2999072760

2. Zagadnienia optymalizacji liniowej

W przedsiębiorstwach oraz w wielu różnych sytuacjach życiowych, codziennie podejmowane są rozmaite decyzje. Sytuacje te nazywamy sytuacjami decyzyjnymi, a osoby podejmujące decyzje - decydentami. Warunki, w jakich decydent podejmuje decyzję, na ogół nie pozwalają na dowolność. Decyzję zgodną z ograniczeniami, które wynikają z warunków otoczenia, nazywa się decyzją dopuszczalną. Nie każda jednak decyzja dopuszczalna jest jednakowo dobra. W świetle celów, jakie nakreślił sobie decydent, jedne decyzje mogą być lepsze, a inne gorsze. Stąd powstaje problem wyboru decyzji najlepszej, zwanej decyzją optymalną, co wymaga przyjęcia określonego kryterium wyboru, według którego oceniamy decyzje jako lepsze lub gorsze.

Opis określonej sytuacji decyzyjnej nazywamy problemem decyzyjnym. Dalej będziemy rozpatrywać tylko takie sytuacje, w których warunki ograniczające, kryterium wyboru oraz decyzje dają się opisać w języku matematycznym, tzn. z użyciem symboli i operatorów matematycznych. Taki zapis sytuacji decyzyjnej, z użyciem symboli i operatorów matematycznych, nazywa się modelem matematycznym problemu decyzyjnego lub zadaniem decyzyjnym.

Warunki ograniczające najczęściej są opisywane za pomocą układu równań lub nierówności. W równaniach tych (lub nierównościach) występują pewne wielkości, które są znane decydentowi, zwane parametrami, oraz wielkości, które należy ustalić, zwane zmiennymi decyzyjnymi.

Oprócz warunków ograniczających, w zadaniu decyzyjnym mogą także występować warunki brzegowe (np. warunek nieujemności zmiennych) lub typu zmiennych (np. warunek ciągłości zmiennych, całkowitoliczbowości lub binarności).

Decyzje dopuszczalne utożsamiać będziemy z takim układem wartości zmiennych decyzyjnych (układem liczb), które spełniają wszystkie warunki brzegowe i ograniczające, opisujące badaną sytuację decyzyjną.

Rolę kryterium wyboru będzie pełnić pewna funkcja zmiennych decyzyjnych, mierząca stopień osiągnięcia celu, który chce osiągnąć decydent - funkcja celu lub funkcja kryterium.

Wybór decyzji optymalnej polega na wyznaczeniu takich wartości zmiennych decyzyjnych, przy których wartość funkcji celu osiąga wartość najkorzystniejszą, tzn. w zależności od badanej sytuacji wartość minimalną lub maksymalną.

Jeżeli przez D oznaczymy zbiór decyzji dopuszczalnych, przez cl dowolną decyzję, a przez/- funkcję celu, to zadanie decyzyjne można zapisać następująco: należy znaleźć taką decyzję dopuszczalną d* e D,

f(d’) = max{ f{d)\de D}    gdy funkcja celu jest maksymalizowana

f{d*) = min{ f(d)\d e D }    gdy funkcja celu jest minimalizowana

Decyzja d jest pewną kompozycją zmiennych decyzyjnych, oznaczanych najczęściej symbolem zmiennej niewiadomej przez x. Decyzja ta będzie zatem odpowiednią wzajemną proporcją zmiennych decyzyjnych do siebie, stąd częściej ogólny zapis problemu optymalizacyjnego jest przedstawiany w postaci: f(x) —> max    lub    /(x) —> min

dla jc e D    dla xe D

10