
13,846kN
N
4-3
10kN
2 3 4
N4-�1 =�=� 21,269kN
0,651
N
3-4
N
N 4-1
1-4
-�13,846kN ��3,5m
N4-�3 =�=� -�16,154kN
a�
b�
H
A A B
3m
1
N
N
1-B B-1
V
A 3m 3,5m R
B NB-�1 =� 0
26
26
3m
3m
20kN
10kN -16,154kN -16,154kN
-10kN
10kN
0
6,154kN
13,846kN
27
27
20kN
3m 3m 3m
28
28
4,5m
20kN
5
1,5m
sina� =�=� 0, 447
2 2
1,5m +� 3m
(� )� (� )�
4
3m
cosa� =�=� 0,894
3
2 2
1,5m +� 3m
(� )� (� )�
b� a� a� 3m
H
A B
sin b� =� cos b� =� =� 0,707
2 2
A 2
1
3m +� 3m
(� )� (� )�
R
V B
3m 3m 3m
A
X : HA +� 20kN =� 0 HA =�-�20kN
��
VA =�-�15kN
��Y :VA +� RB =� 0
RB =� 15kN
��M : RB ��6m -� 20kN ��4,5m =� 0
A
29
29
��Y : N2-�3 ��sina� =� 0
2-3
a�
N2-�3 =� 0
2-B X : N2-�B +� N2-�3 ��cosa� =� 0
��
N2-�B =� 0
30
30
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
X : NB-�2 -� NB-�1 =� 0
B-3
��
B-1
NB-�1 =� 0
B-2
B
B
��Y : RB +� NB-�3 =� 0
NB-�3 =�-�15kN
31
31
20kN
5
X : 20kN +� N5-�4 ��cosa� =� 0
��
a�
N5-4
-�20kN
N5-�4 =�=� -�22,371kN
0,894
N5-A
��Y : N5-� +� N5-�4 ��sina� =� 0
A
N5-� A =� 22,371kN ��0, 447 =� 10kN
32
32
NA-4
��Y : NA-�5 +� NA-�4 ��sin b� +�VA =� 0
NA-5
b�
HA
-�10kN +�15kN
NA-�4 =�=� 7,072kN
0,707
NA-1
VA
X : NA-�1 +� NA-�4 ��cos b� +� HA =� 0
��
NA-�1 =� 20kN -� 7,072kN ��0,707 =�15kN
33
33
X : N4-�3 ��cosa� -� N4-� A ��cos b� -� N4-�5 ��cosa� =� 0
��
7,072kN ��0,707 -� 22,371kN ��0,894
N4-�3 =�=�
0,894
N4-5
=�-�16,778kN
4
a�
N4-3
b�
��Y :N4-�5 ��sina� -� N4-� ��sin b� +�
A
N4-1
N4-A
-� N4-�1 -� N4-�3 ��sina� =� 0
N4-�1 =�-�22,371kN ��0, 447 -� 7,072kN ��0,707 +�16,778kN ��0, 447 =�-�7,5kN
34
34
X : N3-�2 ��cosa� -� N3-�1 ��cosa� -� N3-�1 ��cosa� =� 0
��
N4-3
3
a�
N3-�1 =�16,778kN
a� a�
N3-1 N3-B N3-2
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
��Y :N4-�3 ��sina� -� N3-�B -� N3-�1 ��sina� -� N3-�2 ��sina� =�
=�-�16,778kN ��0, 447 -�16,778kN ��0, 447 +�15kN =� 0
35
35
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
1-4 1-3
X :N1-�3 ��cosa� +� N1-�B -� N1-� A =�
a�
��
=� 16,778kN ��0,894 -�15kN =� 0
1
1-A
1-B
Sprawdzenie:
Sprawdzenie:
��Y :N1-�4 -� N1-�3 ��sina� =� -�7,5kN +�16,778kN ��0, 447 =� 0
36
36
(z lewej)
(z lewej)
l
��M : N5-�4 ��cosa� �� 4,5m +� 20kN �� 4,5m =� 0
A
l
��M :VA ��3m -� HA ��3m +� 20kN ��1,5m -� NA-�1 ��3m =� 0
4
l
��M :VA ��9m +� 20kN �� 4,5m +� NA-�4 ��sin b� ��9m =� 0
2
-�20kN
20kN
5
N
5-4
N5-�4 =�=� -�22,371kN
N
4-5
0,894
4
N NA-�1 =�-�15kN +� 20kN +�10kN =�
4-A
3
N
A-4
=� 15kN
b�
a� a�
15kN ��9m -� 20kN �� 4,5m
H
A B
NA-�4 =�=�
A 2
1
N
N
A-1
1-A
0,707 ��9m
R
V B
3m 3m 3m
A
=� 7,072kN
37
37
(z prawej)
(z prawej)
p
��M : N4-�5 ��cosa� ��3m +� N4-�5 ��sina� ��3m +� RB ��6m =� 0
A
p
��M : RB ��3m -� N1-� ��3m =� 0
4 A
p
��M : RB ��3m -� N4-� ��sin b� ��6m -� N4-� ��cos b� ��3m =� 0
2 A A
-�15kN ��6m
20kN
5
N4-�5 =�
N
5-4
0,894��3m +� 0, 447 ��3m
N
4-5
4
=�-�22,371kN
N
4-A
3
N1-� A =�15kN
N
A-4
b�
15kN ��3m
a� a�
H
A B
N4-� A =�=�
A 2
1
N
N
A-1
1-A
0,707 ��6m +� 0,707 ��3m
R
V
B
A 3m 3m 3m
=� 7,072kN
38
38
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
p
��M : N4-�3 ��cosa� ��1,5m +� N4-�3 ��sina� ��3m +� RB ��3m =� 0
1
p
��M : RB ��3m -� N1-� ��3m =� 0
4 A
p
��M : RB ��3m -� N1-�4 ��6m =� 0
2
-�15kN ��3m
N4-�3 =�
20kN
5
0,894��1,5m +� 0, 447 ��3m
4 =�-�16,779kN
N
4-3
N
4-3
N
4-1 N1-� A =�15kN
3
N
1-4
b�
a� a�
H
A B
15kN ��3m
A N 1
2 N1-�4 =�=� 7,5kN
A-1 N
1-A
6m
R
V
B
A 3m 3m 3m
39
39
p
��M : N4-�3 ��cosa� ��1,5m +� N4-�3 ��sina� ��3m +� RB ��3m =� 0
1
p
��M : N5-�1 ��1,5m =� 0
3
l
��M :VA ��9m +� 20kN �� 4,5m +� N1-�3 ��sina� ��6m =� 0
2
-�15kN ��3m
20kN
5 N4-�3 =�
0,894��1,5m +� 0, 447 ��3m
4
N =�-�16,779kN
4-3
N
4-3
3
N5-�1 =� 0
N
3-1
N
1-3
15kN ��9m -� 20kN �� 4,5m
b� a� a�
H
A B
N1-�3 =�=�
A 2
1 N
1-B N
B-1
0, 447 ��6m
R
V
3m 3m B 3m
A
=� 16,779kN
40
40
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
p
��M : NB-�1 ��1,5m =� 0
3
p
��M : N2-�3 ��sina� ��3m =� 0
B
p
��M : RB ��3m +� NB-�3 ��3m =� 0
2
20kN
5
4
NB-�1 =� 0
3
N
3-2
N2-�3 =� 0
N
N
3-B
2-3
b� a� a�
N
H
B-3
A
B
A 2
1
N N
1-B B-1
NB-�3 =�-�15kN
R
V
B
3m 3m 3m
A
41
41
20kN
-20kN
15kN
0 0
-15kN 15kN
42
42
4,5m
1,5m
1,5m
1,5m
-
2
2
,
3
7
1
k
N
-
1
6
,
7
7
8
k
N
N
k
8
7
7
0
,
6
1
15kN
10kN
20kN
4m 3m 3m
43
43
15kN
R
B
B C
4 5 6
d�
b� g�
3
a�
10kN
2
1
x 10m +� x
20kN
=�
x =� 6,667m
H
A 2m 5m
A
V
4m 3m 3m x
A
3m 10m
sina� =�=� 0, 287 cosa� =�=� 0,958
2 2 2 2
10m +� 3m 10m +� 3m
(� )� (� )� (� )� (� )�
2,9m 2m
3,8m
sin g� =�=� 0,695 sind� =�=� 0,555
sin b� =�=� 0,689
2 2 2 2
2 2
2,9m +� 3m 2m +� 3m
(� )� (� )� (� )� (� )�
3,8m +� 4m
(� )� (� )�
4m 3m 3m
cos b� =�=� 0,725 cosg� =�=� 0,719 cosg� =�=� 0,832
2 2 2 2 2 2
3,8m +� 4m 2,9m +� 3m 2m +� 3m
(� )� (� )� (� )� (� )� (� )� (� )�
44
44
2m
5m
3m
5m
1,2m
0,9m
0,9m
2m
X : HA +� RB +�15kN ��cosg� =� 0
��
��Y :VA -� 20kN -�10kN -�15kN ��sing� =� 0
��M : RB ��5m +� 20kN �� 4m +�10kN ��10m +�
A
+�15kN ��sing� �� 4m +�15kN ��cosg� ��5m =� 0
15kN
g�
R
B
B
4 5 6
3
HA =� 44,340kN
10kN
2
1 VA =� 40,425kN
20kN
H
A
A
RB =�-�55,125kN
V
4m 3m 3m
A
45
45
p
��M : N4-�B ��3,8m -�15kN ��cosg� ��3,8m -�10kN ��6m =� 0 N4-�B =� 26,574kN
1
l
NA-�1 =�-�46, 284kN
��M : NA-�1 ��cosa� ��5m +� HA ��5m =� 0
B
l
��M :VA ��16,667m -� HA ��5m -� NB-�1 ��sin b� ��16,667m =� 0 N4-�B =� 39,366kN
C
15kN
g�
R
N N
B
B B-4 4-B C
4 5 6
d�
b� g�
N
B-1
3
N a�
1-B
10kN
N
4-3 2
1
20kN
N
H 1-A
A
N
A-1
A
V
6,667m
4m 3m 3m
A
46
46
5m
1,2m
0,9m
0,9m
2m
5m
1,2m
0,9m
0,9m
2m
p
N5-�4 =� 10,345kN
��M : N5-�4 �� 2,9m -�10kN ��3m =� 0
2
p
N2-�3 =�-�10,803kN
��M : N3-�2 ��cosa� �� 2,9m +� N3-�2 ��sina� ��3m +�10kN ��3m =� 0
5
p
��M : N5-�2 ��9,667m +�10kN ��6,667m =� 0
C
N5-�2 =�-�6,897kN
15kN
g�
R
N
N
B
B 4-5 5-4 C
4 5 6
d�
b� g�
N
5-2
3
N
2-5
a�
10kN
2
N
3-2
N
2-3
1
20kN
H
A
A
V
4m 3m 3m 6,667m
A
47
47
15kN
-55,125kN
26,574kN 10,345kN
0
10kN
20kN
44,340kN
40,425kN
48
48
5m
1,2m
0,9m
0,9m
2m
0
-6,897kN
-15,689kN
-27,123kN
1
2
7
,
4
,
5
3
7
3
3
k
3
9
N
,
k
3
N
6
6
k
N
N
k
3
0
8
,
0
1
-
N
k
5
8
4
,
6
1
-
N
k
4
8
2
,
6
4
-
10kN
15kN
1,5m 1,5m
49
49
10kN 8 9
HA =�-�20kN
X : HA +�10kN =� 0
��
7
b� b�
15kN
��Y :VA +� RB -�15kN =� 0 VA =�-�15,833kN
4 6
5
��M : RB ��3m -�15kN ��1,5m -�10kN ��7m =� 0
A
a� a�
RB =� 30,833kN
2
1 3
2,5m
1,5m
cosa� =�=� 0,857
a� a� sina� =�=� 0,514
22
22
1,5m +� 2,5m
1,5m +� 2,5m (� )� (� )�
(� )� (� )�
H
A
A B
1,5m 2m
sin b� =�=� 0,6 cos b� =�=� 0,8
V 2 2
1,5m 1,5m 2 2
A
1,5m +� 2m 1,5m +� 2m
(� )� (� )� (� )� (� )�
R
B
50
50
2m
2,5m
2,5m
2m
2,5m
2,5m
10kN 8 9
7
g
b� b�
��M : N3-�B ��3m +�15kN ��1,5m +�10kN �� 4,5m =� 0
1
15kN
4 6
N3-�B =�-�22,500kN
5
g
a� a�
��M : N1-� ��3m +�15kN ��1,5m -�10kN �� 4,5m =� 0
3 A
N
N
3-2
1-2 2
1 3
N N N3-�B =� 7,500kN
2-1
2-3
N
1-A
N
3-B
a�
a�
N
A-1
N
B-3
H
A
A B
V
1,5m 1,5m
A
R
B
51
51
10kN
8 9
7
g
X : N2-� A ��sina� -� N2-�B ��sina� -�10kN =� 0
��
b� b�
15kN
4 6
10kN
5
N2-� A -� N2-�B =�
sina�
a� a�
2
1 3
N N
1-A 3-B
N N
2-A 2-B
N
N
a�
A-1
A-1
a�
a�
N
N N
A-2
A-2 B-2
N
B-3
H
H
A
A
A
A B
V
1,5m 1,5m
A
R
B
52
52
2m
2,5m
2,5m
2m
2,5m
2,5m
N N
2-1 2-3
2
��Y : N2-� ��cosa� +� N2-�B ��cosa� =� 0
A
10kN
N2-�B =�-�N2-� A
2N2-� A =�
sina�
N N
2-A 2-B
10kN 10kN
N2-� A =�=� =� 9,728kN
2sina� 2��0,514
N
A-1
a�
N N2-�B =�-�9,728kN
A-2
H
A A
X : NA-�2 ��sina� +� NA-�1 +� HA =� 0
��
N
A-1
NA-�1 =� 10kN -� 9,728kN ��0,514 =� 5kN
V
A
53
53
10kN -10kN
0
15kN
-5kN 5kN
-0,5kN 9,5kN
-10kN
26,574kN
-15,833kN
54
54
30,833kN
0
0
6,667kN
-6,667kN
7,5kN
-22,5kN
-
8
,
N
3
k
3
3
3
3
k
3
N
,
8
-
1
8
N
,
k
4
2
6
7
5
9
k
,
N
0
-
9
N
,
7
k
2
8
8
2
k
7
,
N
9