3331456994

33

2.1. OPCJE BINARNE

względem miary martyngałowej Q, zob. (1.6). Wartość oczekiwaną funkcji stałej liczy się oczywiście bardzo prosto:

Ccon.c(t) = _e“^r(^T_t)EQ(l{s_t^K} | Ft)

= _e-dT-t)Q{_5r > Kj

= e-^-^Nid.)

na mocy formuły (1.42). Analogicznie,

Ccon.p{t) = e“^,(T_<)EQ(l{5r<K} | Ft)

= e-^-^N^-dJ).

Powyższy wzór wynika również z parytetu 2.1. Kolejne wersje parytetu, tzn. formuły (2.3) oraz (2.4), dają pozostałe wzory na ceny opcji binarnych:

Caon.ct*) = Se-^N(d+),

Cao„._P« = Se->^N(-d₊).

Można je oczywiście wyprowadzić bezpośrednio. Zrobimy to w bardziej ogólnym kontekście binarnych opcji potęgowych w następnej sekcji.

2.1.3 Binarne opcje potęgowe

Binarne opcje potęgowe są wersją opcji binarnych typu „aktywa albo nic” wypłacających 0 (opcja wygasa poza ceną) lub wartość jednostki aktywów, podniesioną do pewnej potęgi naturalnej n (opcja wygasa w cenie):

Definicja 2.1 Binarna potęgowa opcja cali (odpowiednio — put) wypłaca kwotę Sⁿ(T) jeśli wartość St jest większa lub równa (odpowiednio: mniejsza) niż cena realizacji K\ w przeciwnym razie opcja wypłaca zero.

Wypłata binarnej opcji potęgowej (w potędze n) wynosi więc

Rbpn.c ⁼ St^-{St^K}    (cali),

Hbpn.p ⁼ *St1{S:t</0    (P^uf)-

(będziemy stosować skrót „bpn“ od słów binary power option i stopnia n wykładnika binarnej opcji potęgowej).