ĆWICZENIE 1 Funkcje sił przekrojowych dla belek prostych
(9.03.2009)
Układ własny  wersor normalny zewnętrzny do płaszczyzny podziału,
wersor styczny o zwrocie tak, jak od wersora normalnego idÄ…
wskazówki zegara; wersor momentów , taki, który ciągnie wyróżnione
włókna.
Funkcje sił przekrojowych dla belek prostych
reakcje
åðM (ðD)ð =ð 0 Þð 2×ð8 +ð 4 -ðVB ×ð6 +ð 9×ð3 =ð 0 VB =ð 9.4 kN
åðM (ðB)ð =ð 0 Þð 2×ð3 +ð 4 -ð 9×ð 2 +ð R2 ×ð5 =ð 0 R =ð1.6 2 kN
åðX =ð 0 Þð HB -ð R2 =ð 0 åðH =ð R2 =ð1.6 kN
B
PrzedziaÅ‚ AB xÎð 0, 3
(ð )ð
P L
N x =ð 0 NA =ð 0 NB =ð 0
(ð )ð
P L
Q x =ð-ð2 QA =ð-ð2 QB =ð-ð2
(ð )ð
P L
M x =ð -ð2×ð x M =ð 0 MB =ð-ð6
(ð )ð
A
q x
6 (ð )ð
Z proporcji =ð Þð q x =ð 2×ð x -ð 3
(ð )ð (ð )ð
3 x -ð 3
(ð )ð
PrzedziaÅ‚ BC xÎð 3, 6
(ð )ð
P L
N x =ð-ð1.6 NB =ð-ð1.6 NC =ð-ð1.6
(ð )ð
2×ð x -ð 3 ×ð x -ð 3
(ð )ð (ð )ð
P
Q x =ð -ð2 +ð 9.4 -ð QB =ð-ð2+9.4=7.6
(ð )ð
2
L
QC =ð-ð11+9.4=-1.6
1
M x =ð -ð2×ð x -ð 4 +ð 9.4×ð x -ð 3 -ð x -ð 3 ×ð 2 x -ð 3 x -ð 3
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð1(ð )ð
23
P L
MB =ð-ð10 MC =ð 3.2
PrzedziaÅ‚ CD xÎð 6, 8
(ð )ð
P L
N x =ð-ð1.6 NB =ð-ð1.6 NC =ð-ð1.6
(ð )ð
P L
Q x =ð-ð1.6 QC =ð-ð1.6 QD =ð-ð1.6
(ð )ð
P L
M(x)=1.6(8-x) MB =ð 3.2 MC =ð 0
Funkcje sił przekrojowych
·ð zapisujemy wewnÄ…trz każdego przedziaÅ‚u charakterystycznego
osobno
·ð przez punkt wewnÄ…trz przedziaÅ‚u charakterystycznego dokonujemy
przecięcia pręta płaszczyzną do niego prostopadłą. Wybieramy
przekrój poprzeczny dodatnio zorientowany względem osi x układu
lokalnego. Do tego punktu redukujemy układ sił przyłożonych do
części II (wg definicji)
·ð jeÅ›li poprzez wygodÄ™ decydujemy siÄ™ na redukcjÄ™ ukÅ‚adu siÅ‚
przyÅ‚ożonych do części I to korzystamy z twierdzenia ZII =ð-ð ZI ,
(ð )ð (ð )ð
lecz ze względu na to, że wersory układu własnego zwróconego na
przeciwną stronę mają również przeciwne zwroty, otrzymujemy w
rezultacie to samo co przy redukcji na stronÄ™ dodatnio zorientowanÄ….
Redukcja -obliczenie współrzędnych sumy i momentu w układzie
globalnym.
Obliczenie wartości sił przekrojowych odniesienie wielkości
otrzymanych w wyniku redukcji do układu lokalnego.
Zadanie.
wyznaczenie funkcji sił przekrojowych
Osie układu lokalnego
Przedział AB
-ð
xÎð 0,2 x =ð 0 x =ð 2
(ð )ð
Fx(x) =ð-ð5 Fx(0) =ð-ð5 Fx(-ð2) =ð-ð5
Fz (x) =ð-ð2,5 Fz (0) =ð-ð2,5 Fz (-ð2) =ð-ð2,5
M (x) =ð -ð2,5×ð x M (0) =ð 0 M (-ð2) =ð-ð5,0
y y y
xÎð 2,4
(ð )ð
Przedział BC
+ð -ð
x =ð 2 x =ð 4
Fx(x) =ð 0 Fx(+ð 2) =ð 0 Fx(-ð4) =ð 0
Fz (x) =ð -ð2,5 +ð 2,5 Fz (-ð2) =ð 0 Fz (-ð4) =ð 0
M (x) =ð -ð2,5×ð x +ð 2,5 x -ð 2 +ð 30 M (+ð 2) =ð 25 M (-ð4) =ð 25
(ð )ð
y y y
xÎð 4,6
(ð )ð
Przedział CD
+ð -ð
x =ð 4 x =ð 6
Fx(x) =ð 0 Fx(+ð 4) =ð 0 Fx(6) =ð 0
Fz (x) =ð -ð25 +ð 20 =ð -ð5 Fz (+ð 4) =ð-ð5 Fz (-ð6) =ð-ð5
M (x) =ð -ð2,5×ð x +ð 2,5 x -ð 2 +ð 30 -ð 5 x -ð 4 , lub
(ð )ð (ð )ð
y
M (x) =ð -ð25×ð 6 -ð x +ð 35 -ð10×ð 2 7 -ð x
(ð )ð (ð )ð
y
M (+ð 4) =ð 25 M (-ð6) =ð15
y y
xÎð 6,8
(ð )ð
Przedział DE
+ð -ð
x =ð 6 x =ð 8
Fx(x) =ð 0 Fx(-ð6) =ð 0 Fx(8) =ð 0
Fz (6) =ð 20 Fz (8) =ð 0
Fz=10(8-x)
10
2
M (x) =ð -ð 8 -ð x , M (6) =ð-ð20 M (8) =ð 0
(ð )ð
y y y
2
Zasady sporządzania wykresów momentów zginających
·ð podpisujemy wartoÅ›ci bezwzglÄ™dne w punktach charaktery-
stycznych, z lewej strony oraz z prawej i jeśli granice są różne to
kółko niezaczernione
·ð nie piszemy znaku
·ð wartoÅ›ci dodatnie odnosimy po stronie wyróżnionych włókien
przez wersor układu własnego
Zasady sporządzania wykresów sił podłużnych i poprzecznych
·ð podpisujemy wartoÅ›ci bezwzglÄ™dne w punktach charaktery-
stycznych, z lewej strony oraz z prawej i jeśli granice są różne to
kółko niezaczernione
·ð znak piszemy pod wykresem
·ð jeÅ›li wykres siÅ‚ jest poprawny , to jego lustrzane odbicie wzglÄ™dem
osi belki jest również poprawne
Wykres sił podłużnych Fx (inne oznaczenie N ) :
Fx(0) =ð-ð5 Fx(-ð2) =ð-ð5 Fx(+ð 2) =ð 0 Fx(-ð4) =ð 0
Fx(+ð 4) =ð 0 Fx(6) =ð 0 Fx(-ð6) =ð 0 Fx(8) =ð 0
jednostka kN
[kN]
Wykres sił poprzecznych Fz (inne oznaczenie Q ) :
Fz (0) =ð-ð2,5 Fz (-ð2) =ð-ð2,5 Fz (-ð2) =ð 0 Fz (-ð4) =ð 0
Fz (+ð 4) =ð-ð5 Fz (-ð6) =ð-ð5 Fz (6) =ð 20 Fz (8) =ð 0
jednostka kN
[kN]
Wykres momentów zginających My (inne oznaczenie M )
dodatnie wartości rysujemy po stronie włókien , które rozciąga wersor układu
własnego
M (0) =ð 0 M (-ð2) =ð-ð5,0 M (+ð 2) =ð 25 M (-ð4) =ð 25
y y y y
M (+ð 4) =ð 25 M (-ð6) =ð15 M (6) =ð-ð20 M (8) =ð 0
y y y y
jednostka kNm
 [kNm]
Wykresy
Typy obciążeń na belce (elemencie ukośnym)
q [kN / m]
m.b. odmierzany wzdłuz osi x
W =ð q ×ð x
x
x1 =ð Þð x =ð x1 ×ðcosað
cosað
2
x q ×ð x2 q ×ð x1 ×ðcos2 að
M x =ð -ðW ×ð =ð -ð M x1 =ð-ð
(ð )ð (ð )ð
22 2
Q x =ð -ðW ×ðcosað =ð -ðq ×ð x ×ðcosað Q x1 =ð -ðq ×ð x1 ×ðcos2 að
(ð )ð (ð )ð
N x =ð -ðW ×ðsinað =ð -ðq ×ð x ×ðsinað N x1 =ð -ðq ×ð x1 ×ðsinað ×ðcosað
(ð )ð (ð )ð
q [kN / m] m.b. odmierzany wzdłuz osi x1
W =ð q ×ð x1
x q ×ð x x
M x =ð -ðW ×ð =ð -ð ×ð
(ð )ð
2 cosað 2
q ×ð x
Q x =ð -ðW ×ðcosað =ð -ð ×ðcosað
(ð )ð
cosað
q ×ð x
N x =ð W ×ðsinað =ð ×ðsinað
(ð )ð
cosað
q [kN / m] m.b. odmierzany wzdłuz osi x1
W =ð q ×ð x1
x1 2
q ×ð x1
M x1 =ð -ðW ×ð =ð -ð
(ð )ð
22
Q x =ð -ðW =ð -ðq ×ð x1
(ð )ð
N x =ð 0
(ð )ð
Zadania do samodzielnego wykonania
Wyznaczyć wykresy sił przekrojowych w belkach.
(Uwaga: funkcje pisać z jednej strony, i sprawdzić zgodność tzn. np. zerowanie funkcji momentów
dla punktu końcowego. Drugi sposób to napisanie funkcji raz z lewej raz z prawej strony i
sprawdzenie czy w środku belki wyjdzie to samo.)
A) B)
(ð )ð (ð )ð
åðM C =ð 0 Þð 20×ð4×ð2 -ð 20 -ðVA ×ð4 =ð 0 åðM C =ð 0 Þð 20×ð5×ð5 -ð 20 +ð 30×ð3-ðVA ×ð 4 =ð 0
2
VA =ð 57.5 kN VC =ð 22.5 kN VA =ð 80.0 kN
C)
VA =ð 80.0 kN
(ð )ð
åðM C =ð 0 Þð 20×ð5×ð5 -ð 20 +ð 30×ð3-ðVA ×ð 4 =ð 0
2
PRZYKA
AD: Belkę z pierwszego zadania odbić lustrzanie
Rozpisać i porównać rozwiązania
PRZYKA
AD
Obciążenie trapezowe:
Uwaga: ułożyć równanie q(x)