Sprawy organizacyjne
" 3 kolokwia
" kartkówki  około 5
" 3 nieobecności usprawiedliwione wykluczają z zajęć
" projekty oddane przed kolokwium
" egzamin testowy
" punkty bonusowe
" jednolity system w grupach
" semestr pierwszy  statyka
" programy komputerowe STATYKA , PRZEKRÓJ (do ściągnięcia ze strony internetowej)
" http://www.limba.wil.pk.edu.pl
31 Styczen, 2009
Menu Linki...
Skład osobowy katedry stanowią:
· Strona główna
" Profesorowie
· Edukacja
" Marcin Chrzanowski MC, kierownik katedry
· Nauka
" Janusz German JG
· SkÅ‚ad osobowy
· Poczta
Adiunkci
· Konfiguracja e-mail
" Mariusz Hebda MH
· Bazy danych
" Małgorzata Janus-Michalska MJM
" Adam Kisiel AK
Wybór jezyka
" Piotr Kordzikowski PK
Wybierz język interfejsu:
" Paweł Latus PL
" Kinga Nalepka KNA
" Adam Zaborski AZ
Wykładowcy
" Marek Matyjaszek MM
" Bogusław Zając BZ
Asystenci
" Krzysztof Nowak KN
Pracownicy Inżynieryjno-Techniczni
" Stanisław Bartecki BS Stanisław Strus SS
Materiały edukacyjne dostępne w KWM:
Zagadnienia dla studentów autor Adam Zaborski
Wykład Wytrzymałosć Materiałów autor Janusz German
Wytrzymalosc Materialow. Podrecznik dla studentow studiow kierunku
budownictwo, autor Adam Bodnar
Laboratorium Wytrzymałosci Materiałów praca zbiorowa pod redakcją Stefana
Piechnika
książki dostępne w bibliotece PK oraz w bibliotece IMB
S. Piechnik, Wytrzymałość Materiałów,
Podręcznik akademicki PK, 2001
ĆWICZENIE 0 (2.03.2009) Reakcje
WARIANTY RÓWNAC
DLA UKA
ADU PA
ASKIEGO.
A)
"M ( A) = 0 "M (B) = 0 "M (C) = 0
Sprawdzenie: X = 0 lub
" "Y = 0
A, B, C niewspółliniowe
B) X = 0
"M ( A) = 0 "M (B) = 0 "
Sprawdzenie:
"M (C) = 0 lub "Y = 0
Prosta A,B nie jest prostopadła do osi X, A, B, C niewspółliniowe
C) X = 0
"M ( A) = 0 " "Y = 0
Sprawdzenie:
"M (B) = 0
Prosta A,B nie jest prostopadła do osi X
Prosta A,B nie jest prostopadła do osi Y
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Praktyczny wybór taki, aby równania były rozprzęgnięte (o ile nie jest to
przepłacone liczeniem żmudnej geometrii)
O wyborze decyduje
" rozprzęgnięcie równań w układzie
" łatwość ułożenia równań
Uwaga: jeśli podpora ma reakcję momentową, to niemożliwe staje się
rozprzęgnięcie układu równań
TYPY PODPÓR
przegubowa przesuwna przegubowa nieprzesuwna
´uA `" 0 Ò! HA = 0 ´uA = 0 Ò! HA `" 0
´ vA = 0 Ò! RA `" 0 ´ vA = 0 Ò! VA `" 0
pełne utwierdzenie utwierdzenie z przesuwem
´uA = 0 Ò! HA `" 0 ´uA = 0 Ò! HA `" 0
´ vA = 0 Ò! VA `" 0 (´ vA `" 0 Ò! VA = 0)
´ÕA = 0 Ò! M `" 0 ´ÕA = 0 Ò! M `" 0
A A
utwierdzenie z przesuwem poziomym
´uA `" 0 Ò! HA = 0
´ vA = 0 Ò! VA `" 0
´ÕA = 0 Ò! M `" 0
A
podpora przegubowa nieprzesuwna
dwie niezależne siły na dwóch dowolnych wzajemnie prostopadłych
kierunkach.
przegubowa przesuwna
Reakcja prostopadła do linii przesuwu. Jeśli ją rozkładamy na dwa
dowolnie prostopadłe kierunki, to składowe są zależne (z reguły
równoległoboku). (te składowe otrzymujemy również w programach
komputerowych np. STATYKA).
R1 = RA cosÄ… R2 = RA sinÄ…
ZNAKOWANIE MOMENTÓW
do zapisu równań równowagi nie ma znaczenia , bo przyrównujemy
sumę momentów do zera. Wystarczy umówić się co do znaku i
stosować konsekwentnie.
np. zgodnie ze wskazówkami zegara plus, a przeciwnie minus.
Dyskusja zwrotów reakcji
Układ uwalniamy od więzów zastępując je reakcjami, przy czym na
rysunku obieramy zwrot reakcji i zaznaczamy go. Jeśli z obliczeń
uzyskamy wartość ujemną, to znaczy , że przyjęty zwrot jest
niewłaściwy i należy go zastąpić przeciwnym.
w praktyce skreślamy wcześniej przyjęty zwrot i rysujemy nowy i od tej
pory posługujemy się tym co widzimy na rysunku (nie wynikiem
obliczeń z wartością ujemną). Pozwala to uniknąć błędu.
Np.
" Zakładamy na początku zwrot obu reakcji do góry jak na rysunku
" Równanie
"M ( A) = 0 a" M + RB Å"l = 0 Ò! RB = -M
l
" Otrzymujemy ujemny znak reakcji
" Na rysunku skreślamy przyjęty wcześniej zwrot, zmieniamy na
przeciwny
" Teraz czytamy tylko z uaktualnionego rysunku i liczymy:
"Y = 0 a" RA + RB = 0 Ò! RA - M = 0
l
(minus, bo zwrot jest przeciwny do osi Y)
M
RA = dodatnia wartość znaczy, że przyjęty zwrot jest poprawny
l
ZASADA SUPERPOZYCJI
 Efekt od sumy przyczyn jest równy sumie efektów od poszczególnych
składników przyczyny
Obliczyć reakcje
Rozkładamy obciążenie na składniki, i od każdego (w pamięci) liczymy
reakcje
Reakcje od sumy obciążeń składowych, są sumą reakcji od
poszczególnych składników
+
=
ZADANIE 1 RozwiÄ…zanie 1 UKA
ADANIE RÓWNAC
RÓWNOWAGI
cosÄ… = 0.8 sinÄ… = 0.6
Równania wariantu A  dla przypadku, gdy reakcjami są 3 siły.
Przycięcia kierunków każdych dwóch sił z tego układu stanowią punkty
względem których należy napisać równania momentów. Gwarantuje to
zupełne rozseparowanie równań ze względu na kolejne niewiadome
reakcje, co daje łatwość ich obliczania.
"M (01) = 0 a" R1 Å"10 -10Å"8Å" 4 = 0 Ò! R1 = 32 kN
"M ( A) = 0 a" RC Å"8 -10Å"8Å" 4 = 0 Ò! RC = 40 kN
Przykład na znakowanie momentów w każdym równaniu inaczej może być
6 8 40
Z podobieÅ„stwa trójkÄ…tów : = Ò! r =
10 r 3
-10Å"8Å" 4 = 0 Ò! R2 = 24 kN
"M (02 ) = 0 a" R2 Å" 40
3
Uwaga: obliczenia dla przejrzystości prowadzimy bez jednostek, wynik
końcowy podajemy zawsze z jednostką.
Sprawdzenie np. wariantem B
RozwiÄ…zanie 2
"M ( A) = 0 a" RC Å"8 -10Å"8Å" 4 = 0 Ò! RC = 40 kN
"M (0) = 0 a" VA Å"8 -10Å"8Å" 4 = 0 Ò! VA = 40 kN
X = 0 a" HA = 0
"
Sprawdzenie
ZADANIE 2  UKA
ADANIE RÓWNAC
RÓWNOWAGI
Równania rozprzężone:
2
X = 0 a" -RA Å"+ 20 = 0 Ò! RA = 20 2 kN
"
2
=
"Y ' = 0 a" -20Å" 2 +VB Å" 2 0 Ò! VB = 20 kN
22
"M (0) = 0 a" M - 20 2 Å" 2 - 20Å"1Å"0.5 = 0
A
Ò! M = 50 kNm
A
Sprawdzenie: =
"Y = 0 a" 20 - 20 - 20 + 20 2 Å" 2 0
2
lub
"M ( A) = 0 a" 50 + 20Å"1- 20Å" 2 - 20Å"1Å"1.5 = ?0
OBCI
ŻENIA CI
GA
E
jednostka gęstości obciążenia na metr bieżący kN/m
dla potrzeb równań równowagi konstrukcji jako całości obciążenie
ciągłe można zastąpić wypadkową (jako obciążeniem statycznie
równoważnym) .Dla wypadkowej musimy określić jej wartość punkt
zaczepienia oraz kierunek. Na użytek równań równowagi momentów
względem zadanego punktu na płaszczyz
nie należy podać moment jaki
daje wypadkowa względem tego punktu.
Typy obciążeń ciągłych o stałej gęstości
a) M = W Å" d
b)
M = W Å" d
M = W Å" d
c)
M = W Å" d
d)
obliczanie momentu w zadanym układzie współrzędnych


M = r ×W M = rx Å"Wy - ry Å"Wx
Tak liczymy, gdy ramiÄ™ d trudno siÄ™ wyznacza (nietypowy kierunek na
płaszczyz
nie)
Obciążenia o zmiennej gęstości
qmax - qmin
qmax ( )
q x = x q x = qmin + x
( ) ( )
l l
q1 q2
=Ò! b Liczymy osobno jak dwa trójkÄ…ty
b l - b
Ogólnie:
l
l
+"q(x)Å" x dx
0
gdzie:W =
+"q(x) dx x0 =
l
0
+"q(x) dx
0
PROJEKT 1
Dla belki podanej na rysunku ułożyć równania równowagi, rozwiązać ze
względu na reakcje oraz sprawdzić poprawność rozwiązania.
Dla ramy podanej na rysunku ułożyć równania równowagi, rozwiązać
ze względu na reakcje oraz sprawdzić poprawność rozwiązania.
Reakcje w układach złożonych (przegubowych)
4 niewiadome reakcje
3 równania równowagi dla całości
1 równanie równowagi momentów wybranej części względem przegubu
Kolejność układania i rozwiązywania równań podyktowana szybkością
rozwiązania (reakcje obliczone traktujemy w kolejnych równaniach jako
znane)
II
M (C) = 0 Ò! -10 - 5Å" 4 - 5Å" 4Å" 2 - 4Å" RG = 0 Ò! RG =10 kN
"
y
"M (B) = 0 Ò! -10Å"VA + 8Å"5 - 5Å"8 + 5Å" 4Å" 2 = 0 Ò! VA =
y
"Y = 0 Ò!-5Å" 4 +VA + 6,25 + RF + RE = 0 Ò! RB = 6,25 kN
X = 0 Ò! HA + 5,0 = 0 Ò! HA = -5 kN
"
Belki gerberowskie - inna metoda
Punkty charakterystyczne
" PoczÄ…tek i koniec belki lub konstrukcji
" Punkty , w których przyłożone są więzy (podpory)
" Punkty przyłożenia obciążeń skupionych
" Punkty początkowe i końcowe obciążeń ciągłych określonych jedną funkcją
" Punkty zmiany kąta nachylenia osi względem globalnego układu
współrzędnych
PROGRAM STATYKA - schemat blokowy
[P]unkty ----- [E]lementy ------ [W]ięzy ----- [O]bciążenia -----
[R]ezultaty---[L]ista wyników
[P] punkty charakterystyczne oraz dodatkowe w/g wyboru kolejno
numerowane. Dane : współrzędne punktu
[E] prostoliniowe elementy konstrukcji kolejno numerowane, Å‚Ä…czÄ…ce
punkty o podanych numerach
[W] podpory , każdy typ posiada kod.
[O] obciążenia:
punktowe
a) siła skupiona na kierunku poziomym (wartość i punkt przyłożenia)
b) siła skupiona na kierunku pionowym (wartość i punkt przyłożenia)
c) moment skupiony (wartość, element z podaniem miejsca
przyłożenia - początku lub końca)
ciągłe liniowe (poziome czy pionowe, wartość początkowa , wartość
końcowa, element nad którym przyłożone)
[R] uruchomienie solvera
[L] lista wyników
reakcje , wykresy N, Q, M na poszczególnych elementach , ugięcia
belek& & & .
Wersja programu w środowisku WINDOWS
Upraszcza zadawanie konstrukcji przez rysowanie ([P], [E], [W])