ĆWICZENIE 1 Funkcje sił przekrojowych dla belek prostych
(9.03.2009)
Układ własny  wersor normalny zewnętrzny do płaszczyzny podziału, wersor styczny o
zwrocie jak od wersora normalnego idą wskazówki zegara, wersor momentów , który ciągnie
wyróżnione włókna.
Funkcje sił przekrojowych dla belek prostych
reakcje
( )
"M D = 0 Ò! 2Å"8 + 4 -VB Å"6 + 9Å"3 = 0 VB = 9.4 kN
( )
"M B = 0 Ò! 2Å"3+ 4 - 9Å" 2 + R Å"5 = 0 R =1.6 2 kN
2
R
X = 0 Ò! HB - = 0
" "H = R =1.6 kN
B
2 2
Przedział AB x " 0, 3
( )
P L
N x = 0 NA = 0 NB = 0
( )
P L
Q x = -2 QA = -2 QB = -2
( )
P L
M x = -2Å" x M = 0 MB = 0
( )
A
q x
6 ( )
Z proporcji = Ò! q x = 2Å" x - 3
( ) ( )
3 x - 3
( )
Przedział BC x " 3, 6
( )
P L
N x = -1.6 NB = -1.6 NC = -1.6
( )
2Å" x - 3 Å" x - 3
( ) ( )
P L
Q x = -2 - QB = -2 QC = -11
( )
2
1 1
P L
M x = -2Å" x - 4 + 9.4Å" x - 9.4Å"3 - ( - 3 Å" 2 x - 3 x - 3 MB = -10 MC = 3.2
x
( ) ) ( ) ( )
2 3
Przedział CD x " 6, 8
( )
P L
N x = -1.6 NB = -1.6 NC = -1.6
( )
P L
Q x = -1.6 QC = -1.6 QD = -1.6
( )
P L
M x =1.62Å" x - 6 MB = 3.2 MC = 0
( ) ( )
Zadanie.
Zadaniem jest wyznaczenie funkcji sił przekrojowych dla belki pokazanej na rysunku.
Jedna z osi głównych jest prostopadła do płaszczyzny XZ w której umieszczamy belkę jako
ustrój płaski.
rys 3b
 Przedział AB
x "(0,2) x = 0 x=- 2
Fx (x) = -5 Fx (0) Fx (2) = -5
= -5
Fz (x) = -2, Fz (0) = -2,5 Fz (2) = -2,5
5
M M
M (x) = -2,5 Å" x (0) = 0 (2) = -5,0
y y y
Przedział BC
x "(2,4) x=+ 2 x=- 4
F (2) Fx (4) = 0
Fx (x) = 0 = 0
x
F (2) = 0 F (4) = 0
Fz (x) = -2,5 + 2,5
z z
M
M (x) = -2,5 Å" x + M (2) = 25 (4) = 25
2,5(x - 2)+ 30 ,
y y y
Przedział CD
x "(4,6) x=+ 4 x=- 6
F (4) F (6) = 0
Fx (x) = 0 = 0
x x
Fz (x) = -25 + 20 = -5 Fz (4) = - Fz (6) = -5
5
M (x) = -2,5 Å" x + 2,5( x - 4), M M (6) = 15
x - 2)+ 30 - 5( (4) = 25
y y y
Przedział DE
x "(6,8) x=+ 6 x=- 8
Fx (x) = 0 Fx (6) Fx (8) = 0
= 0
F (6) = 20 Fz (8) = 0
Fz (x) = -25 + 20 = -5
z
2
M (x) = -5(8 - x) , M (6) = -20 M (8) = 0
y y y
Zasady sporządzania wykresów sił podłużnych i poprzecznych
" podpisujemy wartości bezwzględne w punktach charaktery-stycznych, z lewej
strony oraz z prawej i jeśli granice są różne to kółko niezaczernione
" nie piszemy znaku
" wartości dodatnie odnosimy po stronie wyróżnionych włókien przez wersom
układu własnego
Zasady sporządzania wykresów momentów zginających
" podpisujemy wartości bezwzględne w punktach charaktery-stycznych, z lewej
strony oraz z prawej i jeśli granice są różne to kółko niezaczernione
" znak piszemy pod wykresem
" jeśli wykres sił jest poprawny , to jego lustrzane odbicie względem osi belki jest
również poprawne
Wykres sił podłużnych Fx (inne oznaczenie N ) :
-
Fx (0) = -5 Fx ( 2) = -5 Fx (+ 2) = 0 Fx (- 4) = 0
F (6) = 0
Fx (+ 4) = 0 Fx (-6) = 0 Fx (8) = 0
x
jednostka kN
[kN]
Wykres sił poprzecznych Fz (inne oznaczenie Q ) :
- - -
Fz (0) = -2,5 Fz ( 2) = -2,5 Fz ( 2) = 0 Fz ( 4) = 0
+ -
Fz ( 4) = -5 Fz ( 6) = -5 Fz (6) = 20 Fz (8) = 0
jednostka kN
[kN]
Wykres momentów zginających My (inne oznaczenie M )
dodatnie wartości rysujemy po stronie włókien , które rozciąga wersor układu własnego
- -
M (0) = 0 M ( 2) = -5,0 M (+ 2) = 25 M ( 4) = 25
y y y y
+ -
M ( 4) = 25 M ( 6) = 15 M (6) = -20 M (8) = 0
y y y y
jednostka kNm
 [kNm]
Typy obciążeń na belce (elemencie ukośnym)
x
x1 = Ò! x = x1 Å"cosÄ…
cosÄ…
q [kN / m] q [kN / m]
m.b. odmierzany wzdłuz osi x
W = q Å" x
2
x q Å" x2 q Å" x1 Å"cos2 Ä…
M x = -W Å" = - M x1 = -
( ) ( )
2 2 2
Q x = W Å"cosÄ… = q Å" x Å"cosÄ… Q x1 = q Å" x1 Å"cos2 Ä…
( ) ( )
N x = -W Å"sinÄ… = -q Å" x Å"sinÄ… N x1 = -q Å" x1 Å"sinÄ… Å"cosÄ…
( ) ( )
q [kN / m]
m.b. odmierzany wzdłuz osi x1
W = q Å" x1
x q Å" x x
M x = -W Å" = - Å"
( )
2 cosÄ… 2
q Å" x
Q x = W Å"cosÄ… = Å"cosÄ…
( )
cosÄ…
q Å" x
N x = -W Å"sinÄ… = - Å"sinÄ…
( )
cosÄ…
q [kN / m]
m.b. odmierzany wzdłuz osi x1
W = q Å" x1
2
x1 q Å" x1
M x1 = -W Å" = -
( )
2 2
Q x = W = q Å" x1
( )
N x = 0
( )
Zadania do samodzielnego wykonania
Wyznaczyć wykresy sił przekrojowych w belkach.
(Uwaga: funkcje pisać z jednej strony, i sprawdzić zgodność tzn. np. zerowanie funkcji
momentów dla punktu końcowego. Drugi sposób to napisanie funkcji raz z lewej raz z prawej
strony i sprawdzenie czy w środku belki wyjdzie to samo.)
A)
( )
"M C = 0 Ò! 20Å" 4Å"2 - 20 -VA Å" 4 = 0
VA = 57.5 kN VC = 22.5 kN
B)
"M (C) = 0 Ò! 20Å"5Å"5 - 20 + 30Å"3 -VA Å" 4 = 0
2
VA = 80.0 kN
C)
VA = 80.0 kN
"M (C) = 0 Ò! 20Å"5Å"5 - 20 + 30Å"3 -VA Å" 4 = 0
2