5032124899

34 Mechanika

Każde z tych równań opisuje pewne niezależne drganie harmoniczne, są to tzw. drgania normalne wahadeł sprzężonych. Pierwsze drganie normalne odbywa się z częstością u\, równą częstości drgań własnych wahadła swobodnego loq, a drugie drganie normalne odbywa się z większą od częstością cj₂ = \Jw‘q + 2K. Aby zobaczyć te drgania w ruchu dwóch identycznych wahadeł sprzężonych musimy wiedzieć jak wprawić je w ruch. W tym celu musimy powiązać zmienne p\ i p2 ze zmiennymi p_a i <Pb> będącymi kątami wychylenia wahadeł z położenia równowagi. Ponieważ, na mocy wzoru (1.4.8), p_a = p\ ip2 i <fib = <Pi ~ 2) to jako rozwiązania otrzymujemy:

ip_a(t) = A COS (U\t + 5i) + i? COS (u>21 + 82)

Pb{t) = A cos (ujit + 8\) — B cos (U2t + #2)

Aby układ wykonywał pierwsze drganie normalne potrzeba, aby w dowolnej chwili y?2 = 0, co jest spełnione gdy 5 = 0. Wtedy

ip_a(t) = A cos (uą£ + 5i) = ipb(t),    (1.4.13)

czyli każde wahadło drga z częstością uą = ujq i w dowolnej chwili mamy p_a = pb-Podobnie, aby układ wykonywał drugie drganie normalne w dowolnej chwili p\ = 0, co jest równoważne wymaganiu aby A = 0. Wtedy

p_a(t) = B cos(u>2t + S₂) = ~Pb(t)    (1.4.14)

i każde z wahadeł drga z częstością w₂ = \/u>‘q + 2K i w każdej chwili p_a = —pb-Rozważmy przypadek, gdy dwa drgające jednakowe wahadła sprzężone nie wykonują drgań normalnych. Dowolne rozwiązanie układu równań ruchu można przedstawić jako kombinację liniową znalezionych rozwiązań (1.4.12). Jeżeli, dla prostoty rachunku, przyjmiemy równość amplitud drgań normalnych i fazy początkowe równe zero (A = B, 81 = 82 = 0) to z równań (1.4.12) otrzymamy:

p_a(t) = 2A cos (^^t) cos (“2±^) = A_mod(t) cos (isa^a*) Pb{t) = 2Asin (^² 2^1,111) sin (^u;2+^a’¹1) = B_mod(t) cos (^a’²+^u)11)

Powyższe zależności przedstawione są w postaci graficznej na rysunku 1.4.2.

Opisując zachowanie wahadeł na podstawie powyższych równań, możemy powiedzieć, że każde z nich wykonuje dragania o częstości u = (u>2 + uą)/2 i amplitudzie zmieniającej się w czasie z częstością o»_mod = (^2 ^— ^i)/2. Jednakże, gdy jedno z wahadeł ma maksymalne wychylenie, drugie w tym momencie spoczywa. Następnie amplituda pierwszego wahadła stopniowo maleje, a drugiego rośnie, aż sytuacja się odwróci. Następnie amplituda drugiego wahadła stopniowo maleje, a pierwszego rośnie i sytuacja powtarza się cyklicznie. W ciągu jednego okresu modulacji amplituda każdego