3893820038

IV-10

§3.1.

a) istnieją liczby a ^ b takie, że ay = a gdy i = j i ay = b w przeciwnym razie, przy czym a ^ 6(1 — fc);

a)    a,ij jest liczbą całkowitą nieparzystą gdy i — j, a parzystą w przeciwnym razie;

b)    a,ij jest liczbą całkowitą parzystą gdy i = j, a nieparzystą w przeciwnym razie, przy czym liczba k jest parzysta.

2. a) Niech funkcje fi : R —► M (i = 1,n) posiadają pochodne aż do rzędu n — 1. Udowodnić, że jeśli funkcje te są liniowo zależne, to wyznacznik macierzy o kolumnach    fn\t)) (j = 0, ...,n — 1) jest równy 0, dla każdego t e R.

(Tu /,•    := fi. Wyznacznik ten nazywany jest wrońskianem funkcji /i,.od

M. Hoehne-Wrońskiego, polskiego matematyka z połowy 19 w.) b) Wykorzystać to do dowodu niezależności funkcji e^x,e^2x,e^3x.

3. Gdy P i Q są rzeczywistymi macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to wyznacznik macierzy | ^    ^ j jest równy |det(P + Qi)|². (Wskazówka: przy pomocy wierszowych i kolumnowych operacji typu (I), przeprowadzić macierz

|, a tę w |

P + Q? Pi - Q

Q P

0

Q P - Q i

4. Zbadać, dla jakich k istnieją macierze A 6 Ad/c(M) takie, że każdy składnik Sgn^K (i)i-"^a7r(k)k sumy we wzorze (4) jest dodatni.

5. Gdy lp + ly 7^ Op, to twierdzenie 2 zostanie słuszne po zmianie warunku (v) na (iv); wynika to z zadania 1 w p.l.

Dla F = Z2 podać przykład różnej od wyznacznika funkcji A42(F) —> F, która jest antysymetryczna, unormowana i wieloliniowa.

Zadania ze zbioru Kostrykina: §1.3.2, §1.1.3.

§ 3. Rozwinięcia wyznacznika.

W dalszej części, wyznacznik macierzy A będziemy wymiennie oznaczać przez det(A)

i |A|.

1. Rozwinięcie Laplace’a.

Niejednokrotnie będziemy mieli do czynienie z wyznacznikami kwadratowych podma-cierzy rozważanej macierzy; nazywamy je jej minorami. Na minor przenosimy nazwy tyczące się podmacierzy, której jest wyznacznikiem. (Mówimy więc o stopniu czy rozmiarze minora, o tym, przez jakie wiersze i kolumny jest wyznaczony, itp.) W