ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych
USTROJE ZA
OŻONE
A) o trzech reakcjach podporowych B) o liczbie większej niż 3 -
reakcjach podporowych
N=3 N>3
A) wyznaczanie reakcji z równań równowagi bez analizy części składowych
wyznaczenie więzów wewnętrznych z dodatkowych równań, wymagana jest analiza
części składowych. n  przegubów wewnętrznych ; n sił wewnętrznych do policzenia z
I
równań równowagi M Oi = 0 ,i =1,2...n
( )
"
.
B) 3 równania równowagi dla ustroju płaskiego
N-3 równań dodatkowych nie generujących nowych niewiadomych, dotyczących
równowagi części składowych.
Algorytm:
- obliczenie reakcji,
- obliczenie części kratowych dostępnymi metodami, (najpierw musimy rozróżnić częsci
ramowe i kratowe i zaznaczyć na rysunku, gruba linia  rama, cienka  krata)
- obliczenie sił wewnętrznych dla ram.
Przegub
Rozcięcie przegubu wprowadza dwie dodatkowe niewiadome. Oblicza się je z równań:
I I
X = 0 Y = 0
" "
Inne rodzaje przegubu:
Przypadek 1)
4 reakcje podporowe
I
3 równania rownowagi, 1 równanie M O1 = 0 potrzebne do wyznaczenia jednej reakcji
( )
"
I I
Siły N1, N2 w prętach oblicza się z równowagi wybranej części X = 0 Y = 0
" "
Przypadek 2)
4 reakcje podporowe
I I
3 równania rownowagi, 1 równanie Y = 0
( )
" "
(zamiast M O1 = 0 )
potrzebne do wyznaczenia jednej reakcji
Siły N1, N2 w prętach oblicza się z równowagi wybranej części :
I I
M O1 = 0 Ò! N2 M O2 = 0 Ò! N1
( ) ( )
" "
Siła przyłożona w przegubie  sposób rozwiązywania
Dla przegubu równanie nie generujące dodatkowej niewiadomej wynikłej z rozciącia
I II
konstrukcji na części to M = 0 lub M = 0
" "
.
Przegub pod ramÄ…
TYP A
PRZYKA
AD 1
Zadaniem jest sporządzenie wykresów funkcji sił przekrojowych dla przegubowej ramy
płaskiej pokazanej na rysunku.
Obliczenie reakcji
4 niewiadome reakcje podporowe
3 równania równowagi i 1 równanie zerowania momentu jednej z części ramy względem
przegubu.
II
M (C) = 0 Ò! -10 - 5 Å" 4 - 5Å" 4 Å" 2 - 4 Å" RG = 0 Ò! RG = 10 kN
" y
(B) = 0 Ò! -10 Å"VA + 8Å" 5 - 5Å"8 + 5Å" 4 Å" 2 = 0 Ò! VA =
"M y
"Y = 0 Ò! -5 Å" 4 + VA + 6,25 + RF + RE = 0 Ò! RB = 6,25 kN
X = 0 Ò! H + 5,0 = 0 Ò! H = -5 kN
" A A
KOLOKWIUM
40 kN
D
20 kNm
20 kN
2
C
Przykład 1.1. Rozwiązać układ złożony.
2
F
E
wymiary w
10 kN/m
4
m
A B
2 2
2 2
RozwiÄ…zanie
Analiza układu pokazuje, że składa się on z dwóch zasadniczych części: części ramowej A-C-
D-E-F-B (układ trójprzegubowy ze ściągiem) na którym w punktach D i F opiera się
kratownica. Możemy więc wpierw rozwiązać kratownicę, a następnie układ ramowy.
RozwiÄ…zanie kratownicy.
10 kN D 40 kN
Rozwiązanie jej nie powinno stanowić trudności.
3
Schemat statyczny i wartości reakcji obok.
1 20 kN
Wartości sił podłużnych w prętach podane są niżej: 2
N12 = -40.0 kN, N13 = -10.0 kN, N23 = 7.07 kN, 2
4
2
N34 = -7.07 kN, N24 = 30.0kN, N2F = -49.50 kN,
F
N4F = -7.07 kN.
30 kN
40 kN
2
2
Rozwiązanie układu ramowego.
Obciążony siłami oddziaływania wspierającej się na nim kratownicy, ma reakcje pokazane na
rysunku niżej. Siły podłużne w prętach kratowych A-B, C-D i C-E wyznaczymy rozpatrując
równowagę lewej części ramy po wykonaniu przekroju jej na dwie części jak to pokazuje
rysunek.
NCD
10 kN
D
20 kNm
20 kNm
40 kN
2
C C
2
NCE
30 kN
F
E
6
4
10 kN/m
A B A
B
G
20 kN 20 kN
N
30 kN
10 kN 10 kN AB
4 2 6
2 6
Z warunków równowagi odciętej części ramy otrzymujemy:
MC = 0; N * 6 + 20* 6 + 20 = 0 N = -23.33 kN,
"
AB AB
M = 0 ; NCD * 6 2 +10* 6 - 20 = 0 NCD = -4.71 kN,
"
B
M = 0 ; NCE * 6 2 -10* 6 - 20 = 0 NCE = 9.43 kN.
"
G
Stąd siły obciążające pręty ramowe rozważanej konstrukcji przedstawiają się następująco:
3.33 kN
10 kN
10 kN
3.33 kN D
40 kN
4
C
6.67 kN E
3.33 kN
30 kN
F
6
6.67 kN
4
10 kN/m
23.33 kN
B
23.33 kN
20 kN A
30 kN
10 kN
4
Wykresy i wartości sił przekrojowych w układzie pokazują poniższe rysunki.
6.67
M Q
kNm kN
3.33
20.0
16.6
13.33
26.67
1.67
27.22
3.33
23.33
10.0
10.0
3.33
7.07
4.71
7.07
N
30.0
kN
49.5 7.07
10.0
23.33 30.0
20 kNm
26.67
10.0
40.0
9.43
13.33
6 kN/m
5
C
wymiary w
3
m
24 kNm
Przykład 1.2. Rozwiązać układ złożony.
4
3
2
3
A
B
1
10 kN 15 kN
RozwiÄ…zanie
6.5 kN 3
6 kN/m
Analizując konstrukcję możemy zobaczyć, że 3
5
stanowią ją trzy układy ramowe A-1-2, 2-C-5 C
i 5-3-4-B, połączone przegubami 2 i 5 oraz
3
24 kNm
spięte dwoma prętami kratowymi (cięgnami)
1-4 i 2-3. Ten geometrycznie niezmienny
4
układ opiera się na trzech przegubowo 3
2
przesuwnych podporach. Konstrukcja jest
3
geometrycznie niezmienna i statycznie
3.5 kN
A
wyznaczalna. Wartości reakcji wyliczone z
B
1
warunków równowagi układu jako całości
10 kN 15 kN
3.0 kN 3
pokazane sÄ… na rysunku obok.
3
Występowanie prętów kratowych sugeruje sposób
Ä…
rozwiązania polegający na dokonaniu przecieć przez te
2
pręty i odpowiednie przeguby w celu wyznaczenia
N14
występujących w prętach sił osiowych a następnie
3
wyznaczenie sił przekrojowych w częściach ramowych .
A
Siłę w pręcie 1-4 wyznaczymy z przekroju ą -ą i
1
10 kN
warunku zerownaia się momentów względem przegubu 2
Ä…
3
sił działająych na część dolną (patrz rys. obok).
3 kN
M = 0 ; N14 * 3 2 -10* 3 = 0 N = 7.07 kN.
"
2 AB
Teraz z przekroju ² - ² i zerowania siÄ™ momentów
²
5
względem przegubu 5 części prawej wyznaczymy siłę
podłużną w pręcie 4-5.
3
24 kNm
M = 0 ;
"
5
N23 * 3 + 7.07* 3 2 + 24 - 3.5* 6 -15* 3 = 0
4
3
N23
N23 = 4.0 kN.
3
3.5 kN
7.07 kN B
²
3
15 kN
Siły obciążające pręty ramowe rozważanego układu i wykresy sił przekrojowych pokazane są
niżej.
6 kN/m
1.33
6.5 kN
5
3.0
C
M
kNm
3
24 kNm
4 kN 10.5
16.5
4
4 kN 3
2
3
7.07 kN
3.5 kN
A
B
9.0
1
10 kN
15 kN
3.0 kN 3
3
8.0
5.5
N
Q
1.0
kN
kN
4.0
7.07
2.12
3.5
15.0
9.19
Przykład 1.3. Rozwiązać układ złożony.
3
2
C
2 2
5 kN/m
wymiary w
2
m
B
2
A
4
1
2
D
4 2
2
8.33
40.5
8
.0
5.5
10.0
1
.5
10.0
3.0
2 H3
2
RozwiÄ…zanie
2
RC
V3
Wszystkie pręty tego układu są prętami
2
III
ramowymi, stąd żadne ułatwienia w jego
H V2
rozwiązaniu polegające na przecięciach
2 V3
V2
przez przeguby i pręty kratowe nie mogą
być zastosowane. W dodatku nie można
H3
H 2
2
wyznaczyć wartości reakcji rozpatrując
warunki równowagi całego układu.
II
H
2
B
Wynika z tego, że jedynym rozsądnym
IV
8
podejściem do jego rozwiązania to
V1 H1
rozbicie na podukłady (jak to pokazane
V1 V4
V4
jest obok) i kolejne ich rozwiÄ…zywanie.
I
Mamy teraz cztery układy w których
H4 H
H1 4
2
występuje 12 niewiadomych reakcji oraz
VA
4 4
wzajemnych oddziaływań w przegubach ,
i możemy napisać 12 równań równowagi VD
do ich wyznaczenia.
Takie podejście niewatpliwie doprowadzi
do wyniku, ale jest jednak dość żmudne.
Aby tego uniknąć możemy analizując warunki równowagi poszczególnych części szybciej
dojść do rozwiązania.
Z warunków równowagi części IV (patrz rys.
20.0
2
2
obok) otrzymujemy:
2 0.0
M = 0 H3 = 20.0 kN,
"
4 20.0
M = 0 H4 = 20.0 kN.
"
3 2
III
Z warunków równowagi części I ( X = 0 )
"
20.0 20.0
20.0
wynika: H1 = 20.0 kN.
20.0
Teraz z warunków równowagi części II
20.0 20.0
2
wyznaczymy:
M = 0 H = 20.0 kN,
"
B 2
II
40.0
2
M = 0 H = 40.0 kN.
"
2 B
IV
8
20.0
Z warunków równowagi części III 20.0
10.0
otrzymujemy:
20.0 10.0
I
X = 0 RC = 0 ,
"
20.0
M = 0 V3 = 20.0 kN, 20.0
" 20.0
2 2
10.0
4 4
M = 0 V2 = 20.0 kN.
"
3
10.0
Pozostało do wyznaczenia: VA , V1, V4 i VD .
Teraz z warunków równowagi części II otrzymamy:
Y = 0 V1 = 20.0 kN, a z warunków równowagi części I:
"
M = 0 V4 = 10.0 kN, M = 0 VA = 10.0 kN.
" "
1
A
Kończymy analizując równowagę części IV, z której wynika:
Y = 0 V4 = 10.0 kN.
"
5 kN/m
5 kN/m
Ostatecznie wyznaczone wartości oddziaływań pokazuje rysunek wyżej.
Wykresy sił przekrojowych pokazane są na rysunkach niżej.
28.28
20.0
M N
Q
20.0
kNm kN
kN
28.28
20.0
40.0
20.0
20.0
40.0
20.0
10.0
2
Przykład 1.4. Rozwiązać układ złożony.
9 kN
1
9 kN
1
wymiary w
A 1
3 m
1
45Ë%
1
B
2 1 1 1.5
1.5
4
RozwiÄ…zanie
9 kN
1
Wszystkie pręty tego układu są prętami
3
ramowymi, stąd żadne ułatwienia w jego
9 kN
1
RAH=2.0 kN
rozwiązaniu polegające na przecięciach
A
1 2
przez przeguby i pręty kratowe nie mogą 1
45Ë% RAV=2.0 kN
być zastosowane. Ale tym razem w
B
1
przeciwieństwie do przykładu 1.2, łatwo
HB=11.0 kN
wyznaczymy wartości reakcji z warunków
2 1 1 1.5
1.5
równowagi układu jako całości, ich
VB=7.0 kN
wartości pokazane są na rysunku obok.
Mając obliczone reakcje możemy wyznaczyć wartości sił przekrojowych w prętach A-1 i 2-B.
Aby wyznaczyć wykres momentów na pręcie 1-3-4 wycinany go z konstrukcji i obliczamy
prostopadłe do niego oddziaływania konstrukcji, które przyjmiemy do obliczeń ze zwrotami
dodatnich sił poprzecznych.
Z warunków równowagi wyciętego pręta 1-3-4
N43
otrzymujemy:
4
M = 0 Q13 = 3.182 kN,
"
4 9 kN
M = 0 Q43 = -3.182 kN, Q43 1
"
1
3
co pozwala na wyznaczenie w nim momentów
1
1
zginających i sił poprzecznych N13 Q13
1 1
40.0
20.0
10.0
10.0
Momenty zginające i siły poprzeczne w
M
11.5
4.5
pozostałych przedziałach charakterystycznych
kNm
możemy wyznaczyć postępując analogicznie.
Ale możemy to zrobić prościej pamiętając, o
zerowaniu się momentów w przegubach i
liniowości funkcji momentów w przypadku
braku obciążenia w przedziale. Zatem wykres 4,60
momentów w rozważanym układzie Q
3,182
przedstawia siÄ™ tak jak to pokazuje rysunek
kN
obok. A wykres sił poprzecznych bardzo
łatwo wyznaczymy korzystając z zależności
3,182
między pochodną momentów i siłą
poprzecznÄ….
Wykres sił poprzecznych pokazany jest obok
na rysunku.
4,60
Siły podłużne wyznaczymy wycinając węzły i rozpatrując warunki równowagi sił na nie
działających.
·
N13
3.182
Węzeł 1
Y = 0 N13 = -1.263 kN, 2.0
"
N12
1
· = 0 N12 = -3.357 kN.
" 4.60
1.143 N24
2.0
sin Ä…=0.8
9.0
cos Ä…=0.6
3.357
2
4.60
Węzeł 2
1.143
12.2
Y = 0 N24 = -3.871 kN.
"
Ä…
4
3.182
Węzeł 4
4.60
sin Ä…=0.8
Y = 0 N43 = 5.101 kN.
"
cos Ä…=0.6
N43
3.871
Ä…
5.101
3.871
Wykresy sił podłużnych
N
pokazuje rysunek obok.
kN
1.263
12.20
4.0
2.0
1.143
2.0
3.357
20 kN/m
30 kN
2
wymiary w
Przykład 1.5. Rozwiązać układ złożony.
2
m
C
1
B
1 A
2 2
RozwiÄ…zanie
20 kN/m
Wszystkie pręty tego układu są prętami
30 kN
ramowymi.
Wartości reakcji wyliczone z warunków
2
równowagi układu jako całości pokazane są na
2
rysunku obok.
W tym przykładzie wartości sił przekrojowych C
w punktach charakterystycznych wyznaczymy
90.0 kN
postępując inaczej niż poprzednio. Nie będziemy
1
60.0 kN
wycinać poszczególnych części układu ale
B
1 A
dokonywać przecięć konstrukcji , zaczepiać
2
odpowiednich sił przekrojowych i wyznaczać je 2
z warunków zerowania się momentów w 80.0 kN
odpowiednich przegubach.
30 kN 2
Zaczniemy od przecięcia prętów 2-B i 1-2 w
odległości dowolnie bliskiej przegubu 2. Po
N2B
dokonaniu przecięcia należy zaczepić w
przekrojach odpowiednie siły przekrojowe (patrz
Q2B
rys), będą to siła poprzeczna i podłużna (nie
N2C
będzie momentu zginającego, bo przecięcie
Q2C
dokonane jest nieskończenie blisko przegubu).
20 kN/m
Po usunięciu przegubu 2 z konstrukcji mamy
sytuację pokazaną obok na rysunku. Wartości
sił poprzecznych Q2B i Q2C możemy N2B
N2C
wyznaczyć z warunków równowagi:
Q2B
2
wymiary w
" części 2-B
Q2C
m
M = 0 ;
"
B
Q2B * 5 - 20* 4* 2 = 0 Q2B = 32.0 kN,
90.0 kN
1
60.0 kN
" części 2-1
M = 0 ;
"
1 B
1
A
Q2C * 3 - 90* 1 = 0 Q2C = 30.0 kN.
2 2
80.0 kN
Postępując analogicznie z przegubami 1 oraz B otrzymamy wartości następujących sił
poprzecznych:
Q1A = -40.0 kN, Q1C = -60.0 kN, QBA = 40.0 kN, QB2 = -32.0 kN.
Z warunków równowagi sił działających na węzły 1,2 i B (patrz wysunki) otrzymamy
następujące wartości sił podłużnych:
N1A = N = 60.0 kN, N1C = N2C = -40.0 kN, NB2 = -24.0 kN, N2B = 24.0 kN.
BA
N1C
NB2
30 kN
2
32 kN
32 kN
60 kN
N1A
N2B
NBA
30 kN
1 B
60 kN
40 kN
40 kN
N2C
Wykresy sił przekrojowych pokazane są niżej.
32.0
Q
M
30.0
kN
kNm
40.0
60.0
32.0
60.0
24.0
N
40.0
kN
24.0
40.0
80.0
40.0
60.0
2 kN/m
4
3
6
C 5
4 kNm 2 kN/m
2
wymiary
Przykład 1.6. Rozwiązać układ złożony. w m
1
2
2 kN
2
2 kNm
B
A
2 2
2 2
RozwiÄ…zanie
2 kN/m
Zasadniczą część konstrukcji stanowią dwie części
4
3
6
ramowe A-3-C i C-6-B podparte na podporach A oraz
C 5
B i spięte poprzez przeguby układem prętów
4 kNm 2 kN/m
2
ramowych i kratowych zapewniających całemu
układowi geometryczną niezmienność. Konstrukcja
1
2
2 kN
jest statycznie wyznaczalna.
2
2 kNm
Kolejność rozwiązywania:
" wyznaczenie reakcji z warunków równowagi
B
A
2.0 kN
całego układu,
2
2 2
2
" wyznaczenie siły poprzecznej Q14 w pręcie 5.75 kN 10.25 kN
ramowym 1-4 z warunku zerowania siÄ™
4
momentów względem przegubu 4 dolnej części
pręta 1-4 po dokonaniu przekroju dowolnie blisko
2 4 kNm
przegubu 1:
1
M = 0 ; Q14 * 2 - 4 = 0 Q14 = 2.0 kN.
"
4
Q14
" wyznaczenie siły poprzecznej Q12 w pręcie
ramowym 1-2 z warunku zerowania siÄ™
N14
momentów względem przegubu 2 po dokonaniu
przekroju dowolnie blisko przegubu 1, a
następnie siły poprzecznej Q21 z sumowania sił
Q12 2 kN/m
pionowych działających na ten pręt:
N12
M = 0 ;
"
2
1 2
2 kN
2 kNm
Q12 * 4 + 2 - 2* 4* 2 = 0 Q12 = 3.5 kN.
2 2
Y = 0 ; Q21 = Q12 - 2* 4 = -4.5 kN.
"
C
4
3
" wyznaczenie siły podłużnej N12 w pręcie
ramowym 1-2 z warunku zerowania siÄ™
4 kNm
2
momentów względem przegubu C lewej części
konstrukcji po dokonaniu przekroju przez
N12
1
przegub C i dowolnie blisko przegubu 1:
2
M = 0 ;
" 3.5 kN
C
A
N12 * 2 + 3.5* 2 + 4 - 2* 4 - 5.75* 4 = 0
2.0 kN
2
N12 = 10.0 kN. 2
5.75 kN
" z warunków równowagi węzła 1 i 2
N14
N25
wyznaczamy nieznane siły podłużne w
schodzÄ…cych siÄ™ w nich
2.0
N26
N13
prętach: N13 = 16.97 kN, N14 = -8.50 kN,
10.0
N25 = -3.50 kN, N26 = 11.31 kN.
2
1
2.0
3.5
4.5
W rezultacie siły przykładane do prętów ramowych pokazane są na rysunkach niżej:
2 kN/m
4
3
6
8.5
C 5
2.0
2.0 3.5 2 kN/m 4.5
2
16.97
11.31 4
8.5
3.5
2
2
1
10 10
1
2
2 kNm
2.0
2
2
B
A
8.5
2.0 kN
2
2 2
2
5.75 kN 10.25 kN
Wykresy sił przekrojowych można wykonać samodzielnie.
4
Zadanie
9 kN
1
3
Wszystkie pręty tego układu są prętami
9 kN
1
RAH=2.0 kN
ramowymi, stąd żadne ułatwienia w jego
A
1 2
rozwiązaniu polegające na przecięciach 1
45Ë% RAV=2.0 kN
przez przeguby i pręty kratowe nie mogą
B
1
być zastosowane. Ale tym razem w
HB=11.0 kN
przeciwieństwie do przykładu 1.2, łatwo
2 1 1 1.5
1.5
wyznaczymy wartości reakcji z warunków
VB=7.0 kN
równowagi układu jako całości, ich
wartości pokazane są na rysunku obok.
Mając obliczone reakcje możemy wyznaczyć wartości sił przekrojowych w prętach A-1 i 2-B.
Aby wyznaczyć wykres momentów na pręcie 1-3-4 wycinany go z konstrukcji i obliczamy
prostopadłe do niego oddziaływania konstrukcji, które przyjmiemy do obliczeń ze zwrotami
dodatnich sił poprzecznych.
Z warunków równowagi wyciętego pręta 1-3-4
N43
otrzymujemy:
4
M = 0 Q13 = 3.182 kN,
"
4 9 kN
M = 0 Q43 = -3.182 kN, Q43 1
"
1
3
co pozwala na wyznaczenie w nim momentów
1
1
zginających i sił poprzecznych N13 Q13
1 1
Momenty zginające i siły poprzeczne w
M
11.5
4.5
pozostałych przedziałach charakterystycznych
kNm
możemy wyznaczyć postępując analogicznie.
Ale możemy to zrobić prościej pamiętając, o
zerowaniu się momentów w przegubach i
liniowości funkcji momentów w przypadku
braku obciążenia w przedziale. Zatem wykres 4,60
momentów w rozważanym układzie Q
3,182
przedstawia siÄ™ tak jak to pokazuje rysunek
kN
obok. A wykres sił poprzecznych bardzo
łatwo wyznaczymy korzystając z zależności
3,182
między pochodną momentów i siłą
poprzecznÄ….
Wykres sił poprzecznych pokazany jest obok
na rysunku.
4,60
4.0
2.0
1.143
Siły podłużne wyznaczymy wycinając węzły i rozpatrując warunki równowagi sił na nie
działających.
·
N13
3.182
Węzeł 1
2.0
N12
Y = 0 N13 = -1.263 kN,
"
1
1.143
2.0
· = 0 N12 = -3.357 kN.
" 4.60
N24
sin Ä…=0.8
9.0
cos Ä…=0.6
3.357
2
4.60
1.143
12.2
Węzeł 2
Ä…
Y = 0 N24 = -3.871 kN.
"
4
3.182
Węzeł 4
4.60
sin Ä…=0.8
Y = 0 N43 = 5.101 kN.
"
cos Ä…=0.6
N43
3.871
Ä…
5.101
3.871
Wykresy sił podłużnych
N
pokazuje rysunek obok.
kN
1.263
12.20
2.0
3.357